交差する 2 つの線の間の距離 (数式)

このページでは、交差する 2 本の線の間の距離を求める方法 (公式) を説明します。さらに、交差する線間の距離の例を確認し、解決済みの演習を使用して練習することができます。

交差する2本の線とは何ですか?

交差する 2 つの線の間の距離がどのように計算されるかを説明する前に、2 つの線の間のこのタイプの相対位置が正確にどのような構成になっているかを簡単に思い出してみましょう。

2 つの交差する線 (交差線とも呼ばれます) は、異なる方向を持ち、どの点でも交差しない 2 つの別個の線です。したがって、2 つの交差した線は同じ平面上にありません。

たとえば、線の上のグラフィック表現では、

$s$

常に列の先頭にいる

$r$

, したがって、彼らは決してお互いに触れることはありません。

交差する2本の線の間の距離を計算する方法

空間内で交差する 2 本の線の間の距離を決定するには、いくつかの方法があります。このページでは、最も簡単な 1 つの手順のみを説明します。他の 2 つの方法は長くて複雑で、実際にはほとんど使用されないためです。

方向ベクトルと 2 つの交差する線の任意の点を次のようにします。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

交差する 2 本の線の間の距離の公式は次のとおりです。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

金

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

ベクトルの混合積の絶対値です。

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

および点によって定義されるベクトル

$A$

そして

$B$

。そしてその一方で、

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

は、2 つの交差した線の方向ベクトルのベクトル積の大きさです。

したがって、交差する 2 つの線の間の距離を求めるには、 3 つのドット積(または 3 つのベクトルの混合積) とベクトル積(または 2 つのベクトルのベクトル積) を計算する方法を知っておく必要があります。これがどのように行われたかについては、前のリンクで確認できます。対応する公式、例、および解決済みの演習が見つかります。

交差する 2 つの線の間の距離を求める方法の例

2 つの交差した線の間の距離を決定する方法を確認できるように、例として問題を解決します。

次に交差する 2 本の線の間の距離はいくらですか?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

まず、方向ベクトルと各線上の点を特定する必要があります。したがって、2 つの直線は連続方程式の形式で表現されます。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

次に、交差する 2 つの線の間の距離の公式を適用します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

一方で、混合積を解決します。

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

一方、ベクトル積の大きさを求めます。

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

最後に、2 つの交差した線の間の距離を表す式の各項の値を代入します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

交差する 2 つの線の間の距離の問題を解決する

演習 1

点で交差する次の 2 本の線の間の距離を求めます。

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

解決策を参照

まず、方向ベクトルと各線上の点を見つける必要があります。したがって、2 つの直線は連続方程式の形式で定義されます。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

ここで、交差する 2 つの線の間の距離の公式を使用します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

混合積を決定します。

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

次に、外積の大きさを計算します。

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

最後に、交差する 2 つの線の間の距離を表す式の各項の値を代入します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

演習 2

交差する 2 つの線の間の距離を計算します。

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

解決策を参照

まず、方向ベクトルと各線上の点を特定する必要があります。したがって、2 つの直線は連続方程式の形式で表現されます。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

ここで、交差する 2 つの線の間の距離の公式を使用します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

混合積を決定します。

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

次に、外積の大きさを計算します。

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

そして最後に、2 つの交差した線の間の距離を表す式内の各未知の値を代入します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

演習 3

交差する 2 つの線の間の距離を求めます。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

解決策を参照

まず、方向ベクトルと各線上の点を見つける必要があります。権利

$r$

パラメトリック方程式と直線の形式です

$s$

したがって、ベクトル方程式形式では次のようになります。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

ここで、交差する 2 つの線の間の距離の公式を使用します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

トリプルのスカラー積を決定します。

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

次に、外積の大きさを計算します。

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

最後に、交差する 2 つの線の間の距離を表す式の各項の値を代入します。

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

交差する2本の線間の距離（計算式）

交差する2本の線とは何ですか?

交差する2本の線の間の距離を計算する方法

交差する 2 つの線の間の距離を求める方法の例

交差する 2 つの線の間の距離の問題を解決する

演習 1

演習 2

演習 3

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