マイナー、アシスタント、アシスタントの補完マトリックス

このセクションでは、それらが何であるか、および相補マイナー、随伴行列、および随伴行列を計算する方法を説明します。さらに、完全に理解できるように例題があり、ステップごとに解決される演習があるため、練習することができます。

コンプリメンタリーマイナーとは何ですか?

これは要素の副補体と呼ばれます。

$a_{ij}$

行を削除して得られた行列式に

$i$

そしてコラム

$j$

マトリックスの。

要素の補足マイナーを計算するにはどうすればよいですか?

いくつかの例を使用して、要素の補足マイナーがどのように計算されるかを見てみましょう。

例 1:

次の 3 × 3 正方行列の 1 のマイナー補数を計算します。

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

1 の補数マイナーは、1 が位置する行と列を削除したときに残る行列の行列式です。つまり、最初の行と 2 番目の列を削除します。

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

例 2:

今回は、前と同じ行列の0 の補数マイナーを計算します。

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

0 の補数マイナーは、 0 が含まれる行と列を削除することによって行列の行列式になります。

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

補足的な未成年者向けの解決された演習

演習 1

次の 3×3 行列の 3 の最小の補数を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

解決策を参照

3 の補数マイナーは、3 が含まれる行と列を削除した後に残る行列の行列式です。

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

演習 2

次の次数 3 の行列の 5 の補数マイナーを見つけます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

解決策を参照

5 の補数マイナーは、5 が含まれる行と列を削除することで得られる行列の行列式です。

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

演習 3

次の 4×4 行列の 6 のマイナー補数を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

6 の補数マイナーは、6 が含まれる行と列を削除した後に残る行列の行列式です。

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Sarrus ルールを使用して行列式を解きます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

配列要素の随伴物とは何ですか?

の副官

$a_{ij}$

、つまりラインアイテム

$i$

そしてコラム

$j$

、次の式で得られます。

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

配列要素の随伴項を取得するにはどうすればよいですか?

いくつかの例を通して、要素の随伴がどのように計算されるかを見てみましょう。

例 1:

次の 3 次の行列の 4 の随伴を計算します。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

4は行 2と列1にあるため、この場合は

$i = 2$

そして

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

そして、前に見たように、 4 のマイナー補数が行列の行列式となり、4 が位置する行と列が削除されます。したがって：

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

ここで行列式を解き、 4 の随伴式を求めます。

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

負の数を偶数乗したものは正であることに注意してください。したがって、-1を偶数まで上げるとプラスになります。

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

一方、負の数を奇数乗すると負になります。したがって、-1 を奇数に累乗すると、常に負になります。

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

例 2:

以前と同じ行列の5 の代理を見つけます。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

例 3:

同じ行列の3 つの代理を作成しましょう。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

要素の随伴は、後で説明するように行列式を計算し、これから説明する随伴行列を計算するために使用されます。

アシスタント向けの解決済み演習

演習 1

次の 3×3 行列の 2 の随伴を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

解決策を参照

2 の随伴の結果を取得するには、要素の随伴の式を適用するだけです。

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

演習 2

次の 3 次行列の 4 の随伴項を求めます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

4 の代理を取得するには、要素の代理の公式を使用する必要があります。

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

演習 3

次の 4×4 行列の 7 の代理を求めます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

解決策を参照

7 の付加を作成するには、要素の付加の式を適用します。

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Sarrus の規則を適用して 3 次行列式を解きます。

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

付属のマトリックスとは何ですか？

アタッチされた配列は、そのすべての要素がその代理によって置き換えられた配列です。

随伴行列の計算方法は?

代理行列を計算するには、行列のすべての要素を代理行列に置き換える必要があります。

例を通して結合行列がどのように作成されるかを見てみましょう。

例：

次の次元 2×2 の正方行列の随伴行列を計算します。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

随伴行列を計算するには、行列の各要素の随伴行列を計算する必要があります。したがって、最初に次の式を使用してすべての要素の随伴項を解きます。

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

あとは、配列内の各要素を置き換えるだけです。

$A$

の副行列を見つけるためにその副によって

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

そしてこのようにして、マトリックスの代理が見つかります。しかし、これらの計算は何のために行われるのか疑問に思われるでしょう?行列結合のユーティリティの 1 つは、行列の逆行列を計算することです。実際、逆行列を求める最も一般的な方法は、随伴行列法です。

解決された随伴行列の問題

演習 1

次の 2×2 正方行列の随伴行列を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

解決策を参照

随伴行列を計算するには、行列の各要素の随伴を計算する必要があります。したがって、最初に次の式を使用してすべての要素の随伴項を解きます。

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

あとは、配列内の各要素を置き換えるだけです。

$A$

の副行列を見つけるためにその副によって

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

演習 2

次の 2 次行列の随伴行列を求めます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

あとは、配列内の各要素を置き換えるだけです。

$A$

の副行列を見つけるためにその副によって

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

演習 3

次の 3×3 行列の随伴行列を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

あとは、配列内の各要素を置き換えるだけです。

$A$

の副行列を見つけるためにその副によって

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

コンプリメンタリーマイナーとは何ですか?

要素の補足マイナーを計算するにはどうすればよいですか?

例 1:

例 2:

補足的な未成年者向けの解決された演習

演習 1

演習 2

演習 3

配列要素の随伴物とは何ですか?

配列要素の随伴項を取得するにはどうすればよいですか?

例 1:

例 2:

例 3:

アシスタント向けの解決済み演習

演習 1

演習 2

演習 3

付属のマトリックスとは何ですか？

随伴行列の計算方法は?

例：

解決された随伴行列の問題

演習 1

演習 2

演習 3

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