空間内の 2 つの平面の相対位置

このページには、2 つの平面 (ドライ平面、平行平面、または一致平面) の考えられるすべての相対位置が表示されます。また、2 つの平面間の相対位置がどのように計算されるかがわかり、さらに、例を見て、解決された演習で練習することができます。

2 つの平面の相対的な位置は何ですか?

解析幾何学では、2 つの平面間に可能な相対位置は、割線平面、平行平面、一致平面の 3 つだけです。

交差する平面: 2 つの平面が 1 つの線上でのみ交差する場合、2 つの平面は交差しています。
平行平面: 2 つの平面は、どの点でも交差しなければ平行です。
一致する平面: 2 つの平面がすべて共通点を持つ場合、それらの平面は一致します。

交差する平面

平行面

一致する平面

2 つの平面間の相対位置を求めるには 2 つの方法があります。1 つは 2 つの平面の一般方程式の係数から、もう 1 つは 2 つの行列のランクを計算することです。以下、それぞれの手順について説明します。

係数によって 2 つの平面の相対位置を決定する方法

2 つの平面間の相対位置を知る 1 つの方法は、一般 (または暗黙的な) 方程式の係数を使用することです。

次に、2 つの異なる平面の一般 (または暗黙の) 方程式を考えてみましょう。

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

3 次元空間 (R3) 内の 2 つの平面間の相対位置は、それらの係数またはパラメーターの比例性に依存します。

したがって、係数 A、B、または C のいずれかが他の係数に比例しない場合、2 つの平面は交差します。一方、独立項のみが比例しない場合、2 つの平面は平行になります。そして最後に、2 つの方程式の係数がすべて比例する場合、計画は一致します。

たとえば、次の 2 つの平面の相対位置を計算してみましょう。

$\pi_1 : \ 6x-2y+4z+5=0$

$\pi_2 : \ -3x+y-2z+4=0$

航空機の種類を知るには、どの係数が比例しているかを確認する必要があります。

$\cfrac{6}{-3} = \cfrac{-2}{1} =\cfrac{4}{-2} \neq \cfrac{5}{4}$

係数 A、B、C は互いに比例しますが、係数 D には比例しないため、 2 つの平面は平行になります。

2 つの平面の相対位置を範囲によって計算する方法

決定された 2 つの平面の相対位置を知る別の方法は、前記平面の係数によって形成される 2 つの行列の範囲を計算することから成ります。

したがって、2 つの異なる平面の一般 (または暗黙の) 方程式を考えます。

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

2 つの方程式の係数 A、B、C で構成される行列を A と呼びます。

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}$

そして、行列 A’ を 2 つの方程式のすべての係数を含む拡張行列とします。

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}$

2 つの平面の相対位置は、前の 2 つの行列の範囲に基づいて知ることができます。

相対位置がこれら 2 つの行列のランクに依存することは、ルーシュ-フロベニウスのトーレム (連立一次方程式を解くために使用される定理) から示すことができます。ただし、このページではデモを行う必要はありません。また、あまり役に立たないため、デモは行いません。

これがどのように行われるかがわかるように、次の 2 つの平面間の相対位置を計算します。

$\pi_1 : \ 2x+3y-z+1=0$

$\pi_2 : \ 3x-4y+2=0$

最初に行うことは、2 つの平面の方程式の係数を使用して行列 A と拡張行列 A’ を構築することです。

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}$

次に、各行列のランクを計算する必要があります。まず行列式によって行列 A の範囲を求めます。

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0$

$rg(A) = 2$

行列 A には、行列式がゼロとは異なる 2×2 部分行列が含まれているため、ランク 2 の行列になります。

一方で、行列 A’ のランクも計算する必要があります。そして、拡張行列 A’ のランクは常に行列 A のランクと少なくとも同じになるため、この特定のケースでは行列 A’ のランクも 2 に等しくなります。

$rg(A') = 2$

2 つの行列の範囲が等しく、値が 2 であるため、 2 つの平面は交差します。

2 つの平面の相対位置の問題を解決しました

演習 1

次の 2 つの平面の相対位置を調べます。

$\pi_1 : \ x+3y-2z-1=0$

$\pi_2 : \ 3x+9y-6z-3=0$

解決策を参照

2 つの平面間の相対位置を計算するには、2 つの平面の方程式の係数が比例するかどうかを確認します。

$\cfrac{1}{3}= \cfrac{3}{9} =\cfrac{-2}{-6} = \cfrac{-1}{-3}$

2 つの計画の陰的な方程式の係数はすべて互いに比例するため、これらは 2 つの一致した計画になります。

演習 2

次の 2 つの平面の相対位置を決定します。

$\pi_1 : \ x+3y-z+6=0$

$\pi_2 : \ 2x+3y-2z+8=0$

解決策を参照

2 つの平面間の相対位置を決定するために、それらの方程式の係数の比例性を分析します。

$\cfrac{1}{2} \neq \cfrac{3}{3} \neq \cfrac{-1}{-2}$

2 つの平面の陰的な方程式の係数 A と C は互いに比例しますが、係数 B には比例しません。したがって、これらは 2 つの割線平面になります。

演習 3

次の 2 つの平面の相対位置を求めます。

$\pi_1 : \ 6x-3y-12z+7=0$

$\pi_2 : \ -2x+y+4z-5=0$

解決策を参照

2 つの平面間の相対位置を決定するには、2 つの平面の方程式の係数が比例しているかどうかを確認する必要があります。

$\cfrac{6}{-2} = \cfrac{-3}{1} =\cfrac{-12}{4} \neq \cfrac{7}{-5}$

2 つの平面の方程式の最初の 3 つのパラメーター (A、B、および C) は互いに比例しますが、パラメーター D には比例しません。したがって、 2 つの平面は平行です。

演習 4

パラメータ値の計算

$a$

次の 2 つの平面が平行になるようにします。

$\pi_1 : \ x-3y+5z+3=0$

$\pi_2 : \ 2x-6y+az-3=0$

解決策を参照

2 つの平面が平行であるためには、それらの方程式の係数 A、B、C が比例する必要があります。言い換えれば、次の等価性を検証する必要があります。

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{-3}{-6} = \cfrac{5}{a}$

この特定のケースでは、最初の計画の係数 A と B は 2 番目の計画の係数の半分です。

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{5}{a}$

したがって、上記の方程式を解く必要があります。そして、これを行うために、2 つの分数を掛け合わせます。

$1\cdot a=5 \cdot 2$

$\bm{a=10}$

したがって、パラメータの値は

$a$

10に等しくなければなりません。

2 つの平面の相対的な位置は何ですか?

係数によって 2 つの平面の相対位置を決定する方法

2 つの平面の相対位置を範囲によって計算する方法

2 つの平面の相対位置の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

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