空間内の 2 つの平面間の角度 (公式)

このページでは、空間内の 2 つの平面によって形成される角度を計算する方法 (公式) を説明します。さらに、例題を見て、解決された演習で練習することができます。

2 つの平面間の角度の公式

２つの平面間の角度は、前記平面の法線ベクトルによって形成される角度に等しい。したがって、2 つの平面間の角度を求めるには、それらの法線ベクトルが等しいため、それらの法線ベクトルによって形成される角度が計算されます。

したがって、2 つの平面間の角度が正確にわかったら、空間 (R3) 内の 2 つの平面間の角度を計算する式を見てみましょう。これは、 2 つのベクトル間の角度の公式から推定されます。

2 つの異なる平面の一般 (または暗黙の) 方程式を考えると、次のようになります。

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

各平面の法線ベクトルは次のとおりです。

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

これら 2 つの平面によって形成される角度は、次の式を使用して法線ベクトルによって形成される角度を計算することによって決定されます。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

したがって、2 つの平面間の角度を決定するには、 2 つのベクトルの内積の計算をマスターする必要があります。どのように計算したかを覚えていない場合は、リンクに 2 つのベクトル間の内積を解く手順が記載されています。さらに、例題や演習を段階的に解くことができます。

一方、2 つの平面が垂直または平行である場合は、2 つの平面間の角度を直接決定できるため、次の式を適用する必要はありません。

2 つの平行な平面間の角度は、それらの法線ベクトルが同じ方向を持っているため 0° です。
2 つの垂直な平面間の角度は 90 度です。これは、それらの法線ベクトルも互いに垂直 (または直交) しており、したがって直角を形成するためです。

2 つの平面間の角度を計算する例

ここでは、2 つの異なる平面間の角度を決定する方法を確認できる具体的な例を示します。

次の 2 つの平面間の角度を計算します。

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

最初に行う必要があるのは、各平面の法線ベクトルを見つけることです。したがって、平面に垂直なベクトルの座標 X、Y、Z は、その一般 (または暗黙の) 方程式の係数 A、B、C とそれぞれ一致します。

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

各平面の法線ベクトルがわかったら、次の式を使用してそれらの平面が形成する角度を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

したがって、各法線ベクトルの大きさを見つける必要があります。

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

ここで、それぞれの未知の値を式に代入します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

2 つのベクトルの内積を解くことで角度の余弦を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

そして最後に、電卓を使用してコサインの逆関数を実行して角度を決定します。

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

2つの平面間の角度の問題を解決しました

演習 1

次の 2 つの平面間の角度を求めます。

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

解決策を参照

最初に行う必要があるのは、各平面の法線ベクトルを見つけることです。したがって、平面に垂直なベクトルの座標 X、Y、Z は、それぞれ、その一般 (または暗黙の) 方程式の係数 A、B、および C と等価です。

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

各平面の法線ベクトルがわかったら、次の式を使用してそれらの平面が形成する角度を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

したがって、各法線ベクトルの大きさを見つける必要があります。

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

それぞれの未知の値を式に代入します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

角度の余弦を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

最後に、電卓でコサインを反転して 2 つの平面間の角度を求めます。

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

演習 2

次の 2 つの平面間の角度はいくらですか?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

解決策を参照

最初に行う必要があるのは、各平面の法線ベクトルを見つけることです。したがって、平面に垂直なベクトルの X、Y、Z 座標はそれぞれ、その一般 (または暗黙的な) 方程式のパラメーター A、B、C に等しくなります。

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

各平面の法線ベクトルがわかったら、次の式を使用してそれらの平面が形成する角度を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

したがって、各法線ベクトルの大きさを見つける必要があります。

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

各変数の値を式に代入します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

角度の余弦を計算します。

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$