暗黙的または一般 (またはデカルト) 直線方程式

このページでは、直線の暗黙的な方程式 (一般直線方程式またはデカルト直線方程式とも呼ばれます) がどのように計算されるかを説明します。さらに、さまざまな例題を見ることができ、直線問題を段階的に解いて練習することもできます。

直線の暗黙的な一般方程式またはデカルト方程式は何ですか?

線の数学的定義は、曲線や角度を持たずに同じ方向に表現される一連の連続する点であることに注意してください。

したがって、一般方程式またはデカルト方程式としても知られる直線の陰的な方程式は、任意の直線を数学的に表現する方法です。これを行うために必要なのは、線の方向ベクトルとその線に属する点だけです。

直線の陰的な一般方程式またはデカルト方程式の式

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直線の陰的な一般方程式またはデカルト方程式の式は次のとおりです。

$Ax+By+C=0$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
係数
$A$

は方向ベクトルの 2 番目の成分です。

$A=\text{v}_2}$
係数
$B$

方向ベクトルの最初の成分が符号を変更します。

$B=-\text{v}_1}$
係数
$C$

既知の点を置き換えることによって計算されます

$P$

直線の方程式で。

一方、陰的(または一般)方程式とは別に、直線を解析的に表現する他の方法、つまりベクトル方程式、パラメトリック方程式、連続方程式、陽的方程式、および点傾き方程式があることに留意してください。アライン。それぞれがどのようなものであるかは、当社の Web サイトで確認できます。

直線の陰的な一般方程式またはデカルト方程式を計算する例

このような直線の方程式は、式だけ見ると少し難しそうに思えるかもしれません。しかし、それがまったく逆であることがわかるように、例を通して直線の一般 (または暗黙の) 方程式を見つける方法を見てみましょう。

点を通る直線の暗黙的な方程式を求めます。
$P$

そして持っています

$\vv{\text{v}}$

誘導ベクトルとして:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

上のセクションで見たように、直線の陰的な方程式の式は次のとおりです。

$Ax+By+C=0$

したがって、係数 A、B、C を見つける必要があります。次の等式が常に検証されるため、未知数 A と B は直線の方向ベクトルの座標から取得されます。

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

したがって、係数 A はベクトルの 2 番目の座標であり、係数 B は符号が変更されたベクトルの最初の座標です。

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

したがって、直線の暗黙的な方程式は次のようになります。

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

したがって、係数 C を見つけるだけで済みます。これを行うには、直線に属することがわかっている点をその方程式に代入する必要があります。

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

そして、結果として得られた方程式を解きます。

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

したがって、この直線の暗黙的な一般方程式またはデカルト方程式は次のようになります。

$\bm{3x-2y-17=0}$

連続方程式から陰的な方程式 (一般またはデカルト) を見つけます。

直線の一般方程式を見つける方法を見てきました。ただし、連続方程式からの別の方法もあります。例を使ってこれがどのように行われるかを見てみましょう。

連続方程式で定義される次の直線の一般 (または陰的) 方程式を計算します。

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

まず、分数の掛け算をします。

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

次に、分配プロパティを使用して括弧を解きます。

$6x-6=-2y-8$

次に、すべての項を方程式の左側に移動します。

$6x-6+2y+8=0$

そして最後に、項をグループ化し、直線の一般方程式を取得します。

$\bm{6x+2y+2=0}$

陰的方程式または一般 (またはデカルト) 方程式の解決された問題

演習 1

点を通る直線の一般方程式を書きます。

$P$

そして持っています

$\vv{\text{v}}$

誘導ベクトルとして:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

解決策を参照

直線の一般方程式の公式は次のとおりです。

$Ax+By+C=0$

したがって、A、B、C を見つける必要があります。次の等価性が常に検証されるため、変数 A と B は直線の方向ベクトルの座標から取得されます。

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

したがって、係数 A はベクトルの 2 番目の座標であり、係数 B は符号が変更されたベクトルの最初の座標です。

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

したがって、直線の暗黙的な方程式は次のようになります。

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

したがって、係数 C を見つけるだけで済みます。これを行うには、直線に属することがわかっている点を直線の方程式に代入し、結果として得られる方程式を解く必要があります。

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

つまり、直線の暗黙的な一般方程式またはデカルト方程式は次のようになります。

$\bm{2x+y-8=0}$

演習 2

次の直線のデカルト方程式を計算します。

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

解決策を参照

方程式は連続方程式として表現されるため、その暗黙的な方程式を見つけるには、分数を掛けてすべての項を方程式の片側に入れる必要があります。

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

演習 3

次の直線上の点とその方向ベクトルを決定します。この直線は次の一般式で表されます。

$-x-3y+6= 0$

解決策を参照

ラインの方向ベクトルの成分は、ラインの一般方程式の係数 A と B から取得できます。ベクトルの最初の成分は、係数 B の符号が変更されたものに対応し、ベクトルの 2 番目の成分は、係数A。それで：

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

一方、線上の点を計算するには、変数に値を割り当てる必要があります。たとえば、

$x=0$

そして、結果として得られる方程式を解きます。

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

したがって、この行のポイントは次のとおりです。

$\bm{P(0,2)}$

変数 X (または変数 Y) にどのような値を与えるかによって異なるため、異なる点が得られたかもしれませんが、同じ手順に従っていれば、それも正しいです。一方、線の方向ベクトルは計算されたものと一致する必要があります。

演習 4

次の 2 点を通過する直線の暗黙的な方程式を求めます。

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

解決策を参照

この場合、線の方向ベクトルがわからないため、まずその方向ベクトルを見つけてから、線の方程式を見つける必要があります。

線の方向ベクトルを見つけるには、指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算するだけです。

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

そして、線の方向ベクトルがわかったら、その式からその暗黙的な (または一般またはデカルト) 方程式を決定できます。

$Ax+By+C=0$

未知数 A と B は、線の方向ベクトルの座標から取得されます。これは、係数 A がベクトルの 2 番目の座標であり、係数 B が符号が変更されたベクトルの最初の座標であるためです。

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

したがって、直線の暗黙的な方程式は次のようになります。

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

したがって、係数 C を見つけるだけで十分です。これを行うには、直線に属することがわかっている点を直線の方程式に代入し、結果として得られる方程式を解く必要があります。

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

最後に、この直線の暗黙的な一般方程式またはデカルト方程式は次のようになります。

$\bm{4x+6y-10=0}$

演習 5

直線に垂直な直線の陰的な方程式を求めます。

$r$

そしてその点で何が起こるか

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

解決策を参照

2 本の垂直線は互いに直交する方向ベクトルを持っているため、その線の方向ベクトルを見つける必要があります。

$r$

次に、それに垂直なベクトル。

線の方向ベクトルの成分

$r$

これらは、直線の一般方程式の係数 A および B から取得できます。ベクトルの最初の成分は符号が変更された係数 B に対応し、ベクトルの 2 番目の成分は係数 A に等しいです。

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

次に、垂直ベクトルを見つける必要があります。これを行うには、ベクトルの座標を挿入し、そのうちの 1 つの符号を変更するだけです。

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

したがって、これは、に垂直な線の方向ベクトルになります。

$r.$

そして、線の方向ベクトルがわかったら、その式からその暗黙的な (または一般またはデカルト) 方程式を決定できます。

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$