2 つの平面間の距離 (式)

このページでは、2 つの平面間の距離を見つける方法を説明します。特に、存在する 2 つの方法と、どちらかを使用する方がよい場合について説明します。また、2つの平面間の距離については例題と演習問題があり、よく理解できます。

2 つの平面間の距離はどのように計算されますか?

空間内の 2 つの平面間の距離は、これら 2 つの平面間の相対位置によって異なります。

2 つの平面が交差または一致する場合、それらは点で交差するため、それらの間の距離はゼロになります。
2 つの平面が平行である場合、2 つの平面間の距離は、いずれかの平面上の点を取得し、その点ともう一方の平面の間の距離を計算することによって計算されます。

垂直面は交差面の一種であるため、2 つの垂直面間の距離もゼロであることに注意してください。

したがって、2 つの平面間の距離を計算するには、まずそれらの間の相対位置を決定する必要があります。したがって、 2 つの平面の相対位置を見つける方法を知っておくことが重要です。その方法がよくわからない場合は、リンクを参照することをお勧めします。リンクには、非常に詳細な説明、例、解決された演習が含まれています。

2 つの平行な平面間の距離を計算する方法

2 つの平行な面は常に同じ距離にあります。したがって、2 つの平行な平面間の距離を求めるには、2 つの平面の一方の点を取得し、その点からもう一方の平面までの距離を計算できます。

したがって、2 つの平行な平面間の距離を計算する式は次のようになります。

2 つの平行な平面を考えます。一方の平面上の点と、もう一方の平面の一般 (または暗黙的な) 方程式が与えられます。

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

一方の平面の点を通過する2 つの平行な平面間の距離を求める公式と、もう一方の平面の一般方程式は次のとおりです。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

これは、2 つの平行な平面間の距離を求めるために使用される公式です。ただし、場合によっては、別のさらに単純な方法を使用することもできます。

2 つの計画の陰的 (または一般) 方程式の係数 A、B、C は比例する必要があります。問題の中で、係数 A、B、C がまったく同じである 2 つの平面が見つかった場合、平面の点を知る必要がなく、別の式を使用できます。

同一の係数 A、B、Cを持つ 2 つの平行な平面の一般 (または陰的) 方程式を考えてみましょう。

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

2 つの平行な平面間の距離を 2 つの平面の一般方程式から求める公式は次のとおりです。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

最終的に、2 つの平行な平面間の距離を求める方法は 2 つあります。 1 つ目は、2 つの平面のいずれか上の点がわかっている場合に便利です。ただし、2 つの平面の一般方程式がわかっている場合は、2 番目の式を使用して距離を計算する方が適切です。

2 つの平行な平面間の距離の計算例

例として、次の 2 つの平面間の距離を計算します。

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

まず、2 つの平行な平面を扱っていることを確認する必要があります。したがって、平面方程式のすべての係数は独立項を除いて比例するため、事実上 2 つの平行な平面になります。

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

この場合、2 つの平面の方程式の項 A、B、C は一致しませんが、2 番目の平面の方程式全体を 2 で割ることによってこれを実現できます。

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

したがって、2 つの平面の方程式にはすでに同じ係数 A、B、C が含まれています。したがって、2 つの平行な平面間の距離に関する次の公式を使用して、2 つの平面間の距離を簡単に計算できます。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

値を代入して演算を解決します。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

つまり、一方の平面ともう一方の平面の間の距離は 1 に等しくなります。

2 つの平面間の距離の問題を解決する

演習 1

次の 2 つの平面間の距離を求めます。

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

解決策を参照

まず、2 つの平行な平面を扱っていることを確認する必要があります。 2 つの平面の方程式の係数は、独立項を除いてすべて比例するため、これらは実際に 2 つの平行な平面です。

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

この場合、係数 A、B、C が等しいため、2 つの平面間の距離を直接式で計算します。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

したがって、値を式に代入して演算を実行します。

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

演習 2

次の 2 つの平面間の距離を計算します。

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

解決策を参照

まず第一に、それらを隔てる距離を決定するために、それらが 2 つの平行な平面であることを確認する必要があります。これを行うために、2 つの計画の係数間の比例関係を確認します。

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

ただし、2 つの平面の係数 A、B、C は比例せず、パラメーター A と B のみが比例します。したがって、2 つの平面は平行ではなく交差しており、したがって、それらの間の距離は 0 に等しくなります。

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

演習 3

次の 2 つの平行な平面間の距離を求めます。

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

解決策を参照

前景平面はパラメトリック方程式の形式で定義されるため、2 つの平行な平面間の距離の公式を直接適用するには、まずそれを一般方程式の形式に変換する必要があり、これには多くの計算と時間がかかります。したがって、その平面上の点を取得し、その点から他の平面までの距離を計算する方が高速です。

したがって、平面 π ₁に属する点の座標は、各パラメトリック方程式の独立項に対応します。

$P(3,-2,5)$

ここで、次の式を適用して、この点と他の平面の間の距離を求めます。

$d(P,\pi_2) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(P,\pi_2) = \cfrac{\lvert 3\cdot 3+2\cdot (-2)+(-2)\cdot 5-9\rvert}{\sqrt{3^2+2^2+(-2)^2}}$

$d(P,\pi_2) = \cfrac{\lvert 9-4-10-9\rvert}{\sqrt{9+4+4}}$

$d(P,\pi_2) = \cfrac{\lvert -14\rvert}{\sqrt{17}}$

$d(P,\pi_2) = \cfrac{14}{\sqrt{17}}$

したがって、2 つの平行な平面間の距離は次のようになります。

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=d(P,\pi_2) =} \cfrac{\bm{14}}{\bm{\sqrt{17}}}$

2つの平面間の距離（計算式）

2 つの平面間の距離はどのように計算されますか?

2 つの平行な平面間の距離を計算する方法

2 つの平行な平面間の距離の計算例

2 つの平面間の距離の問題を解決する

演習 1

演習 2

演習 3

コメントする返信をキャンセル

2 つの平面間の距離はどのように計算されますか?

2 つの平行な平面間の距離を計算する方法

2 つの平行な平面間の距離の計算例

2 つの平面間の距離の問題を解決する

演習 1

演習 2

演習 3

コメントする 返信をキャンセル

コメントする返信をキャンセル