特異行列または縮退行列

このページでは、行列が特異であるか縮退していることが何を意味するのかを説明します。さらに、疑問を抱かないよういくつかの例を示し、最後にこのタイプのマトリックスのすべてのプロパティを説明します。

特異行列または縮退行列とは何ですか?

特異行列 (縮退行列とも呼ばれます) の定義は次のとおりです。

特異行列または縮退行列は反転できない正方行列であるため、行列式は 0 に等しくなります。

したがって、行列が特異であるかどうかを知るには、行列式を計算するだけです。結果が 0 の場合、行列は特異です。一方、行列式が 0 と異なる場合、行列は特異ではありません。。

逆行列についてさらに詳しく知りたい場合は、ガウス法を使用して行列を逆行列にする方法が詳細に説明されているこのページを参照してください。また、練習のために段階的に解決されるいくつかの例と演習も見つかります。

一方、特異行列は、正則行列の正反対の意味を持つため、非正則行列とも呼ばれます。

特異行列または縮退行列の説明を理解したら、いくつかの次元を持つ特異行列の例をいくつか見てみましょう。

行列式を計算することで、それが特異行列であることを簡単に検証できます。

$\displaystyle\begin{vmatrix} 2&1 \\[1.1ex] 4 & 2\end{vmatrix}\bm{=0}$

次数 2 の行列の行列式は 0 に等しいため、特異行列です。

行列の行列式を解いて、それが非可逆行列であることを確認する必要があります。

$\displaystyle\begin{vmatrix} 1&3&0\\[1.1ex] 4&7&2\\[1.1ex] 3&4&2\end{vmatrix}\bm{=0}$

次数 3 の行列の行列式は 0 を与えるため、特異行列になります。

行列の行列式を作成することで、それが特異行列であることを示します。

$\displaystyle\begin{vmatrix} 2&1&4&-1\\[1.1ex] 3&-2&1&0\\[1.1ex] 5&1&-3&2\\[1.1ex] -1&3&3&-1\end{vmatrix}\bm{=0}$

次数 4 の行列の行列式は 0 であるため、その逆行列は存在しません。

警告:行列式の計算に疑問がある場合は、行列式の計算方法のページを参照してください。

このタイプの行列の特徴は次のとおりです。

$\text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)=0 \cdot \text{det}(B) = 0$

$\text{det}(A^t) = \text{det}(A)=0$