▷ 2 つのベクトル間の角度はどのように計算されますか? (式) ✅

このページでは、2 つのベクトル間の角度を計算する方法を説明します。さらに、例も表示され、演習や問題を段階的に解決して練習することができます。

2 つのベクトル間の角度の公式

内積の定義を覚えていれば、次の方程式を使用して計算できます。

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

この等式から、2 つのベクトルによって形成される角度を直接見つけるのに役立つ公式を得ることができます。

2 つのベクトルによって形成される角度の余弦は、2 つのベクトル間の内積を 2 つのベクトルの係数の積で割ったものに等しくなります。

つまり、2 つのベクトルによって形成される角度を求める公式は次のとおりです。

したがって、2 つのベクトルによって形成される角度を見つけるには、ベクトルの大きさの計算方法を知っていることが不可欠です。このリンクには、ベクトルのモジュールの公式、例、および解答済みの演習が含まれているため、このベクトル演算をまだマスターしていない場合は、参照することをお勧めします。

この公式は、平面 (R2) と空間 (R3) の両方に適用されます。つまり、2 成分または 3 成分のベクトルに対して同じ意味で使用できます。

ただし、ベクトル間の角度が推定できるため、この式を適用する必要がない場合があります。

2 つの垂直ベクトル (同じ方向を持つ) 間の角度は 0 度です。
2 つの直交(または垂直) ベクトル間の角度は 90 度です。

2 つのベクトル間の角度を求める方法の例

例として、次の 2 つのベクトルによって形成される角度を計算します。

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

まず各ベクトルのモジュールを計算する必要があります。

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

次に、次の式を使用して 2 つのベクトル間の角度の余弦を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

最後に、電卓を使用してコサインの逆関数を実行して、対応する角度を見つけます。

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

したがって、2 つのベクトルは 81.95 度の角度を形成します。

ベクトル間の角度に関する演習を解決しました

演習 1

次の 2 つのベクトル間の角度を計算します。

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

解決策を見る

まず最初に、2 つのベクトルの係数を計算する必要があります。

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

次の式を使用して、ベクトルによって形成される角度の余弦を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

最後に、計算機を使用してコサインの逆関数を実行して、対応する角度を見つけます。

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

演習 2

次の 2 つのベクトルの間に存在する角度を決定します。

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

解決策を見る

まず最初に、ベクトルのモジュールを見つける必要があります。

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

次の公式を使用して、ベクトルの角度のコサインを取得します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

そして最後に、計算機を使用してコサインの逆関数を実行して、対応する角度を見つけます。

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

演習 3

の値を計算します

$k$

次のベクトルが垂直になるようにします。

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

解決策を見る

2 つの直交するベクトルは 90 度の角度を形成します。まだ：

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

分数の分母は方程式の右辺全体を割るので、もう一方の辺を掛けることができます。

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

ここでドット積を解きます。

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

そして最後に、謎を解明します。

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

演習 4

定数が持つべき値を見つける

$a$

そして

$b$

したがって、次のベクトルは垂直であり、さらに次のことが当てはまります。

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

解決策を見る

まず係数条件を使用して、次の値を見つけます。

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

方程式の両辺を立てて平方根を取り除きます。

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

そして、その謎を解明します。

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

の価値がわかったら、

$a$

の値を求めます。

$b$

2 つのベクトルの角度の公式を適用すると、それらは垂直でなければならない、つまり同等である必要があるため、それらは 90 度を形成する必要があります。

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

分数の分母は方程式の右辺全体を割るので、もう一方の辺を掛けることができます。

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

次に、ドット積を解いてみましょう。

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

そして最後に、謎を解明します。

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

演習 5

角度を計算する

$\alpha , \beta$

そして

$\gamma$

これらは次の三角形の辺を形成します。

解決策を見る

三角形を構成する頂点は次の点です。

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

三角形の内角を計算するには、その各辺のベクトルを計算し、内積公式を使用してそれらが形成する角度を見つけることができます。

たとえば角度を求めるには

$\alpha$

その辺のベクトルを計算します。

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

そして、スカラー積公式を使用して 2 つのベクトルによって形成される角度を求めます。

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

同じ手順を繰り返して角度を決定します

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

最後に、最後の角度を見つけるために、同じ手順を繰り返すことができます。ただし、三角形のすべての角度の合計は 180 度になる必要があるため、次のようになります。

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

2 つのベクトル間の角度の公式

2 つのベクトル間の角度を求める方法の例

ベクトル間の角度に関する演習を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

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