▷ タンジェントの導関数（公式と演習問題）

ここでは、正接関数がどのように導出されるかを説明します。さらに、接線の導関数の例を確認したり、段階的に解決される演習で練習したりすることもできます。最後に、正接微分公式を示し、逆正接微分公式も示します。

タンジェントの導関数は何ですか?

x のタンジェントの導関数は、x のコサインの 2 乗で 1 に等しくなります。 x のタンジェントの導関数は、x の正割の 2 乗、および x のタンジェントの 2 乗に 1 を加えたものと等価です。

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tan}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}=\text{sec}^2(x)=1+\text{tan}^2(x)\end{array}$

すべての式は同等であるため、正接関数を導出する可能な式は 3 つあります。

一方、接線引数に x とは異なる関数がある場合 (これを u と呼びます)、連鎖規則を適用する必要があります。したがって、u のタンジェントの導関数は次のようになります。

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tan}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}=\text{sec}^2(u)\cdot u'=\left(1+\text{tan}^2(u)\right)\cdot u'\end{array}$

つまり、接線導関数ルールは次のように要約できます。

接線導関数の例

正接導関数の公式を考慮して、このセクションでは、正接関数の導出方法を理解できるように、このタイプの三角関数導関数のいくつかの例を解きます。

例 1: 2x の正接の導関数

$f(x)=\text{tan}(2x)$

正接の導関数を計算するには、上で見た 3 つの公式のいずれかを使用できます。この場合、コサイン公式を使用します。

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

関数 2x は線形なので、導関数は 2 です。したがって、2x のタンジェントの導関数は 2x のコサインの 2 乗で 2 になります。

$f(x)=\text{tan}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\text{cos}^2(2x)}$

例 2: x の 2 乗の正接の導関数

$f(x)=\text{tan}(x^2)$

この例では、正接引数関数は x ではなく、導関数を持つ関数です。つまり、それを導出するには連鎖規則を適用する必要があります。

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

x の 2 乗の導関数は 2x であるため、x ²の正接の導関数は次のようになります。

$f(x)=\text{tan}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\text{cos}^2(x^2)}$

例 3: 立方体の接線の導関数

$f(x)=\text{tan}^3(9x^2-4x)$

この問題では合成関数があるため、接線を微分するために連鎖規則も使用する必要があります。

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

さらに、タンジェントは 3 乗されます。つまり、タンジェントの微分の公式を適用する前に、べき乗の公式を使用する必要があります。

$\begin{aligned}f'(x)&=3\text{tan}^2(9x^2-4x)\cdot \cfrac{18x-4}{\text{cos}^2(9x^2-4x)} \\[2ex]&=\cfrac{3\text{tan}^2(9x^2-4x)\cdot(18x-4)}{\text{cos}^2(9x^2-4x)}\end{aligned}$

逆正接の導関数

他の逆関数と同様に、正接関数には逆正接関数という逆関数もあります。これを導出する公式はタンジェントの公式とは似ていませんが、場合によっては役立つ可能性があるため紹介します。

関数の逆正接の導関数は、関数の導関数を 1 で割った商に、その関数の 2 乗を加えた商です。

$f(x)=\text{tan}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

たとえば、3x の逆正接の導関数は次のようになります。

$f(x)=\text{tan}^{-1}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{1+(3x)^2}=\cfrac{3}{1+9x^2}$

接線の微分に関する演習を解決しました

次の正接関数の導関数を計算します。

$\text{A) } f(x)=\text{tan}(3x)$

$\text{B) } f(x)=\text{tan}(x^3-10x^2+8)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{tan}^2\left(\frac{x}{2}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{tan}\left(e^{2x}\right)$

$\text{E) } f(x)=\text{tan}\bigl(\ln(4x)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{tan}\left(\sqrt{3x}\right)$

解決策を見る

$\text{A) } f'(x)=\cfrac{3}{\text{cos}^2(3x)}$

$\text{B) } f'(x)=\cfrac{3x^2-20x}{\text{cos}^2(x^3-10x^2+8)}$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=2\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \frac{1}{\text{cos}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)}{\text{cos}^2\left(\frac{x}{2}\right)}$