パラメータに基づく配列の範囲 -

このページでは、パラメータに基づいてテーブルのランクを計算する方法を説明します。また、1 つのパラメーターに基づいて行列の範囲を見つける方法に関するステップバイステップの例と解決された演習もあります。

パラメーターを使用して行列のランクを調べる手順を完全に理解するには、行列式によって行列のランクを計算する方法をすでに知っていることが重要です。したがって、読み続ける前に、まずこれら 2 つのことを学習することをお勧めします。

パラメーターに基づいて配列の範囲を計算する方法。例：

さまざまなパラメータ値に基づいて行列 A の範囲を決定します
$\displaystyle a :$

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{pmatrix}$

行列 A は次数 3 の行列であるため、最大でもランク 3 になります。したがって、最初に行う必要があるのは、 Sarrus の規則を使用して3×3 行列全体の行列式を解き、ランク 3 になれるかどうかを確認することです。

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1 \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}$

行列式の結果はパラメータの関数です

$\displaystyle a$

。したがって、テーブルがいつランク 2 になるか、いつランク 3 になるかを確認するために、結果を 0 に設定します。

$\displaystyle -a^2+1 = 0$

そして、結果として得られる方程式を解きます。

$\displaystyle a^2 = 1$

$\displaystyle \sqrt{a^2} = \sqrt{1}$

$\displaystyle \bm{a = \pm 1}$

したがって、いつ

$\displaystyle a$

+1 であっても -1 であっても、3×3 の行列式は 0 になるため、行列のランクは 3 にはなりません。

$\displaystyle a$

が +1 および -1 と異なる場合、行列式は 0 とは異なるため、行列はランク 3 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle \bm{a=+1} :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

前に見たように、

$\displaystyle a$

は 1 であり、行列の行列式は 0 です。したがって、ランク 3 であることはできません。ここで、行列内の 0 とは異なる2×2 行列式、たとえば左上隅の行列式を計算してみます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0$

次数 2 の行列式は 0 とは異なります。したがって、パラメータが

$\displaystyle a$

または +1 の場合、行列のランクは 2 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

行列の範囲を確認すると、

$\displaystyle a \neq +1,-1$

そしていつ

$\displaystyle a=+1$

いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle \bm{a = -1} :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

冒頭で見たように、

$\displaystyle a$

es -1 であり、行列の行列式は 0 です。したがって、ランク 3 に設定することはできません。したがって、行列内で 0 とは異なる 2×2 の行列式、たとえば下位の行列式に遭遇するように努める必要があります。マトリックスの一部。左：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0$

次元 2 の行列式は 0 とは異なります。したがって、パラメータが

$\displaystyle a$

または -1 の場合、テーブルのランクは 2 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

したがって、行列 A のランクがパラメーターの値に依存する 3 つの異なるケースが見つかりました。

$\displaystyle a.$

要約は次のとおりです。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

パラメーターに依存する行列の範囲について説明する方法がわかったので、以下の段階的な演習を行う練習をすることができます。問題を解決するには、決定子のプロパティが必ず役立ちます。そのため、決定子のプロパティがよくわからない場合は、まずリンク先のページを参照することをお勧めします。そこでは、それぞれのプロパティが例とともに説明されています。

パラメータベースのマトリックスの範囲の問題を修正しました

演習 1

パラメータの値に基づいて、次の表の範囲を検討してください

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

解決策を参照

行列 A は 3×3 行列であるため、最大ランク 3 になります。したがって、最初に行う必要があるのは、行列全体の行列式を (Sarrus の規則を使用して) 解き、それがランク 3 になれるかどうかを確認することです。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4$

配列がいつランク 2 になるか、いつランク 3 になるかを確認するために、結果を 0 に設定します。

$\displaystyle -2a+4=0$

$\displaystyle -2a=-4$

$\displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2$

したがって、いつ

$\displaystyle a$

が 2 と異なる場合、行列式 3×3 は 0 とは異なるため、行列のランクは 3 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=2 :$

$\displaystyle a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

したがって、行列 A の範囲がパラメーターの値に応じて変化する 2 つのケースが見つかりました。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

演習 2

パラメータ値に基づいて次の表の範囲を見つけます

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}$

配列がいつランク 2 になるか、いつランク 3 になるかを確認するために、結果を 0 に設定します。

$\displaystyle 2-2a^2=0$

$\displaystyle -2a^2=-2$

$\displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}$

$\displaystyle a^2=1$

$\displaystyle a=\pm 1$

したがって、いつ

$\displaystyle a$

が +1 および -1 と異なる場合、3×3 行列式は 0 とは異なるため、行列のランクは 3 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=+1 :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=-1 :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

したがって、行列 A の範囲がパラメーターの値に応じて変化する 3 つのケースが見つかりました。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

演習 3

パラメータ値に基づいて下表の範囲を計算します。

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}$

配列がいつランク 2 になるか、いつランク 3 になるかを確認するために、結果を 0 に設定します。

$\displaystyle a^2+4a=0$

これは不完全な二次方程式なので、共通因数を抽出します。

$\displaystyle a(a+4)=0$

そして、各項を 0 に設定します。

$\displaystyle a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0 \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}$

解として 0 と -4 が得られました。したがって、いつ

$\displaystyle a$

が 0 および -4 と異なる場合、3×3 行列式は 0 とは異なるため、行列のランクは 3 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=0 :$

$\displaystyle a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=-4 :$

$\displaystyle a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

したがって、行列 A の範囲がパラメーターの値に応じて変化する 3 つのケースが見つかりました。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

演習 4

パラメーターの値に従って、次の次元 3×4 の行列の範囲を求めます。

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}$

解決策を参照

4×4 行列式を計算できないため、行列 A は最大でもランク 3 になります。したがって、最初に行う必要があるのは、次数 3 のすべての可能な行列式を (サラスの法則を使用して) 解き、それが次数 3 であるかどうかを確認することです。

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}$

次数 3 のすべての可能な行列式の結果は、次の値が何であっても 0 になります。

$\displaystyle a$

。したがって、行列がどのような値を取るかは重要ではないため、行列がランク 3 になることはありません。

$\displaystyle a$

0 以外の 3×3 行列式は決して存在しないということです。

そこで、次元 2 × 2 の行列式を試してみます。ただし、次数 2 の行列式も、次の場合を除いてすべて 0 になります。

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}$

次に、結果を 0 に設定して方程式を解きます。

$\displaystyle 8a+16=0$

$\displaystyle 8a=-16$

$\displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2$

したがって、いつ

$\displaystyle a$

が -2 と異なる場合、行列式 2×2 は 0 とは異なるため、行列のランクは 2 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

では、いつ何が起こるか見てみましょう

$\displaystyle a=-2 :$

$\displaystyle a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}$

前に見たように、

$\displaystyle a$

が -2 の場合、次数 2 のすべての行列式は 0 です。したがって、ランク 2 であることはできません。そして、0 とは異なる 1×1 行列式が少なくとも 1 つ存在するため、この場合、行列のランクは 1 になります。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

したがって、行列 A の範囲がパラメーターの値に応じて変化する 2 つのケースが見つかりました。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \\ & \end{array} }$

パラメーターに基づいて配列の範囲を計算する方法。例：

パラメータベースのマトリックスの範囲の問題を修正しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

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