このページでは、軌跡とは何かについて説明します。さらに、コンセプトを完全に理解するためにいくつかの場所の例を見ることができます。
場所とは何ですか？
解析幾何学において、軌跡とは、特定の幾何学的条件を満たす点の集合です。
場所の単純な定義では、理解するのが難しく、その概念があまり明確ではなかったのかもしれません。それでは、その意味を理解するための例を見てみましょう。
あなたはおそらく円が何であるかを知っているでしょう。円は、円を形成する平面上のすべての点が同じ幾何学的特性を満たすため、幾何学的軌跡の明確な例です。つまり、円上のすべての点は別の固定点から同じ距離にあります (前記円の中心）。
一方、場所のすべての点が満たさなければならないこの幾何学的特性は、代数方程式によって数学的に表現できなければなりません。
したがって、場所はさまざまな幾何学的図形を定義するために使用されます。以下に最も重要な場所の例を示します。
場所の例
点の軌跡が何を意味するのかを確認したら、次に場所のいくつかの例に進みます。その中で、円周、楕円、放物線、双曲線などのいわゆる円錐曲線が目立ちます。
この幾何学的グループはすべて円錐から得られるため、円錐断面と呼ばれます。これがどのように行われるかを知りたい場合は、テーパーセクションに関するページをチェックしてください。そこでは、テーパーセクションとは何か、そしてなぜそれほど重要なのかについての詳細な説明が見つかります。
周
前に見たように、円は特に次の条件を満たす場所です。
円周は、中心と呼ばれる固定点から等距離にあるデカルト平面上の点の軌跡です。
ご存知のとおり、円の中心とその点の 1 つの間の距離は半径と呼ばれます。
円周は、多くの用途があるため、数学にとって特に重要な幾何学的図形です。 円方程式を使用して円を数値的に定義する方法を確認できます。さらに、ここではあらゆる種類の円周方程式、関連する問題、および練習用の解決済み演習が見つかります。
楕円
楕円は円周に非常によく似た平らで閉じた曲線ですが、その形状はより楕円形です。
より正確には、楕円は、他の 2 つの固定点 (焦点 F および F’ と呼ばれる) までの距離の合計が一定である XY 平面上のすべての点の軌跡です。
楕円を分析的に表現する方法は、円と非常に似ています。必要に応じて、このリンクにアクセスして、楕円の縮小方程式がどのようなものかを知ることができます。ここでは、楕円を定義する要素が何か、さらにはさまざまな例や演習問題も見つかります。
たとえ話
数学では、放物線は、固定点 (焦点と呼ばれます) と固定線 (準線と呼ばれます) から等距離にある平面上の点の軌跡です。
以下は放物線をグラフで表したものです (オレンジ色の曲線)。
このたとえ話について知っておくべきことすべてを 1 ページにまとめてみました。そこでは、放物線を記述するすべての要素、そのさまざまな方程式、放物線が持つ特性、実際の応用などが説明されています。つまり、次のリンクで、 放物線 (数学)についてすべてを知ることができます。
双曲線
双曲線は、次の条件を満たす平面上の点の軌跡です。双曲線上の任意の点と 2 つの固定点 (焦点と呼ばれます) の間の距離の差の絶対値が一定でなければなりません。
さらに、これら 2 つの距離を減算した値は、常に双曲線の 2 つの頂点間の距離に等しくなります。
次のグラフィック表現では、双曲線が常に 2 つの枝で構成されていることがわかります。
ご想像のとおり、パラメータ値は
双曲線の計算は双曲線の基本です。 双曲線の説明では、双曲線がなぜそれほど重要な係数であるのか、また双曲線を特徴づけるすべての要素が何なのかを理解できるでしょう。さらに、双曲線の方程式がどのようなものであるか、存在するさまざまな種類の双曲線、さらには双曲線に関する段階的な問題や演習もわかります。
場所のその他の例
中学校および高校で最も分析されている遺伝子座のタイプは、これまでに説明した 4 つですが、よく知られている遺伝子座の例は他にもあります。
- 二等分線: 二等分線は、2 つの固定点から等距離にある点の軌跡です。さらに、これら 2 点が線分の端である場合、二等分線はその線分を中央で切る垂線でもあります。さらに興味がある場合は、セグメントの中点がどのように計算されるかをここで確認できます。
- 二等分線: 二等分線は、角度の辺から等距離にある点の軌跡です。言い換えれば、二等分線は角を二等分する線です。
- 平行線: 平行線は、指定された線から同じ距離にある点の軌跡です。言い換えれば、2 本の平行線の間の距離は常に同じです。