整数セットは、すべての正と負の数値のコレクションです。この記事では、これらの数値のプロパティ、数直線上での表現方法、数値に対して実行できる演算などについて説明します。
整数とは何ですか?
整数はすべて自然数と負の数であり、小数ではありません。したがって、数学では、整数のセットは、すべての自然数のセットに、負の数のセットと数値 0 を加えたものになります。このセットは、有理数のセットのサブカテゴリになります。
整数は自然数に負の数を加えたものです。したがって、整数には次の範囲が含まれます: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}。したがって、整数を理解するには、一連の自然数とその逆数 (負数) をよく理解することが非常に重要です。
Z 番号のサブセット
これまでの説明から、整数には正 (自然) 整数と負 (負) 整数の 2 種類があることが推測できます。これら 2 つの数値セットは、整数のサブセットと呼ばれます。
ただし、偶数と奇数、素数と合成数など、他のサブセットを生成することもできます。なぜなら、集合論を算術に適用すると、数値を記述するあらゆる数学的性質によって数値をグループ化できるからです。
整数の例
整数とは何かをもう少し明確にするために、いくつかの例を順番に示します。
-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。
ご覧のとおり、これらは最初の 8 つの正の数 (1、2、3、4、5、6、7、8)、ゼロ、および前の自然数の逆数です。明らかに、これら 17 の例は全体の一部にすぎません。ただし、この小さな値のグループから、任意の整数を概念化することができます。
整数の集合の特徴
このデジタル セットには多くの特徴があります。
- それは 2 つの無限の数値セット (自然数と負数) で構成されているため、無限です。
- このセット内のすべての値は符号付きです: ゼロを除く、正 (+) または負 (-)。
- これらには特定の順序があり、負の数はゼロより小さく、正の数はゼロより大きくなります。負の数 < 0 < 正の数。
- すべての整数は有理数ですが、分数ではありません。
- すべての正の整数に対して、符号が逆である、等しい負の整数が存在します。
整数の表現
前のセクションでは、整数の順序について説明しました。しかし、さらに明確に見るために、 数直線で表してみましょう。
ご覧のとおり、この数直線は自然数と負の数の数直線を組み合わせたものです。つまり、絶対値が最大の負の数値は、最も左にある (最小の) 数値です。一方、最大の絶対値を持つ正の数は、最も右にある (最大の) 数値です。
整数の性質
整数を使った演算の方法を学ぶ前に、一連のプロパティを知っておくことが非常に重要です。こうすることで、エラーを起こすことなく簡単に操作できるようになります。
このリストでは、これらのプロパティを示します。
- 可換: 2 つの整数値の加算と乗算を除き、因数の順序は関係ありません。したがって、すべての整数 a と b については次のようになります。
a + b = b + a
アブ＝バ
- 結合: 3 つ以上の整数値の加算と乗算を除き、因数の順序は関係ありません。したがって、すべての整数 a、b、c について次のようになります。
a + (b + c) = (a + b) + c
a・(b・c) = (a・b)・c
- 分配的:数値と合計の乗算は、公約数をとることと同じです。
a(b + c) = ab + ac
- 中立要素:整数の演算に参加するときに初期値を変更しない 2 つの数値があります。乗算の場合は 1、加算の場合は 0 です。
a 1 = 1
に + 0 = に
- 絶対値:負の整数は、符号なしで同じ正の整数を持ちます。これは正の整数にも当てはまりますが、正の絶対値自体は正です。
|-a| = に
|a| = に
これらの特性について詳しく知りたい場合は、演算の数学的特性に関する記事を参照することをお勧めします。
整数の演算
これで、集合 Z (整数) の特徴、その次数、および演算を解くためのこの集合のプロパティがわかりました。したがって、操作自体についてはすでに説明できます。
- 整数の加算:同じ符号の 2 つの整数を加算する場合は、単純にそれらの絶対値を加算し、先頭に符号を追加します。ただし、正と負を加算する場合は、それらの絶対値を減算し、最大の絶対値を持つ整数の符号を記述する必要があります。
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- 整数の減算: 2 つの整数を減算する場合は、 符号の法則を適用する必要があります。これにより、複数の符号が連続する減算を単純化できるためです。そして、それらを合計に変換します。これはすでに解決方法がわかっています (前のセクションで説明しました)。次の表は、記号の法則を説明しています。
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
次に、見つかったすべてのケースを紹介します。
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- 整数の乗算:整数の乗算を解決するには、単純に絶対値を乗算します。次に、上で説明した記号の法則を使用して、対応する記号を追加します。ここで、乗算の既存の 4 つのケースを示します。
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- 整数の割り算:最後に割り算ができます。これを解くには、符号の法則に基づいて、絶対値の商を求め、符号を追加する必要があります。次に、見つけられる 4 つのケースを示します。
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
整数の集合は日常生活でどのように使用されますか?
整数のセットは日常生活でさまざまな方法で使用されます。たとえば、何かを測定しようとする場合、通常は整数、特に正の整数が使用されます。
また、加算、減算、乗算、除算などの基本的な数学計算を実行するためにも使用されます。これは、買い物、通貨の計算、旅行距離の測定、時間の追跡など、私たちが行う日常のすべての行動に当てはまります。
日常生活で整数を使用する他の方法には、オブジェクトの順序付け (例: 本をアルファベット順に棚に置く) や位置の追跡 (例: 地図上で建物を見つける) などがあります。結論として、ほとんどすべての操作には整数値が含まれます。