明示的な直線の方程式

このページでは、線の陽方程式とは何か、公式とは何か、計算例など、線の陽方程式に関するすべてがわかります。また、傾きの意味や陽的な方程式の切片についても詳しく説明します。さらに、さまざまな例が表示され、段階的に問題を解いて練習することができます。

直線の明示的な方程式は何ですか?

線の数学的定義は、曲線や角度を持たずに同じ方向に表現される一連の連続する点であることに注意してください。

したがって、明示的な直線方程式は、任意の直線を数学的に表現する方法です。これを行うには、線の傾きと、線が Y 軸と交差する点を知る必要があるだけです。

直線の明示的な方程式の公式

直線の明示的な方程式の式は次のとおりです。

$y=mx+n$

金

$m$

は線の傾きであり、

$n$

y 切片、つまり Y 軸と交差する高さです。

例を通して直線の明示的な方程式がどのように計算されるかを見てみましょう。

点を通る直線の方程式を明示的に書きます。
$P(3,1)$

傾き m = 2。

直線の明示的な方程式の式は次のとおりです。

$y= mx+n$

この場合、ステートメントは直線の傾きが m=2 であることを示しているため、直線の方程式は次のようになります。

$y= 2x+n$

したがって、係数 n を計算するだけで十分です。これを行うには、直線に属する点をその方程式に代入する必要があります。この場合、ステートメントは、線が点を通過することを示しています。

$P(3,1),$

まだ：

$P(3,1)$

$y= 2x+n \ \xrightarrow{x=3 \ ; \ y=1} \ 1=2\cdot 3 +n$

そして、結果として得られた方程式を解いて、n の値を見つけます。

$1=2\cdot 3 +n$

$1=6 +n$

$1-6=n$

$-5 = n$

したがって、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y= 2x-5}$

明示的な方程式とは別に、直線を分析的に表現する他の方法があることに留意してください。たとえば、ベクトル方程式は、方向ベクトルと直線上の点が独自の座標で表現されるため、他の直線方程式とは異なります。リンクでは、それが何であるか、そしてなぜ特別なのかを確認できます。

パラメータ m と n の意味

直線の明示的な方程式の定義で見たように、パラメータは

$m$

は線の傾きであり、

$n$

その y 切片。しかし、それは何を意味するのでしょうか？これを線のグラフィック表現から見てみましょう。

独立という言葉

$\bm{n}$

線とコンピュータ軸 (OY 軸) の交点です。上のグラフでは

$n$

直線は y=1 で y 軸と交差するため、は 1 に等しくなります。

一方で、この用語は、

$\bm{m}$

は線の傾き、つまり傾きを示します。グラフからわかるように、

$m$

ラインは 1 水平単位に対して 2 垂直単位ずつ上昇するため、は 2 に等しくなります。

明らかに、傾きが正の場合、関数は増加 (上昇) し、一方、傾きが負の場合、関数は減少 (下降) します。

線の傾きを計算する

さらに、線の傾きを数値的に決定するには 3 つの異なる方法があります。

直線上の 2 つの異なる点が与えられると、
$P_1(x_1,y_1)$

そして

$P_2(x_2,y_2),$

線の傾きは次のようになります。

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

うん
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

は線の方向ベクトルであり、その傾きは次のとおりです。

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

うん
$\alpha$

は横軸 (X 軸) と線によって形成される角度であり、線の傾きはその角度の正接に相当します。

$m = \text{tg}(\alpha )$

線の相対位置

最後に、線の傾きは、複数の線の間の関係を知るためにも使用されます。 2 本の平行な線は同じ傾きを持ち、一方の線の傾きが別の線の傾きの負の逆数である場合、これはこれら 2 本の線が垂直であることを意味します。

2 点を通る直線の陽的な方程式を計算します。

非常に典型的な問題は、直線が通過する 2 つの点が与えられた場合に、その直線の方程式を明示的に求めることです。例を通してそれがどのように解決されるかを見てみましょう。

次の 2 点を通過する直線の方程式を明示的に求めます。

$P_1(4,-1) \qquad P_2(2,5)$

直線の明示的な方程式を見つけるには、パラメーター m と n の値を知る必要があります。したがって、最初にコロンの式を使用して線の傾きを計算します。

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{5-(-1)}{2-4} = \cfrac{6}{-2}= -3$

$y=-3x+n$

そして、直線上の点を方程式に代入することで y 切片を求めることができます。

$P_1(4,-1)$

$y= -3x+n \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ -1=-3\cdot 4 +n$

$-1 =-12+ n$

$-1 +12= n$

$11= n$

したがって、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y=-3x+11}$

陰的な方程式から陽的な方程式を求める

最後に、私たちがよく遭遇するもう 1 つのタイプの問題は、暗黙的な方程式 (一般方程式またはデカルト方程式とも呼ばれます) から直線の明示的な方程式を見つけることです。明らかに、次の方法を理解するには、暗黙の方程式が何であるか、またそれがどのようなものであるかを正確に知る必要があります。まったく覚えていない場合は、リンクで確認してください。

したがって、すでに線分の暗黙的な (または一般的な) 方程式をマスターしている場合は、この手順がどのように機能するかを見てみましょう。

次の行の明示的な方程式を見つけます。

$3x-2y+8 =0$

直線の明示的な方程式を見つけるためにしなければならないことは、変数を解くことだけです。

$\bm{y}.$

したがって、何もせずに条件を渡します。

$y$

方程式の反対側:

$-2y=-3x-8$

次に変数をクリアします

$y:$

$\displaystyle y=\frac{-3x-8}{-2}$

そして最後に、次のように単純化します。

$\displaystyle y=\frac{-3x}{-2} -\cfrac{8}{-2}$

$\displaystyle y=\frac{3x}{2} -(-4)$

$\displaystyle \bm{y=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x +4}$

したがって、この直線の傾きは次のようになります。

$\displaystyle \frac{3}{2}$

その y 切片は 4 です。

明示的な方程式の問題を解決しました

演習 1

次の直線の傾きと y 切片を与えます。

$\begin{array}{lll} A) \ y= 3x-1 & \qquad & B) \ y=5x+2 \\[2ex] C) \ y=-x+3 & \qquad & D) \ 4x+2y-6=0 \end{array}$

解決策を参照

直線の明示的な方程式は次の式に従います。

$y=mx+n$

金

$m$

は傾斜であり、

$n$

原点のコンピューター。まだ：

$\bm{A)} \ y= 3x-1 \ \begin{cases} m = 3 \\[2ex] n=-1\end{cases}$

$\bm{B)} \ y= 5x+2 \ \begin{cases} m = 5 \\[2ex] n=2 \end{cases}$

$\bm{C)} \ y= -x+3 \ \begin{cases} m = -1 \\[2ex] n=3\end{cases}$

最後の行は暗黙的な方程式で表現されているため、最初にそれを明示的な方程式に渡す必要があります (

$y$

) パラメータを特定できます。

$\bm{D)} \ 4x+2y-6=0$

$2y =-4x+6$

$y =\cfrac{-4x+6}{2}$

$y =-2x+3$

$\begin{cases} m = -2 \\[2ex] n=3 \end{cases}$

演習 2

点を通る直線の明示的な方程式を求めます。

$P(2,-3)$

そして傾斜があります

$m=-2.$

解決策を参照

直線の明示的な方程式の式は次のとおりです。

$y= mx+n$

この場合、線の傾きは -2 である必要があるため、線の方程式は次の形式になります。

$y= -2x+n$

したがって、係数 n を計算するだけで十分です。これを行うには、直線に属する点を方程式に代入し、結果として得られる方程式を解く必要があります。

$P(2,-3)$

$y= -2x+n \ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=-3} \ -3=-2\cdot 2 +n$

$-3=-4 +n$

$-3+4= n$

$1= n$

つまり、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y= -2x+1}$

演習 3

次の 2 点を通る直線の明示的な方程式を求めます。

$P_1(6,-1) \qquad P_2(3,2)$

解決策を参照

直線の明示的な方程式を見つけるには、パラメーター m と n の値を知る必要があります。したがって、最初に 2 点の座標から線の傾きを計算します。

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{2-(-1)}{3-6} = \cfrac{3}{-3}= -1$

$y=-x+n$

次に、直線上の点を方程式に代入して切片を決定します。

$P_1(6,-1)$

$y= -x+n \ \xrightarrow{x=6 \ ; \ y=-1} \ -1=-6 +n$

$-1 +6= n$

$5= n$

したがって、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y=-x+5}$

演習 4

X 軸と 45 度の角度を形成し、座標の原点を通過する直線の明示的な方程式を計算します。

解決策を参照

線が OX 軸に対して 45 度の角度をなす場合、その傾きは次のようになります。

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y=x+n$

直線の傾きがわかれば、直線上の点を方程式に代入して y 切片を計算できます。さらに、このステートメントは、線が座標原点を通過すること、つまり点 (0,0) を通過することを示しています。まだ：

$P(0,0)$

$y= x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ 0=0 +n$

$0= n$

したがって、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y=x}$

演習 5

直線に平行な直線の明示的な方程式を求めます。

$r$

そしてその点で何が起こるか

$P(-2,4).$

まっすぐであること

$r:$

$r: \; y=3x+4$

解決策を参照

線が線と平行になるように

$r,$

したがって、両方とも同じ傾きを持つ必要があります。

$m = 3$

$y=3x+n$

線の傾きがわかれば、その線に属する点を方程式に代入して y 切片を計算できます。

$P(-2,4)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=-2 \ ; \ y=4} \ 4=3\cdot (-2) +n$

$4=-6+ n$

$4+6= n$

$10= n$

したがって、この直線の明示的な方程式は次のようになります。

$\bm{y=3x+10}$

演習 6

各グラフ線の明示的な方程式は何ですか?

解決策を参照

青右

青い線は Y ごとに 1 ずつ増加します。

$y =x+2$

右の緑

緑の線は X ごとに Y が 3 ずつ増加するため、その傾きは 3 になります。さらに、この線は -4 で Y 軸と交差するため、その y 切片は -4 になります。

$y =3x-4$

レッドライン

赤い線は X ごとに Y が 2 ずつ減少するため、その傾きは -2 になります。そして、この線は y=-2 で y 軸と交差するため、その y 切片も -2 になります。

$y =-2x-2$

直線の明示的な方程式は何ですか?

直線の明示的な方程式の公式

パラメータ m と n の意味

線の傾きを計算する

線の相対位置

2 点を通る直線の陽的な方程式を計算します。

陰的な方程式から陽的な方程式を求める

明示的な方程式の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

演習 6

コメントする 返信をキャンセル

コメントする返信をキャンセル