{"id":76,"date":"2023-09-16T13:02:19","date_gmt":"2023-09-16T13:02:19","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-allineati-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-09-16T13:02:19","modified_gmt":"2023-09-16T13:02:19","slug":"esempi-di-punti-allineati-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-allineati-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Punti allineati"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cosa sono i punti allineati. Vedrai anche tutti i metodi disponibili per determinare se 3 (o pi\u00f9) punti sono allineati. E in pi\u00f9 troverai numerosi esempi e anche esercizi risolti per poterti esercitare. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-104\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-significa-que-los-puntos-estan-alineados\"><\/span> Cosa significa che i punti sono allineati?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella geometria analitica <strong>tre o pi\u00f9 punti sono allineati<\/strong> se si trovano tutti sulla stessa linea, cio\u00e8 se possono essere uniti tracciando tra loro una linea retta. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-105\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Ovviamente, 2 punti saranno sempre allineati, poich\u00e9 puoi sempre tracciare una linea tra due punti. Tuttavia, non \u00e8 necessario che tre punti siano sulla stessa linea. Principalmente esistono due metodi per sapere se 3 o pi\u00f9 punti sono allineati:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Metodo dei vettori<\/strong> : consiste nel vedere se i vettori che formano i punti sono proporzionali.<\/li>\n<li> <strong>Metodo dell&#8217;equazione della linea<\/strong> : consiste nel determinare se i punti appartengono alla stessa linea.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Di seguito \u00e8 riportata la spiegazione di ciascuna procedura ed esempi in modo che tu possa decidere quale \u00e8 la migliore per te. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-saber-si-3-o-mas-puntos-estan-alineados-con-el-metodo-de-los-vectores\"><\/span> Come sapere se 3 (o pi\u00f9) punti sono allineati con il metodo vettoriale <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Considerando tre punti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88818892831a9ada6aa3f369b1406d03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x_1,y_1) \\quad B(x_2,y_2) \\quad C(x_3,y_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"244\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> I tre punti sono allineati se i vettori<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243865b783ec40e03ec861ac2ebcb279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f10db290eb97b835b1c57091b3a33992_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{BC}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> hanno lo stesso verso, cio\u00e8 se le loro componenti sono proporzionali. <\/p>\n<\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-106\"><\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/points-alignes-1.webp\" alt=\"punti allineati su un piano\" class=\"wp-image-1121\" width=\"267\" height=\"267\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Vediamo un esempio di come si fa:<\/p>\n<ul>\n<li> Determina se i seguenti 3 punti sono allineati:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150343d1934b000b9bd8188f1418eb3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(1,2) \\quad B(4,4) \\quad C(-2,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto, calcoliamo i vettori tra i punti. \u00c8 sufficiente calcolare due vettori diversi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-987e7356216c577b32947f23519c407f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B - A = (4,4)- (1,2) = (3,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1e4b4246ed129cc3f7adcb5315edc7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{BC} = C-B =(-2,0)- (4,4)= (-6,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"330\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E poi controlliamo se le coordinate dei vettori sono proporzionali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16253047910ee22fb08aebcdc967278f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{-6}{3} = \\cfrac{-4}{2} = -2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dividendo le componenti X e le componenti Y dei due vettori otteniamo lo stesso risultato (-2), quindi i vettori hanno la stessa direzione e, quindi, <strong>i punti sono allineati<\/strong> .<\/p>\n<p> Questo metodo pu\u00f2 essere utilizzato anche per sapere se tre o pi\u00f9 punti sono allineati nello spazio (in R3), l&#8217;unica cosa da aggiungere \u00e8 verificare che anche la terza componente dei due vettori (componente Z) sia proporzionale.<\/p>\n<p> Se questo articolo ti \u00e8 utile, probabilmente ti interesser\u00e0 anche sapere come calcolare il <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-per-il-punto-medio-di-un-vettore-segmento\/\">punto medio tra due punti<\/a> , poich\u00e9, ovviamente, trovare il punto medio di 2 punti \u00e8 un modo per determinare un terzo punto allineato con gli altri due punti. Puoi vedere come si fa nella pagina collegata, inoltre potrai anche vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-averiguar-si-3-o-mas-puntos-estan-alineados-con-el-metodo-de-la-ecuacion-de-la-recta\"><\/span> Come sapere se 3 (o pi\u00f9) punti sono allineati con il metodo dell&#8217;equazione della linea retta <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-109\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Come abbiamo appena visto nella sezione precedente, un modo per studiare l&#8217;allineamento di 3 o pi\u00f9 punti \u00e8 utilizzare i vettori che si possono formare tra di loro. Bene, un altro metodo \u00e8 iniziare con l&#8217;equazione di una linea: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Considerando tre punti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88818892831a9ada6aa3f369b1406d03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x_1,y_1) \\quad B(x_2,y_2) \\quad C(x_3,y_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"244\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> I tre punti sono allineati se appartengono tutti alla stessa retta. Pertanto, per sapere se tre o pi\u00f9 punti sono allineati, \u00e8 necessario seguire i seguenti passaggi:<\/p>\n<ol style=\"color:#42A5F5\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c\">Trova l&#8217;equazione della retta che passa per due dei tre punti.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c\">Controlla se anche il terzo punto appartiene alla linea. In questo caso significa che i 3 punti sono allineati, invece se la condizione non \u00e8 soddisfatta significa che i punti non sono allineati.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-3-points-alignes.webp\" alt=\"formula dei tre punti allineati\" class=\"wp-image-1143\" width=\"275\" height=\"262\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ad esempio, risolveremo un esercizio utilizzando questo metodo:<\/p>\n<ul>\n<li> Controlla che i seguenti 3 punti siano allineati:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0955033d07a0ffa4311b6477fec3b153_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,1) \\quad B(1,4) \\quad C(5,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto dobbiamo calcolare l&#8217;equazione della retta che passa per i punti A e B. Troviamo quindi il vettore direzione della retta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a80df873f9ac7ae3d132a551e8de7e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B-A = (1,4) - (3,1) = (-2,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"301\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora devi costruire l&#8217;equazione della retta, puoi scegliere il tipo che preferisci: parametrica, implicita, generale, ecc. Ma in questo caso utilizzeremo l&#8217;equazione continua. Quindi l&#8217;equazione continua della retta che passa per il punto A e il punto B sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6f94bd712f1b5eb3e086f90b1ab497a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x-3}{-2}=\\cfrac{y-1}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta ottenuta l&#8217;equazione della retta, dobbiamo verificare se anche l&#8217;altro punto appartiene alla stessa retta. Per fare ci\u00f2, sostituiamo le coordinate del punto C nell&#8217;equazione della retta: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45717c1e198eb634f35329c7af91f1c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{5-3}{-2}=\\cfrac{-2-1}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb2241c675eff5beda831f375678af8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{2}{-2}=\\cfrac{-3}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-962c6302723831d83dd3adb9955b8ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"67\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abbiamo un pareggio, quindi il punto soddisfa l&#8217;equazione della linea. E quindi <strong>i 3 punti sono collineari<\/strong> .<\/p>\n<p> Va notato che un insieme di punti allineati non deve essere necessariamente equidistante, cio\u00e8 la distanza tra pi\u00f9 punti allineati pu\u00f2 essere diversa. Puoi vedere la differenza tra i due concetti nella spiegazione della <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-per-la-distanza-tra-due-punti-esempi-di-geometria-ed-esercizi-risolti\/\">distanza tra due punti (geometria)<\/a> , dove puoi vedere anche esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-puntos-alineados\"><\/span> Esercizi con punti allineati risolti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti 3 punti sono allineati: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-508fe1a58d29e8dd0e5f25e9c431e07e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(1,1) \\quad B(2,-1) \\quad C(-2,7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Possiamo scegliere uno dei due metodi che abbiamo visto per risolvere il problema. In questo caso utilizzeremo il metodo vettoriale.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Innanzitutto, calcoliamo i vettori tra i punti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a4c888c595453f36f08fd6efb79c879_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B - A = (2,-1)- (1,1) = (1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ee5603a2cc587ab3dcffa296aeef0e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{BC} = C-B =(-2,7)- (2,-1)= (-4,8)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"330\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora controlliamo se le coordinate cartesiane dei vettori sono proporzionali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e78dec44294d4d784e5cf93ff4cf6fd4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{-4}{1} = \\cfrac{8}{-2} = -4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dividendo tra loro le componenti X e le componenti Y dei due vettori otteniamo lo stesso risultato (-4), quindi i vettori hanno la stessa direzione. Fatto che indica che <strong>i punti sono allineati<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Dati 3 punti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a211b45658e3ecc9a6d99ab9c25cef6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(6,3) \\quad B(4,-3) \\quad C(4,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Determina quali si allineano con i seguenti due punti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e69edcc5f0f57a26e5113fc037b79a33_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"D(3,-1) \\quad E(2,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso utilizzeremo il metodo dell&#8217;equazione della linea retta, quindi risparmieremo alcuni calcoli.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Calcoliamo quindi l&#8217;equazione continua della retta che passa per i punti D ed E: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b49904508e43c2689dbd43b72c54a343_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{DE} = E-D = (2,1) - (3,-1) = (-1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"318\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2006fb32975727fc10dea3e135fcc1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x-3}{-1}=\\cfrac{y+1}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora controlliamo quali punti corrispondono all&#8217;equazione della retta, e quindi sono allineati con i punti D ed E, e quali no.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Controlliamo il punto A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1719d4a555050da2ea17f56d610e569e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{6-3}{-1}=\\cfrac{3+1}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c8e342285cc2960cd1ac221202c854_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{3}{-1}=\\cfrac{4}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-661377ab0472015b8558320f2c01ef58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\neq 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;equazione della retta non \u00e8 vera, quindi <strong>il punto A non \u00e8 allineato con i punti D ed E.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Controlliamo ora il punto B: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c627d26517f60ddc4ac6921f8e8f3e07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{4-3}{-1}=\\cfrac{-3+1}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edc9b8b5c0349b7f757d00cbe0dc7d02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{1}{-1}=\\cfrac{-2}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f4f670113c39f3a05ad405e92176773_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1= -1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"67\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso l&#8217;equazione della retta \u00e8 soddisfatta, quindi <strong>il punto B \u00e8 collineare ai punti D ed E.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, ripetiamo il processo con il punto C: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fca526dda7c61b4d49f377dfb3bddc3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{4-3}{-1}=\\cfrac{5+1}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50dc4b51810a1541b1c647128826857f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{1}{-1}=\\cfrac{6}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0967dbdc2483e19c1585ce93af3f75b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1\\neq 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;equazione della retta non \u00e8 vera, quindi <strong>il punto C non \u00e8 allineato con i punti D ed E.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Trovare il valore dell&#8217;ignoto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in modo che i seguenti 3 punti siano allineati: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d24a8001da7ee9bc585c9cde8c495ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(k,5) \\quad B(-1,-4) \\quad C(k-1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso utilizzeremo il metodo vettoriale.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Proviamo quindi a calcolare i vettori tra i punti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b81dc7bc509c6e2589c62f78934129ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B - A = (-1,-4)- (k,5) = (-1-k,-9)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"375\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4c6260bf90e1ffb02aaf6dc7297cda1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{BC} = C-B =(k-1,2)- (-1,-4)= (k,6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 la collinearit\u00e0 a tre punti sia soddisfatta, le coordinate dei due vettori devono essere proporzionali. Applichiamo quindi questa condizione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8478d3909be370139f11503805517fcd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{-1-k}{k} = \\cfrac{-9}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E risolviamo l&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-476a5e44e3e0eb3057a5cc26e27cb77b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(-1-k)\\cdot 6 = -9 \\cdot k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2a9cb146b7bb7de4a735e0c2a409207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-6-6k = -9k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"118\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dedb7656b3248213103847e15e46388_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-6k+9k = 6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3eba160999a1f5f128b874b5d8d18a60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3k = 6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"51\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f0a6048dc5d48632c2e10fa8179c47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k=\\cfrac{6}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20b989bf2c21866deb6a2b220f87dfff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{k=2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi in modo che i 3 punti siano allineati<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> deve valere 2.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cosa sono i punti allineati. 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