行列式による行列のランクを計算する

このページでは、行列とは何か、行列式による行列の範囲を計算する方法を説明します。さらに、行列の範囲を簡単に見つける方法を学ぶための例と解決済みの練習問題が表示されます。さらに、行列の範囲プロパティも表示されます。

マトリックスのランクは何ですか?

行列の範囲定義は次のとおりです。

行列のランクは、行列式が 0 ではない最大の正方部分行列の順序です。

このページでは、行列式の方法による行列の範囲について学びますが、より遅くて複雑ですが、行列の範囲はガウス法によって決定することもできます。

行列の範囲がわかったら、行列式によって行列の範囲を見つける方法がわかります。ただし、行列の範囲を解くには、まず3×3 行列式の計算方法を知る必要があることに注意してください。

行列の範囲を知るにはどうすればよいでしょうか?例：

次の次元 3×4 の行列の範囲を計算します。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

私たちは常に、順序の最大の決定要因を解くことによって行列が最大ランクを持つかどうかを確認することから始めます。そして、この次数の行列式が 0 に等しい場合は、0 以外の行列式が見つかるまで下位の行列式のテストを続けます。

この場合、それは 3 × 4 次元の行列になります。したがって、次数 4 の行列式を作成できないため、最大でも階数 3 になります。したがって、任意の 3×3 部分行列を取り、その行列式が 0 であるかどうかを確認します。たとえば、最初の 3 列の行列式を次のように解きます。サラスの法則:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

列 1、2、および 3 の行列式は 0 です。次に、別の行列式、たとえば列 1、2、および 4 の行列式を試行する必要があります。

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

また、0 も得られました。したがって、0 以外のものが存在するかどうかを確認するために次数 3 の行列式のテストを続けます。次に、列 1、3、および 4 によって形成される行列式をテストします。

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

次数 3 の行列式のうち、列 2、3、および 4 で構成される行列式を単純に試してみましょう。

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

行列 A の考えられるすべての 3×3 行列式をすでに試しましたが、これらはいずれも 0 と異なるため、行列はランク 3 ではありません。したがって、せいぜいランク2となります。

$\displaystyle rg(A) < 3$

次に、行列がランク 2 であるかどうかを確認します。これを行うには、行列式が 0 とは異なる次数 2 の正方部分行列を見つける必要があります。左上隅の 2×2 部分行列を試します。

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

行列内に 0 とは異なる次数 2 の行列式が見つかりました。したがって、行列はランク 2 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

解決されたマトリックスのスコープの問題

演習 1

次の 2×2 行列のランクを決定します。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

解決策を参照

まず行列全体の行列式を計算します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

0 とは異なる次数 2 の行列式が見つかりました。したがって、行列はランク 2 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

演習 2

次の次元 2 × 2 の行列の範囲を求めます。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列全体の行列式を解きます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

唯一可能な 2×2 行列式は 0 を与えるため、行列はランク 2 ではありません。

ただし、行列内には 0 以外の 1×1 行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

したがって、マトリックスはランク 1 です。

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

演習 3

次の 3×3 正方行列の範囲はどれくらいですか?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列全体の行列式が Sarrus ルールで計算されます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

唯一可能な 3×3 行列式は 0 を与えるため、行列はランク 3 ではありません。

ただし、行列内には 0 以外の次数 2 の行列式が存在します。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

したがって、行列はランク 2 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

演習 4

次の次数 3 の行列のランクを計算します。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列全体の行列式が Sarrus ルールで解決されます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

行列全体の行列式は 0 以外に評価されます。したがって、行列のランクは最大になります (ランク 3)。

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

演習 5

次の 3 次の行列の順位は何ですか?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列全体の行列式が Sarrus ルールで計算されます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

唯一可能な 3×3 行列式は 0 を与えるため、行列はランク 3 ではありません。

ただし、行列の内部には、次のような 0 以外の 2 × 2 の行列式が存在します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

したがって、マトリックスはランク 2 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

演習 6

次の 3×4 行列の範囲を求めます。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

4×4 行列式を作成できないため、行列をランク 4 にすることはできません。そこで、3×3 の行列式を計算してランク 3 かどうかを確認してみましょう。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

最初の 3 列の行列式は 0 になります。ただし、最後の 3 列の行列式は 0 以外になります。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

したがって、内部には行列式が 0 とは異なる次数 3 の部分行列があるため、行列はランク 3 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

演習 7

次の 4×3 行列の範囲を計算します。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

解決策を参照

4×4 行列式を解決できないため、行列をランク 4 にすることはできません。そこで、考えられるすべての 3×3 決定要因を実行して、ランク 3 であるかどうかを確認してみましょう。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

考えられるすべての 3×3 行列式は 0 を与えるため、行列もランク 3 ではありません。次に 2×2 行列式を試します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

行列 A 内には行列式が 0 とは異なる次数 2 の部分行列が存在するため、行列はランク 2 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

演習 8

次の 4 × 4 行列の範囲を求めます。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

解決策を参照

行列全体の行列式を解いて、それがランク 4 であるかどうかを確認する必要があります。

4×4 行列式を解くには、まず行に対して演算を実行して、列内の 1 つを除くすべての要素をゼロに変換する必要があります。

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

次に、代理人による行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

用語を簡略化します。

$=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1 の随伴を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}$

そして最後に、Sarrus ルールと電卓を使用して 3×3 行列式を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{0}$

行列全体の 4×4 行列式は 0 を与えるため、行列 A はランク 4 にはなりません。そこで、内部に 0 以外の 3×3 行列式があるかどうかを見てみましょう。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}$

したがって、行列 A はランク 3 になります。

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

行列範囲のプロパティ

ゼロで埋められた行、列または 0 で埋められた行を削除しても、範囲は変更されません。

行列の範囲は、行であっても列であっても、2 つの平行な行の順序を変更しても変わりません。

行列のランクは、その転置のランクと同じです。

行または列に 0 以外の数値を乗算しても、行列のランクは変わりません。

色相の範囲は、それに平行な他の線の線形結合である線 (行または列) を削除しても変わりません。

任意の数を掛けた行 (行または列) に平行に他の行を追加しても、行列の範囲は変わりません。このため、行列のランクはガウス法でも計算できます。

行列式による行列のランクの計算

マトリックスのランクは何ですか?

行列の範囲を知るにはどうすればよいでしょうか?例：

解決されたマトリックスのスコープの問題

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

演習 6

演習 7

演習 8

行列範囲のプロパティ

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マトリックスのランクは何ですか?

行列の範囲を知るにはどうすればよいでしょうか?例：

解決されたマトリックスのスコープの問題

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

演習 6

演習 7

演習 8

行列範囲のプロパティ

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