同次多項式 - Mathority

このページでは、同次多項式とは何かについて説明します。同次多項式の例とこのタイプの多項式のプロパティも表示されます。さらに、同次多項式と異次多項式の違いもわかります。

同次多項式とは何ですか?

同次多項式の定義は次のとおりです。

数学における同次多項式とは、すべての項が同じ次数である多項式です。

同次多項式の例は次のとおりです。

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

この場合、多項式の一部であるすべての単項式は 3 次であるため、これは 3 次の同次多項式になります。

同次多項式の項の次数の計算方法について疑問がある場合は、 単項式の部分についてのページを参照してください。ここでは、単項式の次数を求める方法だけでなく、単項式のすべての部分の説明とそれらを識別する方法。さらに、例を見て、段階的に解決される演習で練習することができます。

多項式が均一であることが何を意味するのかを理解したら、概念の理解を完了するために、均一な多項式の例をいくつか見てみましょう。

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

同次多項式によく似たもう 1 つの多項式は異次多項式ですが、これらの間には基本的な違いがあることに注意してください。

異種多項式は、すべての項が同じ次数を持たない多項式です。

したがって、多項式の単項式の次数が残りの要素と異なる場合にのみ、その多項式は異種になります。

たとえば、次の多項式は異種多項式です。

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

多項式の項のうち 2 つは次数 4 (x ⁴ 、2x ³ y) ですが、次数の異なる項がもう 1 つあるため (8x ²は次数 2)、実際には異種多項式になります。

ご覧のとおり、同次多項式と異次多項式は互いに非常に似ており、混同されやすいため、注意が必要です。

同次多項式には次のような特徴があります。

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

おそらく「！」 ” » それが代数で使われるのは奇妙に思えます。これは、 数値の階乗と呼ばれる特別な数学的演算を示すために使用されることを知っておく必要があります。この操作の構成とその用途については、前のリンクで確認できます。

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

ただし、このプロパティを適用 (および理解) できるようにするには、式がどのように計算されるかを知る必要があります。

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

組み合わせ数といいます。したがって、前の性質が理解できない場合は、 組み合わせ数の公式が何であるかを確認することをお勧めします。