一致する線 - マソリティ

ここでは、一致する線の意味、2 つの線が一致するかどうかを判断する方法、そのプロパティなど、一致する線に関するすべてがわかります。さらに、一致線の例と問題を解いたものを見ることができます。

一致する 2 つの線とは何ですか?

2 本の一致線とは、すべての点が共通している 2 本の線です。したがって、一致する 2 つの直線は完全に同一です。

たとえば、以下では、一致する 2 本の線がグラフ化されていますが、それらは重なっている (等しい) ため、1 つだけが表示されます。

一致する 2 つの線は常に同じ方向を向いているため、幾何学的には 0 度の角度を形成します。

一方、平面では、2 つの線の間の相対位置の概念には 4 つの可能性があることを覚えておいてください。2 つの線は、一致する、平行、割線、垂直になる可能性があります。必要に応じて、これらの 3 つのリンクで各線種の意味とそれらの違いを確認できます。

2 つの線が一致するかどうかはどうやってわかりますか?

2 つの線がいつ一致するかは、2 つの座標 (R2) を使用するか、3 つの座標 (R3) を使用するかによって異なります。

平面内の 2 つの一致する線を決定します。

2 次元 (2D) 空間で操作する場合、2 つの直線が一致する場合と、それらが直線の暗黙的な方程式または明示的な方程式から生じない場合を非常に簡単に確認できます。

これら 2 つの方法とは別に、2 つの直線の方程式によって形成される連立方程式を解くことによって 2 つの直線が一致するかどうかを確認することもできます (システムが無限の解を与える場合、これはそれらが一致することを意味します)。ただし、この手順はより複雑で時間がかかるため、陰的な方程式または陽的な方程式の係数から実行する方が良いため、詳細な説明は行いません。

直線の暗黙的な (または一般的な) 方程式から

2 つの直線が一致するかどうかを判断する 1 つの方法は、一般方程式またはデカルト方程式としても知られる、直線の暗黙的な方程式を使用することです。

直線の暗黙的な方程式は次の式に対応します。

$Ax+By+C=0$

そうですね、2 つの直線に 3 つの比例係数 (A、B、C) がある場合、これはそれらが一致することを意味します。

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

たとえば、次の 2 行は一致します。

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

そしてパラメータ A、B、C は互いに比例するため、これらは一致します。

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

明示的な直線の方程式から

2 つの直線が実際に一致するかどうかを確認するもう 1 つの方法は、直線の明示的な方程式を使用することです。この直線の明示的な方程式は次のとおりであることを思い出してください。

$y=mx+n$

2 つの直線の傾き(係数 m)と原点の縦座標 (係数 n) が同じである場合、それらは 2 つの直線が結合されたものになります。

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

たとえば、次の 2 つの線は、もともと等しい傾きと縦座標を持っているため、同じです。

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

傾きが同じでも原点での順序が異なる場合、それらは平行であり、一致する線ではないことに注意してください。

最後に、例でわかるように、一致する 2 つの直線には同じ明示的な方程式があります。これは、あらゆるタイプの直線方程式に当てはまります。方程式内で 2 つの直線が一致する場合、これはそれらが一致していることを意味します。

空間内で一致する 2 本の線を見つける

空間内 (R3) で一致する 2 つの線を識別することは、もう 1 つの座標を使用して計算を実行する必要があるため、デカルト平面 (R2) での識別とは異なります。それでは、それがどのように行われるかを見てみましょう:

空間内の 2 つの異なる直線の方程式を考えると、次のようになります。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

そして、M と M’ を線の係数によって形成される行列とします。

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

次に、行列 M と M’ のランクが 2 に等しい場合、2 つのラインは一致します。

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

段階的に解決する演習を通じて、空間内の一致する線の例を見てみましょう。

次の 2 行が一致するかどうかを確認します。

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

ラインの係数の行列 M と拡張行列 M’ は次のとおりです。

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

両方の行列を構築したら、各行列の範囲を計算する必要があります。

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

2 つの行列のランクは同等であり、さらに、値は 2 です。したがって、2 つの行は混同されています。

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

一致する線の性質

一致線には次の特徴があります。

一致する 2 つの直線の方向ベクトル (直線の方向を示すベクトル) は比例するため、線形に依存します。平行線にもこの性質があります。

同様に、一致する 2 つの直線の方向ベクトルは同じ方向を持ちます。

一致する 2 つの線は、グラフ上では同じ線で表されます。

この意味で、2 つの一致する線にはすべて共通点があります。したがって、軸との交点は同じになります。

明らかに、一致する 2 つの線は同一平面上にあります。つまり、同じ平面内に含まれています。