語源的には、四元数または四元数はラテン語のquaterniに由来します。スペイン語では、この言葉は「4時までに」という意味になります。ただし、その解釈は「4つの要素の数」を意味します。
クォータニオンは、ウィリアム ローワン ハミルトンによって最初に作成された非順列フィールドの要素です。クォータニオンは、超複素数を構成する実数の拡張として定義されます。実際、それらは複素数に非常に似ています。
つまり、四元数はアナログ的に増幅されることによって発生します。一方、複素数は虚数単位iの合計による実数の拡張として生成されるため、 i の2 乗は -1 に等しくなります。最初のケースでは、虚数単位k 、 i 、 jが実数に加算されます。
したがって、四元数に関しては、 i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 となります。この表現は、 Cayley のテーブルに配置されたものに対応します。この時点で、 i 、 j 、 k 、 1 がクォータニオンの 4 つの基本的な柱であることに言及する価値があります。
| × | 1 | よ | j | 何 |
| 1 | 1 | よ | j | 何 |
| よ | よ | -1 | 何 | -j |
| j | j | -k | -1 | よ |
| 何 | 何 | j | -よ | -1 |
ウィリアム ハミルトンは 1843 年にベクトルの乗算と除算、回転、伸縮を可能にする方法としてクォータニオンを発明しました。
クォータニオンはどのように作られるのでしょうか?
クォータニオンは、各オブジェクトに4 つの変数が含まれる美しい代数を形成します。実際、これらはオイラー パラメータと呼ばれることもありますが、オイラー角と混同しないでください。これらのオブジェクトは、通常の数の代数と同様の方法で、単一の単位として加算および乗算できます。
ただし、違いがあります。数学用語では、四元数の乗算は可換ではありません。
クォータニオンには 4 つの次元があります。各四元数は 4 つのスカラー数、実数次元と 3 つの虚数次元で構成されます。これらの各虚数次元の単位値は -1 の平方根です。ただし、これらは -1 の異なる平方根であり、すべて互いに直交しており、 i 、 j 、 kと呼ばれます。したがって、四元数は次のように表すことができます。
x = (a, b, c, d) と書きます。 x = a + bi + cj + dk
したがって、a、b、c、d は各四元数によって一義的に定義される実数を表します。一方、1、 i 、 j 、 kは基本的な数字です。セットを使用して四元数を表現したい場合は、次のようにすることができます: IR 4 がセットを表すと仮定すると、式は次のようになります: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
このセットは実際の 4 次元空間と一致しています。実数の集合が一次元に存在する空間に対応し、複素数の集合が二次元の空間に対応するのと同じです。
クォータニオンの代数構造は何ですか?
四元数は不規則な物体を表します。これは、体に似た代数構造であることを意味します。ただし、乗算では可換ではありません。言い換えれば、それは体のすべての性質を満たしますが、その結果は可換的ではありません。
クォータニオンの乗算は結合的です。さらに、ゼロ以外の各四元数には一意の逆数があります。クォータニオンは、複素数と比べて結合代数を構成しません。
最後に、複素数と実数が単位空間または倍精度空間のユークリッド ベクトル次元を表すのと同じように、クォータニオンは 4 次元のユークリッド ベクトル領域を作成します。
クォータニオンは行列でどのように表現されるのでしょうか?
行列表現も四元数の特徴です。この場合、その表現には数学的な行列が適用されます。たとえば、四元数 p = a + bi + cj + dk がある場合、次のように複素数 2 x 2 行列で表すことができます。
クォータニオンで行列表現を使用する別の方法は、実数の 4 x 4 行列を使用することです。さらに、行列を使用して四元数を表すことにより、四元数を 2 つのベクトルの内積として表現することができます。したがって、1 つのコンポーネントは = (a1, a2, a3, a4) となり、もう 1 つのコンポーネントは {1, i, j, k } となります。
この場合、実数成分を生成する要素ａ１は別途記述される。さらに、スカラー積の場合、 3 つの基底i、j、kのみが考慮されます。
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
クォータニオンを使用してどのような基本操作が実行できますか?
ある四元数と別の四元数の間の積を加算して取得するには、複素数演算が適用されます。これは、前の IR 4セットの場合と同じように機能します。つまり、上記のセットと残りの操作によって、身体のすべての性質が補償されるということです。この場合の唯一の関連性は、製品が交換されないということです。
追加の場合は期ごとに実施します。いずれの場合も、複素数と同じように機能します。つまり、次のようになります。
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k。
製品の場合、コンポーネントからコンポーネントに適用されます。これによると、次のようになります。
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
以前にすでに指摘したように、四元数の積は決して可換ではありません。逆に、それは常に連想的です。前に詳しく説明した操作は、表現を置き換えることによって実行できます。
クォータニオンの用途は何ですか?
クォータニオンは数学的な研究をはるかに超えています。現在、さまざまなアプリケーションが開発されています。まず、これらは数論の答えを検証するために使用されます。この例としては、任意の自然数は 4 つの完全平方の和として表現されるというラグランジュの定理があります。
一方で、物理学の分野でも応用されています。四元数は、量子力学、電磁気学などに非常に役立ちます。