転置行列 (または転置)

このページでは、転置 (または転置) 行列を計算する方法を説明します。また、行列を転置する方法について疑問を持たないように、解決済みの演習も表示されます。

転置行列 (または転置) を計算するにはどうすればよいですか?

転置行列は、転置行列とも呼ばれ、行を列に変更することによって得られる行列です。転置行列は行列の右上に「t」を付けて表します（A ^t ）。

たとえば、次の行列を転置してみましょう。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

行列 A を転置するには、行ごとに列を変更するだけです。つまり、行列の最初の行は行列の 1 列目になり、行列の 2 行目は行列の 2 列目になります。

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

転置行列を見つける方法のいくつかの実際の例を次に示します。

転置行列の例

例1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

例 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

例 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

例 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

行列転置の使用法の 1 つは、添付された行列公式または行列式を使用して逆行列を計算することです。この方法を使用するには、決定詞の解き方も知っておく必要がありますが、リンク先のページでは手順全体の説明があり、ステップごとに解く例や演習も見ることができます。

転置行列のプロパティ

転置行列には次の特性があります。

累積的性質:転置行列の転置は元の行列と等しい。

$\left(A^t\right)^t = A$

分配的性質: 2 つの行列を加算して結果を転置すると、まず各行列を転置してからそれらを加算することになります。

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

線形特性 (行列の積): 2 つの行列を乗算してからその結果を転置することは、最初に各行列を転置してからそれらを乗算することと同じですが、乗算の順序が交互になります。

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

線形 (定数) プロパティ:行列の積の結果を定数で転置することは、すでに転置された行列に定数を乗算することと同じです。

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

対称行列:行列の転置が転置なしの行列と等しい場合、それは対称行列であると言います。

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

非対称性:数学行列を転置するときに、すべての要素の符号が変更された同じ行列が得られる場合、それは非対称行列です。

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$