このページでは、完全多項式とは何かについて説明し、完全多項式の例も見ることができます。さらに、多項式が完成し、同時に順序付けられることが何を意味するのかもわかります。最後に、完全な多項式と不完全な多項式の違いを分析します。
完全多項式とは何ですか?
数学における完全な多項式の定義は次のとおりです。
完全多項式は、すべての次数のすべての項によって形成される多項式です。つまり、完全多項式には、最高次数の単項式から独立項までのすべての項があります。
たとえば、次の多項式は完成します。
実際、これは 3 次から 0 次までのすべての項で構成されているため、完全な多項式です。単項式 x 3は 3 次のもの、項 4x 2は 2 次のもの、要素 -5x は 1 次のものです。次数、そして最後の 3 は次数 0 です。
一方、明確に理解しておく必要がある概念は、多項式の 0 次の項 (前の多項式の数値 3) と呼ばれるもので、これには特定の名前が付いています。そうでない場合は、 「多項式の独立項とは何か」で詳しく説明されているものを参照することをお勧めします。
完全な多項式の例
完全な多項式の概念を理解したら、このタイプの多項式の例をさらに見てみましょう。
- 次数 2 の完全な多項式の例:
- 4 次の完全な多項式の例:
- 7 次の完全な多項式の例:
これはまったく異なる概念ですが、ここまで来たら、数値の多項式分解が何であるかを知ることにきっと興味を持つでしょう。実はこれ、あまり知られていないのですが、実はとても便利なんです。
完全な順序付き多項式
多項式がいつ完成するかがわかったので、完全多項式と順序多項式がどのようなものかを見てみましょう。
順序付き多項式は、すべての項が最高次数から最低次数まで順序付けられた多項式で構成されていることに注意してください。たとえば、次の多項式は順序付けされます。
したがって、完全かつ順序多項式は、完全多項式と順序多項式の特性を同時に満たす多項式です。つまり、完全で順序付けられた多項式とは、すべての次数のすべての単項式を持ち、さらに、これらの単項式が降順で順序付けされている多項式です。
ご覧のとおり、前の演習で得た多項式は、5 次から独立項までのすべての項を持ち、さらにこれらの項がすべて順序どおりであるため、完全で順序付けされています。
順序多項式は非常に単純なもののように見えますが、見た目よりも重要です。たとえば、多項式の乗算と除算では、演算を正しく実行するには、多項式が適切に順序付けされていることが不可欠です。私が何を言っているのかわからない場合のために、 多項式の乗算方法と多項式の除算方法を説明する 2 ページをここに示します。
完全多項式と不完全多項式
最後に、完全多項式と不完全多項式がどのように異なるかを分析します。
不完全多項式とは、すべての次数のすべての単項式を持たないが、項が欠落している多項式です。
たとえば、次の多項式は 3 次の単項式または独立項を持たないため、不完全です。
したがって、不完全な多項式は完全な多項式の正反対であると言えます。
特定の演算を実行する場合、完全な多項式と不完全な多項式を区別する方法を知ることは非常に重要です。たとえば、ルフィニの規則の手順は、多項式が完全か不完全かによって異なります。ルッフィーニ メソッドとは何か、またそれがどのように適用されるかについては、 ルッフィーニ (エクササイズ)ページをご覧ください。