累積行列 - Mathority

このページでは、インボリューション行列とは何かを学びます。また、次元 2×2、3×3、および 4×4 のインボリューティブ行列の例も示します。そして最後に、累積行列の公式を見つけます。

累積行列とは何ですか?

累積行列の意味は次のとおりです。

インボリューティブ行列の定義 : 逆行列が行列そのものである可逆正方行列。

$A^{-1} = A$

金

$A$

は任意の行列であり、

$A^{-1}$

はその逆を表します。

したがって、明らかに、畳み込み行列は、正規行列または非縮退行列の一例です。

行列の逆行列がわからない場合は、ここで3×3 逆行列の計算方法を参照してください。逆行列の方法を知ることは重要ですが、そのためには行列の随伴がどのように計算されるかを知る必要もあります。

しかし、本題に戻ります。行列が包含的である場合、行列と行列自体を乗算すると単位行列が得られます。デモを見てみましょう:

行列にその逆行列を乗算すると、アイデンティティ (またはユニット) 行列が得られます。それで：

$\displaystyle A \cdot A^{-1} = I$

そして、インボリューション行列の逆行列は行列そのものであるため、次のようになります。

$\displaystyle A \cdot A = I$

したがって、平方インボリューション行列は単位行列を与えます。

インボリューション行列の例

2×2 積分行列の例:

行列の 2 乗を計算することで、それがインボリューション行列であることを確認できます。

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

行列 A の 2 乗は恒等行列であるため、行列 A は 2×2 の累積行列になります。

3×3 の積分行列の例:

行列の積を単独で解くことで、それが累積行列であることを検証できます。

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 & -1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 & -1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行列 B の 2 乗は単位行列であるため、行列 B は 3×3 の累積行列になります。

4×4 の積分行列の例:

Identity (または Unit) 行列は、その次元が何であれ、定義上、インボリューショナル行列です。

$\displaystyle I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行列を 2 に増やすことで、それが累積行列であることを確認できます。

$\displaystyle I^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$