Le definizioni di funzione affine e di funzione lineare sono le seguenti: <\/p>\n
Una funzione affine<\/strong> \u00e8 una funzione polinomiale di primo grado, cio\u00e8 una funzione che, rappresentata sul grafico, \u00e8 una retta. Le funzioni associate sono le seguenti:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la pendenza della retta e<\/p>\n Questa \u00e8 l’intercetta y, cio\u00e8 il punto in cui la funzione interseca l’asse verticale.<\/p>\n<\/div>\n In matematica, le funzioni affini sono anche chiamate trasformazioni lineari nel contesto dell’algebra lineare. <\/p>\n Una funzione lineare<\/strong> \u00e8 una funzione affine che non ha un termine indipendente. Pertanto la formula per le funzioni lineari \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la pendenza della retta.<\/p>\n<\/div>\n Il dominio e l’intervallo (o intervallo) della funzione lineare e della funzione affine sono tutti numeri reali: <\/p>\n<\/p>\n Ora che hai visto i concetti di funzione lineare e funzione affine, avrai notato che sono molto simili tra loro. Tuttavia, la seguente differenza tra loro \u00e8 molto importante:<\/p>\n L’unica differenza tra la funzione lineare e la funzione affine \u00e8 che la funzione lineare non ha un termine indipendente mentre la funzione affine ha sempre il coefficiente dell’intercetta (n) diverso da zero (0). <\/p>\n Funzione lineare<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n funzione lineare<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Ci\u00f2 implica che una funzione lineare passa sempre per l’origine delle coordinate<\/strong> , il punto (0,0). D’altra parte, una funzione affine non passer\u00e0 mai per questo punto perch\u00e9 ha un’intercetta diversa da 0. <\/p>\n In questa sezione analizzeremo un esempio di funzione affine o lineare per comprendere il significato dei termini<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n , o in altre parole, la pendenza e l’intercetta y.<\/p>\n Questi tipi di funzioni seguono la seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n Questa \u00e8 l’intercetta y, cio\u00e8 il punto in cui la funzione interseca l’asse Y verticale. Quindi in questo caso:<\/p>\n<\/p>\n Da un altro lato,<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la pendenza della retta. Y pu\u00f2 essere calcolato dividendo la differenza in y<\/em> tra due punti per la differenza in x<\/em> tra questi stessi due punti:<\/p>\n<\/p>\n dice \u201cquanto aumenta y per ogni x\u201d<\/em> , quindi in questo caso la funzione \u201c3y aumenta per ogni 2x\u201d<\/em> .<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n In conclusione, l\u2019espressione per la funzione affine rappresentata nel grafico \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Inoltre, poich\u00e9 l’intercetta y \u00e8 diversa da zero, \u00e8 una funzione affine<\/strong> .<\/p>\n Di seguito ti mostriamo altri esempi di funzioni lineari e affini per completare la tua comprensione: <\/p>\n Come puoi vedere in questi esempi, maggiore \u00e8 la pendenza, pi\u00f9 ripida \u00e8 la linea e, quindi, pi\u00f9 grande \u00e8 la funzione. Allo stesso modo, il coefficiente di pendenza determina la crescita o la diminuzione di una funzione:<\/p>\n Inoltre, puoi anche capire se due rette sono parallele o perpendicolari in base alle loro pendenze:<\/p>\n Vediamo come rappresentare graficamente una funzione di primo grado utilizzando un esempio.<\/p>\n La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 creare un array di valori.<\/strong> Per fare questo, garantiamo i valori che desideriamo<\/p>\n<\/p>\n per ottenere valori di<\/p>\n :<\/p>\n<\/p>\n Sebbene una tabella di valori con due punti sia sufficiente, possiamo fare pi\u00f9 punti per assicurarci che sia corretta.<\/p>\n Una volta creata la tabella dei valori, tracciamo i punti sul grafico: <\/p>\n E infine, uniamo i punti e tracciamo una linea:<\/strong> <\/p>\n E in questo modo abbiamo gi\u00e0 rappresentato la funzione su un grafico. <\/strong> Come puoi vedere, non \u00e8 complicato, devi solo creare prima una tabella di valori e poi tracciare i punti su un grafico. <\/p>\n Vediamo ora come trovare una funzione lineare o affine da due punti utilizzando un esempio:<\/p>\n e andare oltre il punto<\/p>\n Prima di tutto,<\/p>\n<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto<\/p>\n .<\/p>\n Pertanto, poich\u00e9 abbiamo due punti attraverso i quali passa la funzione, possiamo calcolare la pendenza<\/p>\n<\/p>\n funzione: <\/p>\n Considerando due punti,<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n , pendenza<\/p>\n della funzione si calcola:<\/p>\n<\/p>\n Nel nostro caso la funzione passa per i punti<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n . Quindi la pendenza<\/p>\n della funzione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n La funzione sar\u00e0 quindi della forma:<\/p>\n<\/p>\n Una volta che lo sappiamo<\/p>\n<\/p>\n possiamo risolvere il mistero<\/p>\n . Per fare ci\u00f2, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto appartenente alla funzione. Ad esempio il punto (3.5):<\/p>\n<\/p>\n Risolviamo l’equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n La funzione lineare \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Determinare la pendenza e l’origine della seguente funzione affine: <\/p>\n<\/p>\n Una funzione lineare ha la forma<\/p>\n<\/p>\n La pendenza della funzione \u00e8 quindi il numero che accompagna x<\/em> , che in questo caso \u00e8 -5:<\/p>\n<\/p>\n E l’intercetta y \u00e8 il termine indipendente, che in questo caso \u00e8 -2: <\/p>\n<\/p>\n Rappresentare graficamente la seguente funzione affine: <\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa diamo valori a<\/p>\n<\/p>\n per creare la tabella dei valori: <\/p>\n E poi rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea: <\/p>\n Traccia la seguente funzione affine sul grafico: <\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa diamo valori a<\/p>\n<\/p>\n per creare la tabella dei valori: <\/p>\n E infine rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea: <\/p>\n Trova l’espressione della funzione affine che passa per i punti (2,3) e (0,1). <\/p>\n La funzione passa per i punti (2,3) e (0,1), quindi la pendenza della funzione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n E la funzione sar\u00e0 della forma:<\/p>\n<\/p>\n Una volta conosciuto m,<\/em> possiamo calcolare n<\/em> . Per fare ci\u00f2, dobbiamo sostituire nell’equazione le coordinate di un punto appartenente alla funzione. Ad esempio il punto (2,3):<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora risolvere l\u2019equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n La funzione corrisponde quindi alla seguente espressione: <\/p>\n<\/p>\n Rappresentare graficamente la seguente funzione affine: <\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa diamo valori a<\/p>\n<\/p>\n per creare la tabella dei valori: <\/p>\n E poi rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea: <\/p>\n Calcolare la funzione lineare che soddisfa le seguenti due condizioni: <\/p>\n<\/p>\n Possa realizzarsi<\/p>\n<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto (3,-2). E, allo stesso modo,<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto (-1.6).<\/p>\n Quindi la funzione passa per i punti (3,-2) e (-1,6), quindi la sua pendenza \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n La funzione sar\u00e0 quindi della forma:<\/p>\n<\/p>\n E una volta conosciuto m,<\/em> possiamo calcolare n<\/em> . Per fare ci\u00f2, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (3,-2):<\/p>\n<\/p>\n E risolviamo l’equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n La funzione \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Trova la funzione affine che svolge<\/p>\n<\/p>\n e passa per il punto (3.5). <\/p>\n Possa realizzarsi<\/p>\n<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto (1,6).<\/p>\n La funzione passa quindi per i punti (1.6) e (3.5) e quindi la sua pendenza \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n La funzione sar\u00e0 quindi della forma:<\/p>\n<\/p>\n Una volta conosciuto il termine m<\/em> possiamo calcolare il coefficiente n<\/em> . Per fare ci\u00f2, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (1,6):<\/p>\n<\/p>\n Risolviamo l’equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n Ricorda che per sommare le frazioni, devi prima ridurle a un denominatore comune e poi sommare i numeratori: <\/p>\n<\/p>\n La funzione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Risolvi il seguente problema relativo alle funzioni lineari e affini:<\/p>\n Un negozio vende 40 unit\u00e0 di un prodotto quando il prezzo \u00e8 15 \u20ac\/unit\u00e0 e 65 unit\u00e0 quando il prezzo \u00e8 10 \u20ac\/unit\u00e0.<\/p>\n Poich\u00e9 si tratta di una funzione affine, la funzione sar\u00e0 del tipo<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n sar\u00e0 il prezzo unitario del prodotto e<\/p>\n saranno le unit\u00e0 vendute.<\/p>\n Il comunicato stampa ci dice che quando il prezzo \u00e8 di 15\u20ac\/unit\u00e0, vengono vendute 40 unit\u00e0. Pertanto, come<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 il prezzo e<\/p>\n unit\u00e0 vendute, deve essere rispettata la seguente uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n E quando il prezzo \u00e8 di 10\u20ac\/unit\u00e0, vengono vendute 65 unit\u00e0. Quindi, utilizzando lo stesso ragionamento:<\/p>\n<\/p>\n Possa realizzarsi<\/p>\n<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto (15.40). E<\/p>\n Ci\u00f2 significa che la funzione passa per il punto (10.65).<\/p>\n La pendenza della funzione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n La funzione sar\u00e0 quindi della forma:<\/p>\n<\/p>\n Una volta conosciuto m,<\/em> possiamo calcolare n<\/em> . Per fare ci\u00f2, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (15:40):<\/p>\n<\/p>\n E risolviamo l’equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n La funzione che lega le vendite effettuate al prezzo \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n D’altra parte, nella funzione<\/p>\n<\/p>\n rappresenta il prezzo. Pertanto, per sapere quante unit\u00e0 verranno vendute se il prezzo \u00e8 di 12 \u20ac\/unit\u00e0, dobbiamo fare un calcolo <\/p>\n Quindi se il prezzo \u00e8 12\u20ac\/unit\u00e0 , verranno vendute 55 unit\u00e0.<\/strong><\/p>\n![\"f(x)=mx+n\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1732952e15a6b2d8b3a238c55238db2_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Qual \u00e8 la differenza tra una funzione lineare e una funzione affine?<\/span><\/h2>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Qual](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/difference-entre-fonction-lineaire-et-fonction-affine.webp\")
<\/figure>\n<\/span> Pendenza e intercetta y di una funzione lineare o affine<\/span><\/h2>\n
<\/p>\n<\/p>\n\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"che](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sens-pente-et-ordonnee-a-l-origine-fonction-lineaire-ou-affine-m-et-n.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/p>\n![\"n=4\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d48be04aadb63e5661f86d0948d7553_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Esempio di rappresentazione di una funzione affine o lineare<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"come](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-representer-une-ligne-ou-une-fonction-lineaire-ou-et-affine.webp\")
<\/figure>\n![\"rappresentazione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-comment-representer-une-fonction-lineaire-ou-ou-et-affine.webp\")
<\/figure>\n<\/span> Come calcolare una funzione lineare o affine da due punti<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Esercizi risolti su funzioni lineari e affini<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"esempio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-representation-d-une-fonction-lineaire-ou-affine.webp\")
<\/figure>\n Esercizio 3<\/h3>\n
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<\/figure>\n Esercizio 4<\/h3>\n
![\"m=\\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4f10490753a418b0601db00acb61a8c_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 5<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Esercizi](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-graphiquement-une-fonction-lineaire-ou-affine.webp\")
<\/figure>\n Esercizio 6<\/h3>\n
![\"\\begin{array}{c}f(3)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3d1692f49f622f3167c7b58da6553eb_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 7<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 8<\/h3>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(15)=40\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30c972565ef68f3789b5e1b1e105b66b_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n