二項三乗 - マソリティ

ここでは、二項三乗 (公式) の注目すべき積 (a+b) ³または (ab) ³の分解能の説明が見つかります。さらに、二項から立方体まで段階的に解決される例と演習を見ることができます。

3 乗二項式とは何ですか?

3乗二項式は、2 つの項の 3 乗で構成される多項式です。したがって、3 乗二項式の代数式は、単項式を加算するか減算するかに応じて、 (a+b) ³または(ab) ³になります。

さらに、3 乗二項は注目すべきアイデンティティ (または注目すべき製品) の 1 つです。より正確には、それは立方体 (または立方体) の注目すべきアイデンティティの1 つに対応します。

二項立方体の公式

二項三乗の定義で見たように、このタイプの注目すべき恒等式は加算または減算で構成されます。したがって、正の二項式か負の二項式かによって式が若干異なるため、それぞれのケースを個別に見ていきます。

和の立方体

合計が 3 乗される場合、合計の 3 乗の公式を使用して計算できます。

したがって、二項の 3 乗 (加算) は、最初の 3 乗、1 番目の 2 乗の 3 倍に 2 番目の値を掛けたもの、1 番目の 3 乗に 2 番目の 2 乗を掛けたもの、2 番目の 3 乗を加えたものと等しくなります。

二項式の三乗を計算する別の方法は、ニュートンの二項式 (または二項定理) です。この定理の説明を含む次のリンクを残します。この公式を知っておくと非常に役立ちます。この公式は、3 次の二項累乗だけでなく、より高次の指数にも機能するためです。したがって、このリンクをクリックして、解決済みのニュートン二項演習を確認し、練習できるようにしてください。

違いの立方体

一方、和の代わりに差 (または減算) を 3 乗した場合、3 乗に対する二項式の式は偶数項の符号が変わります。

したがって、二項の 3 乗 (減算) は、最初の 3 乗から 2 番目の 2 乗の 3 倍を引いたもの、2 番目の 2 乗の 3 倍から 2 番目の 3 乗を引いたものに等しくなります。

したがって、和の 3 乗と差の 3 乗の公式が異なる唯一の方法は、2 番目と 4 番目の項の符号です。これは、和の二項式ではすべてが正であり、その逆であるためです。減算の二項式は両方とも負です。

和二項と差二項が何であるかを見てきました。 2 つの二項式の差による合計も注目すべき恒等であり、実際、これはトップ 3 (最も重要な) の一部であることを知っておく必要があります。リンク先のページで、和と差の計算式とその適用方法を確認できます。

3 乗二項式の例

和の 3 乗の公式と差の 3 乗の公式がわかったので、概念の理解を完了するために、各タイプの二項の 3 乗を解く例を見ていきます。

和の3乗の例

次の式を適用して、二項式を次の立方体に解きます。

$(x+2)^3$

この問題には、2 つの項が正である二項式があります。したがって、3 乗合計の公式を適用する必要があります。

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

次に、パラメータの値を見つける必要があります。

$a$

そして

$b$

式の。この場合、

$a$

変数に対応する

$x$

そして

$b$

は2番です。

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

したがって、次の値を代入して二項の 3 乗を計算します。

$a$

そしての

$b$

式の中で:

差分キューブの例

対応する式を使用して、次の 3 乗二項 (差) を計算します。

$(3x-2)^3$

この演習では、正の要素と負の要素を持つペアがあります。したがって、差の 3 乗を求める公式を使用する必要があります。

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

したがって、未知数の値を特定する必要があります。

$a$

そして

$b$

式の。この場合、

$a$

は単項式の 3x を表し、

$b$

は二項式の独立項、つまり 2 です。

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

パラメータに注意してください

$b$

数値の負符号なしで、単純に 2 に等しくなります。公式を適切に適用するには、この点に留意することが重要です。

最後に、次の値を入れて二項三乗を解きます。

$a$

そしての

$b$

式の中で:

二項立方体の公式の証明

次に、3 乗二項式の公式を示します。明らかにそれを知る必要はありませんが、公式の背後にある代数を理解しておくことは常に良いことです。

正の 3 乗二項式から:

$(a+b)^3$

上記の式は、係数の積に数学的に分解できます。

$(a+b)$

その正方形によって:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

さらに、ペアは、

$(a+b)$

2 に上げると、これは顕著な恒等性となるため、 和の 2 乗の公式で解くことができます。

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

次に、分配プロパティを使用して 2 つの括弧を乗算します。

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

そして最後に、似ている用語をグループ化するだけです。

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

3 乗二項式の式を検証するには:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

論理的には、負の二項立方体の公式を推定するには、先ほどと同じ手順に従いますが、次の項から始めます。

$b$

看板を変えた。

一方、3 乗二項式の公式は、パスカル (またはタルターリア) の三角形を使用して証明することもできます。この数学的トリックが何なのかわからない場合のために、ステップバイステップで説明されているこのリンクを残しておきます。さらに、この非常に特殊な代数三角形のすべての応用例とその歴史を知ることができます。

二項立方体の問題を解決しました

二項式の 3 乗の計算について今見た理論を練習できるように、二項式から立方体までを段階的に解く演習をいくつか用意しました。

この説明についてのご意見をぜひお聞かせください。また、何か質問があれば質問することもできます。 👍👍👍

演習 1

次の 3 乗二項式を求めます。

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

解決策を参照

問題の注目すべき正体をすべて見つけるには、加算か減算かに応じて、二項公式を立方体に適用するだけです。

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

演習 2

対応する式を適用して、2 つの量の 3 乗に対する次の二項式を決定します。

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

解決策を参照

演習の注目すべき積をすべて計算するには、合計と 3 乗した減算の公式を使用する必要があります。

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

最後の 3 乗二項式の単項式には分数係数があるため、これを解くには分数のプロパティを使用する必要があります。

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

3 乗二項式とは何ですか?

二項立方体の公式

和の立方体

違いの立方体

3 乗二項式の例

和の3乗の例

差分キューブの例

二項立方体の公式の証明

二項立方体の問題を解決しました

演習 1

演習 2

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