直線のパラメトリック方程式

このページでは、点とベクトル、または 2 点から任意の直線のパラメトリック方程式を計算する方法を説明します。また、パラメトリック方程式を使用して線上のさまざまな点を取得する方法も学びます。さらに、いくつかの例を確認し、解決済みの演習で練習することができます。

直線のパラメトリック方程式を見つける方法

任意の直線のパラメトリック方程式を決定するには、その方向ベクトルとその直線に属する点のみが必要です。

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直線のパラメトリック方程式の式は次のとおりです。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

は、ラインの一部である既知の点の座標です。
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

は線の方向ベクトルの成分です。
$t$

はスカラー (実数) であり、その値は線上の各点に依存します。

したがって、パラメトリック方程式は線を分析的に表現する方法です。

これらは、平面内の線のパラメトリック方程式です。つまり、2 つの座標 (R2 内) の点とベクトルを操作する場合です。ただし、空間 (R3) で計算を行っている場合は、3 番目の成分 Z に対して追加の方程式を追加する必要があります。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

一方、パラメトリック方程式とは別に、直線を数学的に記述する他の方法があることに留意してください。ベクトル方程式、連続方程式、陰的 (または一般) 方程式、陽的方程式、および点勾配方程式です。アライン。それぞれがどのようなものであるかは、当社の Web サイトで確認できます。

直線のパラメトリック方程式を決定する例

次に、例を使用して直線のパラメトリック方程式を見つける方法を見てみましょう。

点を通る直線のパラメトリック方程式を書く
$P$

そして持っています

$\vv{\text{v}}$

誘導ベクトルとして:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

線のパラメトリック方程式を計算するには、その式を適用する必要があります。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

したがって、点の座標と方向ベクトルを次の式に代入します。

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

パラメトリックな直線方程式から点を取得する

線のパラメトリック方程式を見つけたら、その線が通過する点を計算するのは非常に簡単です。直線上の点を決定するには、パラメータに値を与える必要があります。

$\bm{t}$

直線のパラメトリック方程式。

たとえば、次のような線分のパラメトリック方程式があるとします。

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

を置き換えることで線上の点を取得できます

$t$

たとえば、任意の数値で

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

変数を置き換えると、線上の別の点を計算できます。

$t$

たとえば、別の番号で

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

したがって、直線上に無限に多くの点を取得できます。

$t$

無限の値を取ることができます。

2 点から直線のパラメトリック方程式を計算する方法

パラメトリック方程式に関するもう 1 つの典型的な問題は、直線に属する 2 つの点が与えられ、それらからパラメトリック方程式を計算しなければならないことです。例を使ってそれがどのように解決されるかを見てみましょう。

次の 2 点を通る直線のパラメトリック方程式を求めます。

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

上のセクションで見たように、線のパラメトリック方程式を見つけるには、その方向ベクトルとその上の点が必要です。すでに右側に点がありますが、その方向ベクトルがありません。したがって、最初に線の方向ベクトルを計算し、次にパラメトリック方程式を計算する必要があります。

線の方向ベクトルを見つけるには、式で指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算するだけです。

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

線の方向ベクトルもわかったら、そのパラメトリック方程式を見つけるには、次の式を適用するだけです。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

この場合、点 A を使用してパラメトリック方程式を定義しましたが、ステートメントで与えられる他の点を使用してパラメトリック方程式を記述することも正しいです。

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

直線のパラメトリック方程式の問題を解決しました

演習 1

方向ベクトルが次の線のパラメトリック方程式を求めます。

$\vv{\text{v}}$

そしてポイントを通過します

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

解決策を参照

直線のパラメトリック方程式を見つけるには、単純にその式を適用します。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

演習 2

パラメトリック方程式で定義された次の直線の 2 つの異なる点を計算します。

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

解決策を参照

パラメトリック方程式で表現された直線から点を取得するには、パラメータに値を与える必要があります

$t.$

したがって、最初の点を計算するには、未知の値を代入します。

$t$

たとえば

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

そして、与えた直線上の 2 番目の点を見つけるには、

$t$

たとえば、の値

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

パラメータに与える値によって異なるため、異なるポイントが得られる場合があります

$t.$

ただし、同じ手順に従えば、すべて問題ありません。

演習 3

次の点を考慮すると、

$P(3,-1)$

この点が次の線に属するかどうかを判断します。

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

解決策を参照

点が直線に属しているかどうかを確認するには、その座標を直線の方程式に代入し、各方程式で同じパラメーターの値が見つかるかどうかを確認する必要があります。

$t.$

このような場合は、その点が線の一部であることを意味し、そうでない場合は、線がこの点を通過しないことを意味します。

したがって、点の座標を線のパラメトリック方程式に代入します。

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

そして、結果として得られる 2 つの方程式を解きます。

X座標

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y座標

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

という2つの値が得られました。

$t$

違うので、点は線上にありません。

演習 4

次の 2 点を通過する直線のパラメトリック方程式を計算します。

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

解決策を参照

線のパラメトリック方程式を計算するには、その方向ベクトルとその点の 1 つを知る必要があります。この場合、ライン上にはすでに点がありますが、その方向ベクトルがありません。したがって、最初に線の方向ベクトルを計算し、次にパラメトリック方程式を計算する必要があります。

線の方向ベクトルを見つけるには、式で指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算するだけです。

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

線の方向ベクトルがすでにわかっていると、そのパラメトリック方程式を見つけるには、次の公式を適用するだけです。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

この場合、パラメトリック方程式を定義するために点 A を選択しましたが、ステートメントで与えられる他の点を使用してパラメトリック方程式を記述することも有効です。

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

パラメトリック方程式の応用

明らかに、これまで見てきたように、パラメトリック方程式の主な用途は線を定義することです。ただし、パラメトリック方程式は、他のタイプの幾何学的要素を記述するためにも使用されます。

たとえば、任意の円周はパラメトリック方程式で表現できます。うん

$r$

は円の半径であり、

$C(x_0,y_0)$

がその中心の座標である場合、円のパラメータ化は次のようになります。

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

同様に、楕円も設定できます。うん

$C(x_0,y_0)$

は楕円の中心の座標です。

$a$

その水平半径と

$b$

垂直半径、楕円のパラメトリック方程式は次のとおりです。

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

同様に、放物線や双曲線など、他の曲線のパラメトリック表現も作成できます。ただし、それらははるかに複雑であるため、この記事では示しません。

最後に、プランはパラメトリック式によって定義することもできます。実際、平面のパラメトリック方程式は次のとおりです。

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$

なれ

$P(x_0,y_0,z_0)$

平面の固定点、係数

$\lambda$

そして

$\mu$

2 つの未知のパラメータ、および

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_1,\text{u}_2)$

そして

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2)$

平面内に含まれる異なる方向の 2 つのベクトル。

直線のパラメトリック方程式を見つける方法

直線のパラメトリック方程式を決定する例

パラメトリックな直線方程式から点を取得する

2 点から直線のパラメトリック方程式を計算する方法

直線のパラメトリック方程式の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

パラメトリック方程式の応用

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