2 本の平行線の間の距離

このページでは、2 本の平行線の間の距離を求める方法を説明します。さらに、平行線間の距離の例を確認し、解決済みの演習を使用して練習することができます。

2本の平行線とは何ですか?

2 本の平行線間の距離がどのように計算されるかを説明する前に、2 本の線間の平行度の概念を簡単に思い出してみましょう。

平行線とは、決して交わらない線、つまり、たとえ軌道が無限に伸びても決して接触しない線のことです。したがって、2 本の平行線の点は常に同じ距離にあり、さらに 2 本の平行線には共通点がありません。

たとえば、次の 2 つの直線は平行です。

一般に、2 本の線が 2 本の垂直バーと平行であることを示します ||行間

一方、2 本の平行線は決して交差しないという事実にもかかわらず、解析幾何学では、それらは同じ方向を持っているため、角度 0 度を形成すると言います。

平面内の 2 本の平行線の間の距離を計算する方法

平面 (R2) 内の 2 本の平行線の間の距離を求めるには、2 本の線のうちの 1 つ上の点を取得し、この点からもう 1 つの線までの距離を計算するだけです。

2 本の平行線は常に同じ距離離れているため、このように行うことができます。

したがって、2 本の平行線の間の距離を求めるには、点と線の間の距離の公式を知っている必要があります。どのようにしたか覚えていない場合は、リンクで点と線の間の距離がどのように決定されるかを確認することができ、さらに、段階的に解決された例や演習を見ることができます。

一方、この式を使用したときに距離が 0 単位になった場合、これは線がある点で互いに接触しており、したがって線が平行ではなく交差、一致、または直交していることを意味します。必要に応じて、このタイプのラインの違いを当社の Web サイトで確認できます。

2 本の平行線の間の距離を求める方法の例

例を使用して、2 本の平行線間の距離の問題を解決する方法を見てみましょう。

次の 2 本の平行線の間の距離を求めます。

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

最初に行う必要があるのは、線の 1 つ (目的の線) 上で点を取得することです。この場合、線上の点を計算します。

$s.$

これを行うには、変数の 1 つに値を与える必要があります。たとえば、次のようにします。

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

そして今、他の変数をクリアします(

$y$

) この時点での価値を知るために得られた方程式:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

したがって、直線から得られる点は、

$s$

東：

$P(0,-2)$

そして、すでに線上に点があれば、点から線までの距離の公式を使用して、その点から他の線までの距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

したがって、2 本の平行線間の距離は 0.45 単位に相当します。

2 本の平行線間の距離の問題を解決する

演習 1

次の 2 本の平行線の間の距離はいくらですか?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

解決策を参照

まず、これらが 2 本の平行線であることを確認します。このため、変数の係数は

$x$

そして

$y$

相互に比例する必要がありますが、独立した項には比例しません。

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

確かに、線は平行なので、この手順を適用できます。

次に、線の 1 つ (必要な線) から点を取得する必要があります。この場合、線上の点を計算します。

$s.$

これを行うには、変数の 1 つに値を割り当てる必要があります。たとえば、次のようにします。

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

そして今、他の変数をクリアします(

$y$

) この時点での値を知るために得られた方程式の次のとおりです。

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

したがって、直線から得られる点は

$s$

東：

$P(0,-1)$

線上の点がわかったら、次の式を使用してその点から他の線までの距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

演習 2

次の 2 本の平行線の間の距離を計算します。

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

解決策を参照

まず、これらが 2 本の平行線であることを確認します。このため、変数の係数は

$x$

そして

$y$

相互に比例する必要がありますが、独立した項には比例しません。

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

確かに、線は平行なので、この手順を適用できます。

次に、線の 1 つ (必要な線) から点を取得する必要があります。この場合、線上の点を計算します。

$s.$

これを行うには、変数の 1 つに値を与える必要があります。たとえば、次のようにします。

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

そして今、他の変数をクリアします(

$y$

) 結果の方程式を計算して、この時点での値を求めます。

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

したがって、直線から得られる点は

$s$

東：

$P(0,1)$

線上の点がわかったら、次の式を使用してその点から他の線までの距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

演習 3

未知の値を計算する

$k$

したがって、次の 2 つの線の間の距離は 5 単位です。

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

解決策を参照

2 次元で作業しているため、2 つの線の間の距離をゼロ以外にするには、それらが平行である必要があります。したがって、点と線の間の距離の公式を使用して 2 つの線の間の距離を計算して式を立て、この式から次の値を取得します。

$k.$

これを行うには、線上の点を計算する必要があります

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

したがって、線上の点

$r$

東：

$P(1,2)$

次に、直線に属する点間の距離を計算してみます。

$r$

（ポイント

$P$

) と行

$s$

次の式を使用します。

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

各項をその値に置き換えて式を簡略化します。

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$