関数の変曲点 -

ここでは、関数の変曲点とは何か、および関数のすべての変曲点を見つける方法について説明します。さらに、関数の曲率と変曲点に関する段階的な演習も用意されています。

関数の変曲点とは何ですか?

関数の変曲点は、関数のグラフの曲率が変化する点です。つまり、変曲点では関数が凹から凸、またはその逆に変化します。

関数に変曲点があるかどうかを確認する方法

変曲点の定義を踏まえて、特定の点が関数の変曲点であるかどうかを確認する方法を見てみましょう。

関数には、その 2 次微分値がキャンセルされる点に変曲点があり、その 3 次微分値がゼロではありません。

$\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}$

例として、次の 3 次関数の変曲点を計算します。

$f(x)=x^3-5x$

まず、関数の 2 次導関数と 3 次導関数を計算します。

$f'(x)=3x^2-5$

$f''(x)=6x$

$f'''(x)=6$

次に、二次導関数を 0 に設定し、結果の方程式を解きます。

$6x=0$

$x=0$

次に、この点で 3 次導関数がゼロでない場合、点 x=0 が関数の変曲点になります。この場合、3 次導関数は常に 6 に等しくなります。

$f'''(0)=6\neq 0$

したがって、x=0 が関数の変曲点になります。

曲率を研究し、関数の変曲点を見つける方法

転換点を見つける方法を見てきました。しかし、私たちは通常、関数の曲率を研究する、つまり関数の凹凸を決定し、そこから変曲点を計算する傾向があります。

関数の曲率から関数の変曲点を見つけるには、次の手順を実行する必要があります。

関数の定義域に属さない点を見つけます。
関数の一次導関数と二次導関数を計算します。
二次導関数の根を求めます。つまり、次の解を求めて二次導関数を打ち消す点を計算します。
$f''(x)=0$

。
導関数の根と関数の定義域に属さない点で区間を作成します。
各区間の点における二次導関数の値を計算します。
二次導関数の符号は、この区間における関数の凹性または凸性を決定します。
- 関数の 2 次導関数が正の場合、関数はこの区間で凸になります。
- 関数の 2 次導関数が負の場合、関数はこの区間で凹型になります。
変曲点は、関数が凸から凹、またはその逆に変化する点です。

この手順を使用して関数の変曲点がどのように計算されるかを理解できるように、以下の例を段階的に解決していきます。

曲率を調べて、次の多項式関数の変曲点を見つけます。

$f(x)=x^4-6x^2$

最初に行うことは、関数の定義域を計算することです。これは多項式関数であるため、関数の定義域は実数で構成されます。つまり、連続関数です。

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

関数の定義域を計算したら、どの点でそれが満たされるかを調べる必要があります。

$f''(x)=0$

。

したがって、最初に関数の一次導関数を計算します。

$f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x$

次に、関数の二次導関数を計算します。

$f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12$

そして、二次導関数を 0 に設定して方程式を解きます。

$f''(x)=0$

$12x^2-12=0$

$12x^2=12$

$x^2=\cfrac{12}{12}$

$x^2=1$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$

$x=\pm1$

関数の定義域を計算したら、

$f''(x)=0$

、数直線上にあるすべての重要な点を表します。

そして今度は、関数が凹か凸かを知るために、各区間の二次導関数の符号を評価します。したがって、各区間の点 (臨界点ではない) を取得し、この点で 2 次導関数がどのような符号を持つかを調べます。

$f''(x)=12x^2-12$

$f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

二次導関数が正の場合、関数が凸であることを意味します。

$(\bm{\cup})$

、二次導関数が負の場合、これは関数が凹であることを意味します

$(\bm{\cap})$

。したがって、関数の凹凸の間隔は次のようになります。

凸型

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}$

凹面

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-1,1)}$

さらに、x=-1 で関数は凸から凹に変化するため、 x=-1 は関数の変曲点になります。そして、x=1 で関数は凹から凸になるため、 x=1 は関数の変曲点でもあります。

最後に、見つかった点を元の関数に代入して、変曲点の Y 座標を見つけます。

$f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)$

$f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)$

したがって、関数のターニングポイントは次のとおりです。

分岐点：

$\bm{(-1,-5)}$

そして

$\bm{(1,-5)}$

以下に、調査した関数のグラフィック表現を示します。

グラフからわかるように、関数は凸から始まります。

$(\cup)$

凹面になる

$(\cap)$

について

$(-1,-5)$

曲率が変わるから。一方、関数は凹から始まります。

$(\cap)$

凸になる

$(\cup)$

について

$(1,-5)$

。

解決された旋回練習

演習 1

次の指数関数の凹凸の間隔と変曲点を計算します。

$f(x) = xe^x$

解決策を見る

最初に行うことは、関数の定義域を計算することです。この関数は、定義域が実数のみで構成される多項式関数 (x) と、定義域も実数で構成される指数関数 (e ^x ) で構成されます。したがって、関数の定義域は実数で構成されます。

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

次に、関数の導関数を計算してみましょう。この場合、関数は 2 つの関数の積で構成されているため、関数を導出するには、積の導関数の公式を適用する必要があります。

$f'(x)=1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f'(x)=e^x +xe^x$

次に、関数の二次導関数を計算します。

$f''(x)= e^x + 1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f''(x)=e^x +e^x + xe^x = 2e^x +xe^x$

二次導関数を 0 に設定し、方程式を解きます。

$f''(x)= 0$

$2e^x+xe^x= 0$

共通因数を抽出します。

$e^x(2+x)=0$

乗算が 0 になるには、乗算の 2 つの要素のうちの 1 つがゼロでなければなりません。したがって、各係数を 0 に設定します。

$\displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}$

数値を累乗すると 0 になることはありません。したがって、方程式は次のようになります。

$e^x=0$

解決策はありません。

右側で得られたすべての特異点を表します。

そして、各区間の二次導関数の符号を評価して、関数が凹であるか凸であるかを確認します。これを行うには、各区間の点を取得し、その点でどの符号が二次導関数を持つかを調べます。

$f''(-3)= 2e^{-3} +(-3)\cdot e^{-3} = 0,1 - 0,15 = -0,05\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(0)= 2e^0 +0\cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 =2+0= 2 \ \rightarrow \ \bm{+}$

二次導関数が正の場合、関数が凸であることを意味します。

$(\bm{\cup})$

、二次導関数が負の場合、これは関数が凹であることを意味します

$(\bm{\cap})$

。したがって、凹凸の間隔は次のようになります。

凸型

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,+\infty)}$

凹面

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)}$

さらに、関数は x=-2 で凹から凸に変化するため、 x=-2 は関数の変曲点になります。

最後に、見つかった変曲点を元の関数に代入して、点の Y 座標を求めます。

$f(-2) = (-2)\cdot e^{-2} =-2e^{-2} \ \longrightarrow \ (-2,-2e^{-2})$

結論として、この関数の唯一の転換点は次のとおりです。

分岐点：

$\bm{(-2,-2e^{-2})}$

演習 2

凹凸の間隔を調べて、次の有理関数の変曲点を見つけます。

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

解決策を見る

まず関数の定義域を計算する必要があります。これは有理関数であるため、分母をゼロに設定して、どの数値が関数の定義域に属していないかを確認します。

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

これは、x が -2 または +2 の場合、分母は 0 になることを意味します。したがって、関数は存在しません。したがって、関数の定義域は、x=-2 と x=+2 を除くすべての数値で構成されます。

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

次に、関数の一次導関数を計算します。

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

そして、二次導関数を解きます。

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

すべての項は次のように乗算されます

$(x^2-4)$

。したがって、分数を単純化できます。

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

次に、関数の二次導関数の根を計算しましょう。

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

用語

$\left(x^2-4\right)^3$

これには左側全体を除算する必要があるため、右側全体を乗算できます。

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

共通因数を抽出します。

$x(8x^2+96)=0$

乗算が 0 になるには、乗算の 2 つの要素のうちの 1 つがゼロでなければなりません。したがって、各係数を 0 に設定します。

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$

$x= \sqrt{-12}$

実数には負の根がないので解はありません。

ここで、得られたすべての臨界点、つまり領域に属さない点 (x=-2 および x=+2) と二次導関数をキャンセルする点 (x=0) を直線上に表します。

そして、関数が凹か凸かを知るために、各区間の二次導関数の符号を評価します。したがって、各区間の点を取得し、その点で二次導関数がどの符号にあるかを調べます。

$f''(-3)=\cfrac{8(-3)^3+96(-3) }{\left((-3)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-504}{125}=-4,03 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(-1)=\cfrac{8(-1)^3+96(-1) }{\left((-1)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-104}{-27}=3,85 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(1)=\cfrac{8\cdot1^3+96\cdot 1 }{\left(1^2-4\right)^3 } = \cfrac{104}{-27}=-3,85 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(3)=\cfrac{8\cdot 3^3+96\cdot 3 }{\left(3^2-4\right)^3 } = \cfrac{504}{125}=4,03 \ \rightarrow \ \bm{+}$

二次導関数が正の場合、関数が凸であることを意味します。

$(\bm{\cup})$

、二次導関数が負の場合、これは関数が凹であることを意味します

$(\bm{\cap})$

。したがって、凹凸の間隔は次のようになります。

凸型

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,0)\cup (2,+\infty)}$

凹面

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)\cup (0,2)}$

この関数は 3 つの点で曲率を変更するため、有理関数には原理的に 3 つの変曲点 (x=-2、x=0、x=2) が存在します。ただし、x=-2 と x=+2 で曲率の変化がありますが、これらは関数の領域に属していないため、変曲点ではありません。一方、x=0 では曲率の変化があり、これは関数に属するため、 x=0 が関数の唯一の変曲点になります。

残っているのは、変曲点の Y 座標を計算することだけです。

$\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{0^2-4} =\frac{0}{-4}=0\ \longrightarrow \ (0,0)$