デリバティブ - マソリティ

ここでは、あらゆるタイプの関数を導出する方法を説明します。すべての導関数の公式と、例および段階的な導関数の演習が記載されています。

派生商品とは何ですか?

導関数は、関数を研究するために使用される数学的規則です。特に、ある点における関数の導関数は、制限の結果であり、その点における関数の動作を示します。

関数の導関数はプライム記号‘で表されます。つまり、関数f'(x)は関数f(x)の導関数です。

幾何学的には、ある点における関数の導関数の意味は、その点における関数の接線の傾きです。

関数の導関数の数学的定義は次のとおりです。

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ただし、関数の導関数は通常、上記の式を使用して計算されるわけではなく、関数の種類に応じて微分規則が適用されます。すべての導出式を以下に説明します。

派生式

デリバティブの定義を見た後、デリバティブがどのように作成されるかを見て、各種類のデリバティブを例を挙げて説明します。この投稿の目的は、導関数の概念をよく理解していただくことです。そのため、最終的に関数の導出方法について疑問がある場合は、コメントで質問してください。

定数から導出される

定数の導関数は、定数の値に関係なく、常にゼロになります。

したがって、定数関数の導関数を求めるには、数学を行う必要はなく、導関数がゼロになるだけです。

次の定数の導関数の実際の例を見てください。

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

一次関数の導関数

線形関数の導関数は1 次項の係数です。つまり、線形関数の導関数f(x)=Ax+BはAに等しいです。

このタイプの関数がどのように導出されたかを示す次の例を見てください。

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

力から派生した

べき乗の導関数、またはポテンシャル関数は、べき乗の指数に底を乗じて指数から 1 を引いた積です。

したがって、累乗を求めるには、関数に指数を掛けて、指数から 1 単位を引くだけです。

たとえば、累乗 x 3 乗の導関数は次のようになります。

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

ここで、このタイプの派生関数の演習 (およびより難しい演習) を行う練習をすることができます。

➤参照: べき乗の導関数の解答済み演習

根から派生した

根の導関数、または無理関数は、根の指数と同じ根の積で割った値で、基数の指数から 1 を引いたものに等しくなります。

例として、以下では x の平方根の導関数が解かれるのを確認できます。

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤参照: ルートの導関数の解答済み演習

指数関数の導関数

指数関数の導関数は、基数が数値eであるか別の数値であるかによって異なります。したがって、このタイプの関数を導出するには 2 つの公式があり、べき乗ベースに応じて対応する方程式を使用する必要があります。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

以下に、このタイプの関数の 2 つの導関数の解を示します。

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤参照: 指数関数の導関数の解答済み演習

対数関数の導関数

対数関数の導関数は対数の底に依存します。これは、対数が自然の場合、導関数を見つけるために式を適用する必要があり、対数の底が別の数値である場合は、別の規則を使用する必要があるためです。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

たとえば、x の底 3 の対数の導関数は次のようになります。

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤参照: 対数関数の導関数の解答済み演習

三角関数の導関数

3 つの主要な三角関数導関数は、サイン関数、コサイン関数、タンジェント関数の導関数であり、その式は次のとおりです。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

論理的には、セカント、コセカント、コタンジェント、双曲線三角関数、逆三角関数など、いくつかの種類の三角関数があります。しかし、ドリフトで最もよく使われるルールは上記の 3 つです。

紹介ルール

関数を使用した演算を行う場合、導関数は異なる方法で解決されます。これを行うには、関数の加算、減算、乗算、除算を導出できる微分規則を使用する必要があります。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

したがって、演算を使用して導関数を解くには、導関数のルールを適用するだけでなく、導関数の種類ごとに公式を使用する必要もあります。

このタイプの導関数を見つける方法を理解できるように、以下のいくつかの演習を解きます。

合計の導関数:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

ご覧のとおり、関数全体の導関数を解くために、べき乗の導関数の公式が合計の各項に適用されました。

製品から派生したもの:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

積の最初の項の導関数は 4 ^x ln(4) で、サインの導関数はコサインです。したがって、乗算の導関数は次のようになります。

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

商の微分:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

分数の分子と分母には多項式があるため、導関数を取得するには、商の導関数の公式、加算 (または減算) の導関数の公式、および次の導関数の公式を使用する必要があります。力を持っています:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

連鎖法則

連鎖則は、複合関数を導出するために使用される公式です。連鎖則では、複合関数f(g(x))の微分値は、微分値f'(g(x))に微分値g'(x)を乗算したものに等しいと規定されています。

この導関数の概念は一般に理解するのがより難しいため、例として演習を段階的に解決していきます。

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

サイン関数内に関数 x ³があるため、事実上、これは関数の合成になります。したがって、合成関数の導関数を見つけるには連鎖則を使用する必要があります。

一方では、サインの導関数はコサインであるため、外部関数の導関数は、サインの同じ引数を持つコサインになります。

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

一方、べき乗の導関数の公式を使用して x ³の導関数を計算します。

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

したがって、整数複合関数の導関数は、次の 2 つの導関数の積になります。

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤参照: 連鎖ルールを使用した導関数の演習を解いた

関数の微分可能性

ある点における関数の連続性と微分可能性は次のように関係します。

関数がある点で微分可能である場合、その関数はその点で連続です。
関数がある点で連続でない場合、その点では微分可能でもありません。

ただし、この定理の逆は誤りです。つまり、関数がある点で連続であるからといって、その点で常に微分可能であるとは限りません。

関数がグラフ内の点で微分可能かどうかも確認できます。

滑らかな点であれば、この点で関数は微分可能です。
それが角点の場合、関数は連続ですが、この点では微分可能ではありません。

x=0 の滑らかな点:
この時点では連続微分可能な関数です。

x=2 における傾斜点:
関数は連続ですが、この時点では微分可能ではありません。

また、その点での横導関数を計算することで、その点で区分関数が微分可能かどうかを知ることができます。

ある点における横導関数が等しくない場合、その関数はその点では微分可能ではありません。

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

微分不可能です

$x_o$

ある点での横導関数が一致する場合、その関数はその点で微分可能です。

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

はい、で導出可能です

$x_o$

次に、点で区分的に定義された関数の導関数を計算する例を見てみましょう。

点 x=2 における次の区分関数の連続性と微分可能性を調べます。

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

両方のセクションの関数はそれぞれの区間で連続していますが、臨界点 x=2 で関数が連続しているかどうかを確認する必要があります。これを行うには、次の点で関数の横方向の制限を解決します。

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

臨界点での横方向の限界でも同じ結果が得られたため、関数は点 x=2 で連続です。

関数が x=2 で連続であることがわかったら、この時点での関数の微分可能性を調べます。これを行うには、区分的に定義された関数の横導関数を計算します。

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

ここで、臨界点で各横導関数を評価します。

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

2 つの横導関数は同じ結果をもたらしたので、関数は x=2 で微分可能であり、導関数の値は 6 になります。

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

一方、横微分によって異なる結果が得られた場合、これは関数が x=2 で微分可能ではないことを意味します。言い換えれば、この時点での導関数は存在しないことになります。

➤参照: 関数の微分可能性に関する解決済み演習