平面のベクトル方程式

このページでは平面ベクトル方程式（公式）と計算例を掲載しています。また、平面のベクトル方程式の演習問題や解法問題で演習することができます。

平面のベクトル方程式とは何ですか?

解析幾何学において、平面のベクトル方程式は、任意の平面を数学的に表現できるようにする方程式です。平面のベクトル方程式を見つけるには、1 つの点と、その平面に属する 2 つの線形に独立したベクトルのみが必要です。

平面のベクトル方程式の公式

点と平面の 2 つの方向ベクトルを考えてみましょう。

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

平面のベクトル方程式の公式は次のとおりです。

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

金

$\lambda$

そして

$\mu$

は 2 つのスカラー、つまり 2 つの実数です。

したがって、これは、平面内の任意の点が 1 つの点と 2 つのベクトルの線形結合として表現できることを意味します。

さらに、前の方程式が平面に対応するために必要な条件は、平面の 2 つのベクトルが線形独立性を持つこと、つまり 2 つのベクトルが互いに平行にならないことです。他の。

一方、ベクトル方程式とは別に、平面のパラメトリック方程式や平面の陰的方程式など、平面を解析的に表現する他の方法があることに留意してください。リンクで各タイプの方程式が何であるかを確認できます。

平面のベクトル方程式を求める方法の例

平面のベクトル方程式の概念の説明を理解したら、例を通してそれがどのように計算されるかを見てみましょう。

点を通る平面のベクトル方程式を求めます
$P(2,0,4)$

ベクトルが含まれています

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

そして

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

平面のベクトル方程式を決定するには、その公式を適用するだけです。

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

そして、点と各ベクトルを方程式に代入します。

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

この例でわかるように、平面のベクトル方程式を見つけるのは比較的簡単です。ただし、問題は少し複雑になる可能性があるため、以下にさまざまな難易度の解決済み演習をいくつか用意して練習してください。

平面ベクトル方程式で解決された問題

演習 1

ベクトルを含む平面のベクトル方程式を決定します。

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

そして次の 2 つのポイントを通過します。

$A(1,3,-1)$

そして

$B(2,-1,5).$

解決策を参照

平面の方程式を知るには、1 つの点と 2 つのベクトルが必要ですが、この場合はベクトルが 1 つしかないため、平面の別の方向ベクトルを見つける必要があります。これを行うには、平面の 2 点を定義するベクトルを計算します。

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

平面と点の 2 つの方向ベクトルがすでにわかっているので、平面のベクトル方程式の公式を使用します。

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

そして、2 つのベクトルと平面上の 2 つの点の 1 つを方程式に代入します。

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

演習 2

次の 3 点を含む平面のベクトル方程式を求めます。

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

解決策を参照

平面のベクトル方程式を見つけるには、平面内で結合する 2 つの線形に独立したベクトルを見つける必要があります。そして、このために、3 つの点によって定義される 2 つのベクトルを計算できます。

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

見つかった 2 つのベクトルの座標は比例していないため、互いに線形独立しています。

すでに 2 つの方向ベクトルと平面の点がわかっているので、次の式を平面のベクトル方程式に適用します。

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

そして、2 つのベクトルと平面の 3 つの点の 1 つを方程式に代入します。

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

演習 3

次のベクトル方程式で定義される平面に属する空間内の 4 つの点を計算します。

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

解決策を参照

平面上の点を計算するには、パラメータに任意の値を与えるだけです。

$\lambda$

そして

$\mu .$

まだ：

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

演習 4

直線を含む平面のベクトル方程式を求めます。

$r$

そして右側に平行です

$s.$

次の行になります:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$