▷ 限界の性質 (または法則) は何ですか?

ここでは、機能制限のすべての特性 (または法則) が見つかります。これらのプロパティは、特に関数演算で制限を扱う場合に、制限の計算を簡素化するのに役立ちます。

機能制限の特性 (または法則) は何ですか?

次に、関数の極限、または関数の極限の法則とも呼ばれる関数のすべての性質について説明します。さらに、概念を完全に理解できるように、制限の各プロパティについて解決済みの演習を確認できるようになります。

和の限度の性質

ある点における2 つの関数の合計の制限は、その同じ点における各関数の制限の合計と等しくなります。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

たとえば、次の 2 つの関数があるとします。

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

x が 1 に等しいときの各関数の限界は次のとおりです。

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

したがって、同じ点に追加される 2 つの関数の極限は 4 (1+3=4) になります。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

この特性は、限界を段階的に計算することで証明できます。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

減算の極限の性質

ある点における2 つの関数の減算 (または差) の限界は、同じ点における各関数の限界を個別に減算することと同等です。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

前の例の関数を使用すると、次のようになります。

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

点 x=3 における各関数の極限は次のとおりです。

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

次に、x=3 で減算される 2 つの関数の制限は、前のステップで取得した値の差になります。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

関数の減算を計算し、極限を解くことで、この極限の性質を証明できます。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

製品の特性を制限する

ある点における2 つの関数の積の限界は、その点における各関数の限界の積です。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

たとえば、次の 2 つの異なる関数があるとします。

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

x=2 における各関数の限界は次のとおりです。

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

したがって、2 つの関数の積の極限を決定するには、それらを掛け合わせる必要はありませんが、各極限から得られた結果を掛け合わせるだけで十分です。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

2 つの関数の乗算は難しい場合があるため、これにより時間と計算が節約されます。

商の極限の性質

2 つの関数の商 (または除算) の極限は、関数の極限の商に等しい。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

この条件は、分母関数の極限がゼロでない限り満たされます。

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

この限界の性質 (または法則) の例を解きます。関数 f(x) と g(x) について考えてみましょう。

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

まず、x=0 における各関数の極限を計算します。

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

したがって、x=0 における 2 つの関数の除算の極限は簡単に求めることができます。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

この場合、g(x) の極限はゼロではないため、このプロパティを適用して極限を解くことができます。

定数の極限の性質

定数関数の極限は、極限が計算される時点に関係なく、常に定数自体になります。

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

このプロパティは、たとえば次の定数関数がある場合に確認するのが非常に簡単です。

$f(x)=5$

論理的には、任意の点における定数関数の限界は 5 です。

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

定数倍の極限の性質

積の極限と定数の極限の性質から、次の性質を推定できます。

定数を掛けた関数の極限は、その定数と関数の極限の積に等しくなります。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

このプロパティを使用して次の制限の計算を簡略化することに注目してください。

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

力の限界の性質

関数の極限を指数で累乗することは、関数の極限を計算し、その極限の結果をその指数で累乗することと同じです。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

たとえば、一次関数の極限は次のようになります。

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

二次関数の極限は、一次関数の極限を求め、その結果を二乗することで計算できます。

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

指数関数の極限の性質

指数関数の極限は、関数の代数式の極限まで累乗された関数の定数に等しくなります。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

次に、この特性を検証するために 2 つの可能な方法で指数関数の極限を計算します。

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

関数のべき乗の極限の性質

別の関数に対してレイズされた関数の制限は、最初の関数の制限から 2 番目の関数の制限までレイズされたものになります。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

例として、この法則を適用して次の制限を決定します。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

無理関数の極限の性質

ルート (またはラジカル) の極限は、極限のルートと等しくなります。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

このプロパティを使用するには、ルートインデックスが偶数の場合、関数の制限は 0 以上でなければならないことに留意する必要があります。

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

この式を適用して次の制限がどのように計算されたかに注目してください。

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

対数関数の極限の性質

対数の限界は、限界の同じ底の対数に相当します。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

このプロパティを適用した次の制限の解決を見てください。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$