マトリックスパワー -

このページでは、行列のべき乗を計算する方法を見ていきます。また、行列を完全に理解するのに役立つ例と段階的な行列の累乗の演習も見つかります。また、行列の n 乗とは何か、またその求め方も学びます。

行列の累乗はどのように計算されますか?

行列の累乗を計算するには、指数が示す回数だけ行列を乗算する必要があります。例えば：

$A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A$

したがって、行列の累乗を得るには、行列の乗算を解く方法を知る必要があります。そうしないと、べき乗行列を計算できません。

行列の累乗を計算する例:

したがって、正方行列のべき乗は、行列自体を乗算することによって計算されます。同様に、3 乗行列は行列自体の 2 乗行列と同じです。同様に、4 に累乗した行列の累乗を求めるには、3 に累乗した行列に行列自体を乗算する必要があります。等々。

行列の累乗には、知っておくべき重要な特性があります。それは、行列の累乗は、行列が square の場合、つまり行数と列数が同じ場合にのみ計算できるということです。

行列の累乗 n は何ですか?

行列の n 乗は、行列の任意のべき乗を簡単に計算できる式です。

多くの場合、行列のべき乗はパターンに従います。したがって、それらが従うシーケンスを解読できれば、すべての乗算を行うことなく累乗を計算できるようになります。

これは、すべてのべき乗を計算しなくても、行列の n 乗を求める式を見つけることができることを意味します。

パワーに従うパターンを発見するためのヒント:

指数のパリティ。偶数のパワーは一方の方向であり、奇数のパワーは他方の方向である可能性があります。
標識のバリエーション。たとえば、偶数乗の要素が正で奇数乗の要素が負である、またはその逆である可能性があります。
繰り返し:同じ行列が一定の累乗ごとに繰り返されるかどうか。
また、指数と行列の要素の間に関係があるかどうかも確認する必要があります。

行列の累乗 n を計算する例:

なれ
$A$

次の行列を計算します

$A^n$

そして

$A^{100}$

。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

まず行列のいくつかのべき乗を計算します

$A$

、権力者が従うパターンを推測しようとします。それで計算します

$A^2$

、

$A^3$

、

$A^4$

そして

$A^5:$

まで計算すると

$A^5$

、行列の累乗が次のようになります。

$A$

これらはパターンに従います。つまり、べき乗が増加するたびに、結果が 2 倍されます。したがって、すべての行列は 2 のべき乗になります。

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2^1 & 2^1 \\[1.1ex] 2^1 & 2^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 4 & 4 \\[1.1ex] 4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^2 & 2^2 \\[1.1ex] 2^2 & 2^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 8 & 8 \\[1.1ex] 8 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\[1.1ex] 2^3 & 2^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 16 & 16 \\[1.1ex] 16 & 16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^4 & 2^4 \\[1.1ex] 2^4 & 2^4 \end{pmatrix}$

したがって、行列のn 乗の公式を導き出すことができます。

$A:$

そして、この式から計算できます

$A^{100}:$

マトリックス電力の問題を解決

演習 1

次の次元 2×2 の行列を考えてみましょう。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix}$

計算します:

$\displaystyle A^4$

解決策を参照

行列の累乗を計算するには、行列を 1 つずつ乗算する必要があります。そこで、まず計算してみると、

$\displaystyle A^2 :$

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1\end{pmatrix}$

今計算してみましょう

$\displaystyle A^3 :$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix}$

そして最後に計算してみます

$\displaystyle A^4 :$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-8} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-7} \end{pmatrix}$

演習 2

次の次数 2 の行列を考えてみましょう。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}$

計算します:

$\displaystyle A^{35}$

解決策を参照

$\displaystyle A^{35}$

は手動で計算するにはべき乗が大きすぎるため、行列のべき乗はパターンに従う必要があります。それでは計算してみましょう

$\displaystyle A^5$

それらが従う順序を理解しようとします。

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}$

このようにして、べき乗がたどるパターンがわかります。各べき乗において、2 行目の 2 列目の要素を除き、すべての数値は同じままであり、3 で乗算されます。したがって、すべての数値は常に同じままです。最後の要素は 3 の累乗です。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^5 \end{pmatrix}$

したがって、行列の n 乗の公式は次のようになります。

$\displaystyle A$

東：

$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^n\end{pmatrix}$

そして、この式から計算できます

$\displaystyle A^{35}:$

$\displaystyle\bm{A^{35}=}\begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{3^{35}}\end{pmatrix}$

演習 3

次の 3×3 行列を考えてみましょう。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

計算します:

$\displaystyle A^{100}$

解決策を参照

$\displaystyle A^{100}$

は手動で計算するにはべき乗が大きすぎるため、行列のべき乗はパターンに従う必要があります。それでは計算してみましょう

$\displaystyle A^5$

それらが従う順序を理解しようとします。

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

このようにして、べき乗が従うパターンがわかります。各べき乗において、分子で 1 ずつ増加する分数を除いて、すべての数値は同じままです。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、 n番目の行列の累乗の公式は次のようになります。

$\displaystyle A$

東：

$\displaystyle A^n= \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{5} & \frac{n}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

そして、この式から計算できます

$\displaystyle A^{100}:$

$\displaystyle A^{100}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{100}{5} & \frac{100}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{20} & \bm{20} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}$

演習 4

次のサイズ 2×2 の行列を考えてみましょう。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

計算します:

$\displaystyle A^{201}$

解決策を参照

$\displaystyle A^{201}$

は手動で計算するにはべき乗が大きすぎるため、行列のべき乗はパターンに従う必要があります。この場合、計算する必要があるのは、

$\displaystyle A^{8}$

それらが従う順序を知るために：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^7= A^6 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^8= A^7 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

これらの計算により、4 乗ごとに単位行列が得られることがわかります。つまり、結果として権力の恒等行列が得られるということです。

$\displaystyle A^4$

、

$\displaystyle A^8$

、

$\displaystyle A^{12}$

、

$\displaystyle A^{16}$

、…ということで計算すると

$\displaystyle A^{201}$

201 を 4 の倍数に分解する必要があります。

$\displaystyle 201= 4 \cdot 50 +1$

、まだ、

$A^{201}$

50回になります

$\displaystyle A^{4}$

そして一度

$\displaystyle A^{1}:$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1$

そしてそれをどうやって知ることができるのでしょうか

$\displaystyle A^4$

単位行列です

$\displaystyle I :$

$\displaystyle A^4 =I$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1 = I^{50}\cdot A$

さらに、単位行列を任意の数に累乗すると、単位行列が得られます。まだ：

$\displaystyle A^{201}= I^{50}\cdot A = I \cdot A$

そして最後に、任意の行列に単位行列を乗算すると、同じ行列が得られます。それで：

$\displaystyle A^{201}= I \cdot A = A$

何のために

$A^{201}$

に等しい

$A:$

$\displaystyle A^{201}= A =\begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{0} \end{pmatrix}$

演習 5

次の次数 3 の行列を考えてみましょう。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

計算します:

$\displaystyle A^{62}$

解決策を参照

明らかに、行列の累乗を計算します。

$\displaystyle A^{62}$

これは手動で行うには大きすぎる計算なので、行列のべき乗はパターンに従う必要があります。この場合、計算する必要があるのは、

$\displaystyle A^{6}$

それらが従う順序を知るために：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これらの計算により、3 乗ごとに単位行列が得られることがわかります。つまり、結果として権力の恒等行列が得られるということです。

$\displaystyle A^3$

、

$\displaystyle A^6$

、

$\displaystyle A^{9}$

、

$\displaystyle A^{12}$

、…ということで計算すると

$\displaystyle A^{62}$

62 を 3 の倍数に分解する必要があります。

$\displaystyle 62= 3 \cdot 20 +2$

、まだ、

$\displaystyle A^{62}$

20回になります

$\displaystyle A^{3}$

そして一度

$\displaystyle A^{2}:$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2$

そしてそれをどうやって知ることができるのでしょうか

$\displaystyle A^3$

単位行列です

$\displaystyle I :$

$\displaystyle A^3 =I$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2 = I^{20}\cdot A^2$

さらに、単位行列を任意の数に累乗すると、単位行列が得られます。まだ：

$\displaystyle A^{62}= I^{20}\cdot A^2 = I \cdot A^2$

最後に、任意の行列に単位行列を乗算すると、同じ行列が得られます。まだ：

$\displaystyle A^{62}= I \cdot A^2 = A^2$

何のために

$A^{62}$

に等しくなります

$A^{2}$

、以前に結果を計算しました。

$\displaystyle A^{62}= A^2=\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{3} & \bm{1} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{-2} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{-1} \end{pmatrix}$

正方行列のべき乗に関するこれらの演習が役に立った場合は、行列で最もよく使用される演算の 1 つである行列の加算と減算に関するステップバイステップの演習も見つけることができます。

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行列の累乗はどのように計算されますか?

行列の累乗を計算する例:

行列の累乗 n は何ですか?

行列の累乗 n を計算する例:

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演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

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