線形外挿

このページでは関数の外挿の意味について説明します。また、線形外挿を実行する方法の例と、最後に内挿と外挿の違いについても説明します。

外挿とは何ですか?

外挿の定義は次のとおりです。

数学における外挿は、観測された区間外の点で関数が取る値を近似するために使用されるプロセスです。

したがって、外挿するときは、区間の境界を超えるデータがないため、関数が特定の方法になると常に想定します。したがって、関数がこの近似値を取ることを完全に保証することはできません。

内挿と外挿は、どちらも 2 つの既知の点からある点における関数の値を推定することを含むため、非常によく似た意味を持ちます。

ただし、外挿は、これら 2 つの既知の点によって形成される間隔の外側に位置する点での関数の値を推定することになります。代わりに、補間では、これら 2 つの既知の点によって形成される範囲内の点を近似します。

上のグラフからわかるように、既知の点は (2,3) と (6,5) です。この場合、既知の点の間にあるため x=4 で内挿を実行したいのに対し、既知の間隔の外側にあるため x=8 で外挿を実行したいと考えています。

外挿では関数が同様のパスをたどると仮定するため、内挿値は外挿値よりもはるかに信頼性が高いことは明らかです。ただし、関数の傾きが既知の区間の範囲外で変化し、推定が誤る可能性があります。このため、外挿された点が既知の間隔に近いため、値の予測の信頼性がさらに高まります。

線形に外挿するとは、関数を線形関数またはアフィン関数、つまり次数 1 の多項式関数に近づけることを意味します。

線形外挿を実行する最も簡単な方法は、ニュートン多項式補間です。この場合、1 次多項式を使用して、ある点での関数の値を予測しようとします。

既知の 2 点を考えると、

$P_1(x_1,y_1)$

そして

$P_2(x_2,y_2)$

、線形外挿を実行する式は次のとおりです。

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

金

$x$

そして

$y$

は外挿された点の座標です。

この式が直線の点と傾きの方程式に対応していることを確認できます。

次に、線形外挿の概念を理解するための例として問題を見ていきます。

バス旅行の 1 人あたりの料金は、移動距離に比例して決まります。 70 km の場合は 15 ユーロ、120 km の場合は 20 ユーロかかります。 150kmの旅行にかかる費用を計算してみましょう。

まず、移動キロメートルと旅行代金を関連付ける一次関数を定義する必要があります。この場合、X は移動キロメートル、Y は価格になります。なぜなら、価格は走行距離に応じて変化するためです。つまり、価格は走行距離に応じて決まり、その逆はありません。

このステートメントから、関数が点 (70.15) と (120.20) を通過することがわかります。したがって、点を外挿する公式を適用するだけで十分です。

$x=150:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

点の値を方程式に代入します。

$y=\cfrac{20-15}{120-70}\cdot(150-70) + 15$

そして計算を行います。

$y=\cfrac{5}{50}\cdot(80) + 15 = 8+15 =23$

$\bm{y=23}$

つまり、150kmの旅行には23ユーロかかります。

ご覧のとおり、この演習はそれほど複雑ではありません。質問がある場合はコメントに残してください。