このページでは、直交行列とは何か、および直交行列と逆行列との関係について説明します。また、それを完全に理解するためにいくつかの例も表示されます。さらに、直交行列をチェックする公式も教えます。これを使用すると、直交行列をすばやく見つける方法がわかります。最後に、これらの特定の行列の特性と応用、および典型的な解答済みの試験演習が見つかります。
直交行列とは何ですか?
直交行列の定義は次のとおりです。
直交行列は、転置(または転置)を乗じた正方実数行列であり、単位行列と等しくなります。つまり、次の条件が満たされます。
金
は直交行列であり、
はその転置行列を表します。
この条件を満たすには、直交行列の列と行が直交単位ベクトルである必要があります。つまり、正規直交基底を形成している必要があります。このため、一部の数学者はこれらを正規直交行列と呼ぶこともあります。
直交行列の逆行列
直交行列の概念を説明するもう 1 つの方法は、直交行列の転置 (または転置) 行列がその逆行列に等しいため、逆行列を使用することです。
この定理を完全に理解するには、逆行列の方法を知っておくことが重要です。このリンクでは、逆行列とそのすべてのプロパティの詳細な説明が見つかり、さらにステップごとに解決された練習問題も提供されます。
直交行列の逆行列は、直交行列条件と逆行列の主な特性を使用して、その転置と同等であることを簡単に示すことができます。
したがって、直交行列は常に可逆行列、つまり、正規行列または非縮退行列になります。
次に、直交行列の例をいくつか見て、すべての概念を理解します。
2×2直交行列の例
次の行列は 2×2 次元の直交行列です。
転置による積を計算することで、直交であることを確認できます。
結果は同一行列となるため、A が直交行列であることを確認します。
3×3直交行列の例
次の行列は 3×3 次元の直交行列です。
行列 A にその転置を乗算することで、それが直交であることを示すことができます。
解はユニタリ行列であるため、A が直交行列であることを示します。
2×2直交行列を求める公式
次に、次数 2 のすべての直交行列が同じパターンに従うという証明を見ていきます。
サイズ 2×2 の一般的な行列を考えてみましょう。
この行列が直交するには、次の行列方程式が満たされる必要があります。
行列の乗算を解くと、次の方程式が得られます。
よく見ると、これらの等式は基本的なピタゴラス三角関係によく似ています。
その結果、式 (1) および (3) を満たす項が得られます。
さらに、2 番目の方程式に値を代入すると、2 つの角度の関係が得られます。
つまり、次の 2 つの条件のいずれかを満たす必要があります。
したがって、結論として、直交行列は次の 2 つの行列のいずれかの構造を持つ必要があります。
金
は実数です。
実際、例として値を付与すると、
最初の構造を取得すると、「2×2 直交行列の例」セクションで直交であることが確認された行列が得られます。
直交行列のプロパティ
このタイプのマトリックスの特徴は次のとおりです。
- 直交行列は常に反転できるため、特異行列になることはありません。この意味で、直交行列の逆行列は別の直交行列です。
- 任意の直交行列は対角化できます。したがって、直交行列は直交対角化可能であると言います。
- すべての固有値、または直交行列の固有値は、1 に等しい係数を持ちます。
- 実数のみで構成される直交行列も正規行列です。
- 複素数環境における直交行列の類似物は、ユニタリ行列です。
- 明らかに、単位行列は直交行列です。
- n × n 次元の直交行列の集合と行列の積の演算は、直交群と呼ばれる群を形成します。つまり、2 つの直交行列の積は、別の直交行列と等しくなります。
- さらに、直交行列に転置を乗算した結果は、クロネッカー デルタで表すことができます。
- 最後に、直交行列の行列式は常に +1 または -1 です。
直交行列の解決済み演習
次に、直交行列の練習問題を解きます。
- 次の次数 3 の正方行列が与えられた場合、次の値を求めます。
そして
直交させるには:
行列の直交性が満たされるためには、行列の転置による積が恒等行列に等しくなければなりません。それで:
行列を乗算します。
この位置の要素は一致する必要があるため、行列の左上隅から方程式を取得できます。まだ:
方程式を解き、未知のものを排除します。
ただし、右上隅にあるものなど、正の解では成立しない方程式もあります。したがって、否定的な解決策のみが可能です。
一方、変数を計算するには、
たとえば、最初の列の 2 行目にある用語を照合できます。
の値を置き換えることにより、
方程式では次のようになります。
つまり、考えられる唯一の解決策は次のとおりです。
したがって、これらの値に対応する直交行列は次のようになります。
直交行列の応用
直交行列は通常は非常に単純な形式であるため、そうは思わないかもしれませんが、数学、特に線形代数の分野では非常に重要です。
幾何学では、直交行列は実ベクトル空間での等角変換 (距離と角度を変更しない) を表すため、直交変換と呼ばれます。さらに、これらの変換は、考慮されているベクトル空間の内部同型写像です。これらの変換には、回転、鏡面反射、反転などがあります。
最後に、このタイプのマトリックスは剛体の動きを研究できるため、物理学でも使用されます。そして、それらは特定の場の理論の定式化にも使用されます。