切り替え可能な行列

このページでは、スイッチャブルマトリックスとは何かについて説明します。さらに、概念をよく理解するために例を見ることができ、最後に、任意の行列と可換なすべての行列を計算する方法を学習する段階的な解決演習が表示されます。

切り替え可能なマトリックスとは何ですか?

2 つの行列は、その積の結果が乗算の順序に依存しない場合、交換可能です。つまり、切り替え可能な行列は次の条件を満たします。

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

これは可換行列の定義です。例を見てみましょう。

切り替え可能なマトリクスの例

次の 2 つの次元 2×2 の行列は、それらの間で切り替え可能です。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

2 つの行列の可換性は、両方向の積を計算することで証明できます。

ご覧のとおり、両方の乗算の結果は、乗算の順序に関係なく同じです。したがって、行列

$A$

そして

$B$

それらは切り替え可能です。

マトリックススイッチングの演習を解決しました

次に、可換行列の演習を解く方法を段階的に見ていきます。

次の正方行列と可換となるすべての行列を決定します。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

この問題を解決するために、未知の行列を作成します。

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

したがって、この未知の行列を見つけなければなりません。

これを行うには、すべての可換行列が満たす次の特性を利用します。

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

ここで、方程式の両側の行列を乗算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

したがって、平等が成立するには、次の方程式が満たされる必要があります。

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

したがって、私たちがしなければならないことは、連立方程式を解くことだけです。最後の式から次のことが推測できます。

$b$

と等しくなければなりません

$c$

$b=c$

これら 2 つの未知数が等しい場合、3 番目の方程式が 2 番目の方程式で繰り返されるため、それを削除できます。

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

さらに、次の理由から、最初の方程式からは結論を導き出すことができません。

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

したがって、2 番目と最後の式だけが残ります。

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

そのため、行列は行列と交換できるようになります。

$A$

はすべて、前の 2 つの式を検証するものです。したがって、見つかった式を未知の行列に最初から代入することで、と可換となる行列の形式を見つけることができます。

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

金

$b$

そして

$d$

は 2 つの実数です。

したがって、行列と交換できる行列の例は、

$A$

は次のようになります:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$