ベクトルを正規化する方法

このページでは、正規化ベクトルの意味と、2 次元と 3 次元の両方のいくつかの例を使用してベクトルを正規化する方法を説明します。さらに、ベクトルを正規化するためのユーティリティもあります。

ベクトルを正規化するとはどういう意味ですか?

ベクトルを正規化するとは、ベクトルを方向と方向が同じでモジュールが 1 に等しいベクトルに変換することを意味します。言い換えれば、ベクトルを正規化するプロセスには、方向と方向を保持したまま長さを変更することが含まれます。

したがって、正規化されたベクトルは主に方向と意味を示すために使用されます。

一方、ベクトルを正規化すると、単位ベクトルも同時に計算されます。これは、単位ベクトルとは大きさが 1 の任意のベクトルであるためです。

ベクトルを正規化する式

R2 でのベクトルの正規化の例

例として、次の 2 次元ベクトルを正規化します。

まずベクトルの係数 (または振幅) を計算する必要があります。やり方を覚えていない場合は、ここでベクトルの大きさの公式を確認してください。そこで、次の式を使用します。

次に、ベクトルをそのモジュールで除算して、正規化されたベクトルを取得します。

通常、ベクトルは正規化されると分数のままになりますが、問題なく小数に渡すことができます。

R3 でのベクトルの正規化の例

別の例を見ることができます。次の 3 次元ベクトルを正規化します。

まず、ベクトルの大きさを計算します。

そして最後に、ベクトルをモジュールで割って正規化します。

ベクトルを正規化する意味は何でしょうか?

ベクトルの正規化の応用を見るのは簡単ではありません。正規化されたベクトルは分数が含まれることが多く、分数を扱うのがより難しいため、正規化されたベクトルは「通常の」ベクトルよりも悪いとさえ思われるかもしれません。

ただし、正規化されたベクトルを使用すると、一部のベクトル演算が大幅に簡素化されます。たとえば、2 つのベクトル間の角度を見つけるのは、両方のベクトルの係数 (または大きさ) が 1 に等しい場合に簡単になります。さらに、2 つのベクトルによって形成される角度は、その長さではなく方向に依存するため、最初に 2 つのベクトルを正規化してから、それらが形成する角度を見つけることは完全に可能です。

2 つのベクトル間の角度がどのように計算されるか、および正規化されたベクトルを使用すると計算が簡単になる理由に興味がある場合は、 2 つのベクトル間の角度のページを確認してください。ここでは、すべての説明、例、および解決された演習が見つかります。

正規化ベクトルのこの特性は、計算レベルで非常に役立ちます。単一のベクトル演算を実行するために節約できる時間は非常に短いためです。ただし、コンピュータの場合のように、何万もの操作を実行する必要がある場合は、時間を大幅に節約できます。

最後に、一般的に使用されるベクトル基底は正規直交基底です。正規直交基底を使用すると、ベクトルの座標を表現するのが容易になり、さらに、線形代数における行列を使用した多くの計算が容易になります。このタイプの基底のベクトルはすべて正規化ベクトルです。たとえば、デカルト座標系は正規直交基底です。

結論として、正規化ベクトルは、ベクトル間のすべての演算は正規化ベクトルなしでも実行できるため、厳密には必要ありませんが、計算が大幅に容易になります。