La geometria spaziale<\/strong> \u00e8 la branca della geometria responsabile dello studio delle figure geometriche tridimensionali (3D), cio\u00e8 quelle che occupano un posto nello spazio. Come il cono, il cubo, la piramide, la sfera, il cilindro, i prismi, i poliedri, ecc.<\/p>\n Tuttavia in questa pagina ci concentreremo sulla geometria analitica nello spazio<\/strong> , quella parte della geometria spaziale che si concentra sull’analisi dei punti, delle linee, dei piani, delle distanze tra due figure geometriche, dell’angolo che formano, dei punti di intersezione tra diverse geometrie figure. elementi, ecc. <\/p>\n Ricordiamo che la definizione matematica di linea \u00e8 un insieme di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.<\/p>\n Quindi, per esprimere matematicamente qualsiasi linea in uno spazio tridimensionale (in R3) utilizziamo le equazioni della linea, e per trovarle abbiamo solo bisogno di un punto che appartiene alla linea e del vettore direzione di detta linea. <\/p>\n Solo con questi due elementi geometrici si possono trovare assolutamente tutte le diverse equazioni della retta, che sono le seguenti:<\/p>\n Le equazioni della retta sono l’ equazione vettoriale<\/strong> , le equazioni parametriche<\/strong> , l’ equazione continua<\/strong> e l’ equazione implicita (o generale)<\/strong> .<\/p>\n Di seguito hai una spiegazione dei diversi tipi di equazioni della linea. <\/p>\n S\u00ec<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 il vettore direzione della linea e<\/p>\n un punto che appartiene a destra:<\/p>\n<\/p>\n La formula per l’equazione vettoriale della retta<\/strong> \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n Possiamo ottenere la formula per l’equazione parametrica<\/strong> di una linea dalla sua equazione vettoriale equiparando componente a componente: <\/p>\n<\/p>\n La formula per l’ equazione continua della retta<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Questo tipo di equazione della retta pu\u00f2 essere ottenuta anche da equazioni parametriche, puoi vedere la dimostrazione sulla nostra pagina dell’equazione continua<\/a> , inoltre potrai anche vedere esempi ed esercitarti con esercizi di equazioni risolti da destra. <\/p>\n Infine, moltiplicando due per due le frazioni dell’equazione continua della retta, otteniamo le equazioni generali (o implicite) della retta<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n Questo tipo di equazione della retta \u00e8 anche chiamata equazione cartesiana.<\/p>\n Abbiamo appena visto le 4 equazioni pi\u00f9 rilevanti della retta (vettoriale, parametrica, continua e generale), esiste per\u00f2 un’altra equazione un po’ particolare e quindi ci vuole una pagina intera per spiegarla. Questa \u00e8 l’ equazione canonica<\/a> , in questo link potete vedere tutta la sua spiegazione, perch\u00e9 \u00e8 cos\u00ec speciale e cosa la rende diversa da tutte le altre. <\/p>\n Nella geometria analitica, l’ equazione di un piano<\/strong> \u00e8 un’equazione che consente di esprimere analiticamente qualsiasi piano. Quindi per trovare l’equazione di un piano bastano un punto e due vettori linearmente indipendenti appartenenti a detto piano. <\/p>\n Pertanto, tutti i tipi di equazioni del piano sono: l’ equazione vettoriale<\/strong> , le equazioni parametriche<\/strong> , l’ equazione implicita (o generale)<\/strong> e l’ equazione canonica (o segmentale)<\/strong> del piano.<\/p>\n Successivamente vedremo la spiegazione e la formula di tutte le equazioni del piano. <\/p>\n Dati un punto e due vettori direzionali di un piano:<\/p>\n<\/p>\n La formula per l’equazione vettoriale di un piano<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Sono due scalari, cio\u00e8 due numeri reali. <\/p>\n D’altra parte, la formula per l’ equazione parametrica del piano<\/strong> \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n L’equazione implicita di un piano, detta anche equazione generale, si ottiene risolvendo il seguente determinante e ponendo il risultato a 0:<\/p>\n<\/p>\n Pertanto l\u2019 equazione implicita o generale del piano risultante<\/strong> sar\u00e0 della forma seguente:<\/p>\n<\/p>\n Questo tipo di equazione piana \u00e8 anche chiamata equazione piana cartesiana. <\/p>\n La formula per l’equazione canonica o segmentale di un piano<\/strong> \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n Questo \u00e8 il punto di intersezione tra il piano e l’asse X.<\/li>\n Questo \u00e8 il punto di intersezione tra il piano e l’asse Y.<\/li>\n Qui \u00e8 dove il piano interseca l’asse Z. <\/li>\n<\/ul>\n Il vettore normale ad un piano \u00e8 un vettore perpendicolare a tutte le rette contenute in questo piano. Pertanto un vettore normale ad un piano significa che \u00e8 perpendicolare al piano.<\/p>\n Molti problemi metrici nella geometria analitica spaziale riguardano i piani e i loro vettori normali. Per risolvere questi esercizi basta conoscere la relazione matematica tra un piano e il suo vettore normale:<\/p>\n Le componenti X, Y, Z del vettore normale ad un piano coincidono rispettivamente<\/strong><\/strong> con i coefficienti A, B, C dell’equazione implicita (o generale) di detto piano.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 il vettore ortogonale al piano <\/p>\n Ovviamente una linea o un piano non devono necessariamente essere soli nello spazio, ma al contrario, normalmente interagiscono tra loro: si intersecano, sono paralleli, perpendicolari, ecc. Bene, in questa sezione vedremo le diverse posizioni relative di linee e piani e come vengono determinate. <\/p>\n Nella geometria analitica, quando si lavora in uno spazio tridimensionale (in R3) ci sono 4 possibili posizioni relative tra due linee: due linee possono essere linee coincidenti<\/strong> , linee parallele<\/strong> , linee secanti<\/strong> o linee secanti<\/strong> . <\/p>\n Linee parallele<\/strong> <\/p>\n Due rette sono parallele se hanno la stessa direzione ma non hanno alcun punto in comune. Inoltre, le linee parallele sono sempre alla stessa distanza l’una dall’altra. <\/p>\n<\/div>\n Linee coincidenti<\/strong> <\/p>\n Due rette coincidono se hanno la stessa direzione e se tutti i loro punti sono comuni. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Linee di intersezione<\/strong> <\/p>\n Due linee che si intersecano hanno direzioni diverse ma si toccano in un punto. <\/p>\n<\/div>\n Linee di intersezione<\/strong> <\/p>\n Due linee che si intersecano hanno direzioni diverse e non si intersecano in nessun punto. Due linee incrociate quindi non sono sullo stesso piano. Ad esempio, nella rappresentazione grafica sopra la linea<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 sempre davanti alla retta<\/p>\n , quindi non si toccheranno mai.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Un modo per trovare la posizione relativa di due righe \u00e8 calcolare gli intervalli di due matrici specifiche, come vedremo di seguito. Questo metodo \u00e8 molto utile quando le due linee sono espresse sotto forma di un’equazione implicita (o generale).<\/p>\n Quindi, se abbiamo due linee espresse con le loro equazioni implicite (o generali) in uno spazio tridimensionale (in R3):<\/p>\n<\/p>\n Sia A la matrice composta dai coefficienti delle due rette:<\/p>\n<\/p>\n E data la matrice espansa A’, che \u00e8 la matrice formata da tutti i parametri delle due linee:<\/p>\n<\/p>\n Quindi, la posizione relativa delle due linee pu\u00f2 essere determinata dall’estensione delle due matrici precedenti secondo la seguente tabella: <\/p>\n Pertanto, per trovare la posizione relativa tra due righe dovremo calcolare gli intervalli di entrambe le matrici e a seconda dell’intervallo di ciascuna matrice sar\u00e0 l’uno o l’altro caso.<\/strong><\/p>\n Questo teorema pu\u00f2 essere dimostrato utilizzando il teorema di Rouch\u00e9-Frobenius (un metodo utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari), tuttavia in questa pagina non faremo la dimostrazione perch\u00e9 \u00e8 piuttosto macchinosa e non aggiunge molto. . <\/p>\n Nella geometria analitica, ci sono solo tre possibili posizioni relative tra due piani: piani intersecanti, piani paralleli e piani coincidenti.<\/p>\n Scatti incrociati<\/strong> <\/p>\n piani paralleli<\/strong> <\/p>\n Piani di corrispondenza<\/strong> <\/p>\n Un modo per conoscere la posizione relativa tra due piani \u00e8 utilizzare i coefficienti delle loro equazioni generali (o implicite).<\/p>\n Consideriamo quindi l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:<\/p>\n<\/p>\n La posizione relativa tra i due piani in uno spazio tridimensionale dipende dalla proporzionalit\u00e0 dei loro coefficienti o parametri: <\/p>\n Pertanto, i due piani si intersecheranno quando uno dei coefficienti A, B o C non \u00e8 proporzionale agli altri. I due piani saranno invece paralleli quando solo i termini indipendenti non saranno proporzionali. E infine, i piani coincideranno quando tutti i coefficienti delle due equazioni saranno proporzionali.<\/p>\n Di seguito sono riportate le formule per calcolare la distanza tra diversi elementi geometrici: tra un punto e una linea, tra due piani, tra un piano e una linea,… <\/p>\n La distanza tra due punti corrisponde alla norma del vettore determinato da questi 2 punti.<\/p>\n Quindi se abbiamo due punti generici:<\/p>\n<\/p>\n La formula per la distanza tra i due punti \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n La formula per calcolare la distanza da un punto a una linea nello spazio \u00e8:<\/p>\n \n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il modulo del vettore direzione della linea<\/p>\n \u00e8 un punto a destra<\/p>\n un punto sulla linea<\/p>\n E<\/p>\n il vettore definito dai due punti<\/li>\n \u00e8 il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori<\/p>\n E <\/p>\n La distanza tra due linee dipende dalla loro posizione relativa:<\/p>\n Due rette parallele sono sempre alla stessa distanza. Quindi per calcolare la distanza tra due linee parallele nello spazio (in R3) si fa nello stesso modo che nel piano (in R2): basta prendere un punto su una delle due linee e trovare la distanza l\u00ec Questo va da questo punto all’altra linea.<\/strong> <\/p>\n Quindi per determinare la distanza tra 2 linee parallele \u00e8 necessario utilizzare la formula per la distanza tra un punto e una linea.<\/p>\n Sia il vettore direzione e qualsiasi punto di due linee che si intersecano:<\/p>\n<\/p>\n La formula per la distanza tra due linee che si intersecano \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il valore assoluto del prodotto misto dei vettori<\/p>\n e il vettore definito dai punti<\/p>\n E<\/p>\n .<\/li>\n \u00e8 il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori di direzione delle due linee incrociate.<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Equazioni della retta nello spazio<\/span><\/h2>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Equazione vettoriale della retta nello spazio<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazioni parametriche della retta nello spazio<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazione continua della retta nello spazio<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazioni generali (o implicite) della retta nello spazio<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazioni piane nello spazio<\/span><\/h2>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Equazione vettoriale del piano<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/span> Equazioni parametriche del piano<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazione implicita o generale del piano<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazione canonica o segmentale del piano<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/span> Vettore normale ad un piano<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Posizioni relative di due elementi geometrici nello spazio<\/span><\/h2>\n
<\/span> Posizione relativa di due linee nello spazio<\/span><\/h3>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n![\"posizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-coincident-lignes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"posizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angles-droits-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/lignes-dintersection-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"s\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae1901659f469e6be883797bfd30f4f8_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n Come trovare la posizione relativa di due linee in base agli intervalli<\/h4>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Posizione relativa di due piani nello spazio<\/span><\/h3>\n
\n
![\"posizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"posizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-paralleles-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"posizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/deux-avions-coincidents.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n Come determinare la posizione relativa di due piani mediante coefficienti<\/h4>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Distanze nello spazio<\/span><\/h2>\n
<\/span> Distanza tra due punti<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Distanza da un punto a una linea<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Distanza tra due linee<\/span><\/h3>\n
\n
Distanza tra due rette parallele<\/h4>\n
![\"distanza](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-un-point-et-une-ligne-en-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Distanza tra due linee che si intersecano<\/h4>\n
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