<\/span> Cosa sono i vettori linearmente indipendenti? <\/span><\/h2>\n\n Un insieme di vettori liberi \u00e8 linearmente indipendente<\/strong> se nessuno di essi pu\u00f2 essere scritto come combinazione lineare degli altri.<\/p>\n In altre parole, dato un insieme di vettori<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}_1,](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33729e6d20b00643b5d9ddf38544c11c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Questi sono linearmente indipendenti se l’unica soluzione della seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-300ebfc809f336b8eba997c6d2b17b0b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Questi sono tutti i coefficienti<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_i\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f91083f3035e5168a6f0b3e6335d6858_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
uguale a 0: <\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1=a_2=\\dots](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-343093bdf0637093707400807a880327_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n<\/div>\n<\/div>\n Dal punto di vista geometrico, due vettori sono linearmente indipendenti se non hanno la stessa direzione, cio\u00e8 se non sono paralleli.<\/p>\n
Per brevit\u00e0, a volte diciamo direttamente che sono vettori LI. Oppure che i vettori abbiano indipendenza lineare. <\/p>\n
<\/span> Cosa sono i vettori linearmente dipendenti?<\/span><\/h2>\n Ovviamente, vettori linearmente dipendenti significano l’opposto di vettori linearmente indipendenti. La sua definizione \u00e8 quindi: <\/p>\n
\n Un insieme di vettori liberi del piano \u00e8 linearmente dipendente<\/strong> se qualcuno di essi pu\u00f2 essere espresso come combinazione lineare di altri vettori che compongono il sistema.<\/p>\n In altre parole, dato un insieme di vettori<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Questi sono linearmente dipendenti se esiste una soluzione alla seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
in cui ha un certo coefficiente<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e8 diverso da 0: <\/p>\n<\/p>\n
![\"a_i\\neq](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-439f0ac04db138f5e47e7ffa3010ac82_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n<\/div>\n<\/div>\n \u00c8 vero anche il contrario: se un vettore \u00e8 una combinazione lineare di altri vettori, allora tutti i vettori dell’insieme sono linearmente dipendenti.<\/p>\n
Inoltre, se due vettori sono paralleli, ci\u00f2 implica che sono linearmente dipendenti.<\/p>\n
A volte sono anche abbreviati e chiamati semplicemente vettori LD. O anche che i vettori abbiano una dipendenza lineare. <\/p>\n
<\/span> Esempio di come sapere se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti<\/span><\/h2>\n Vedremo poi un tipico esempio di vettori linearmente dipendenti e indipendenti.<\/p>\n
\n- Determina se i seguenti 3 vettori tridimensionali hanno dipendenza o indipendenza lineare:<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05af06eeddc930d2a2a1aef3557f1804_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8499337b8d833980eb798442df144157_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfab263ab4dab31ac33ce94bf5cd605a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Innanzitutto dobbiamo enunciare la condizione di combinazione lineare:<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1\\vv{\\text{u}}+a_2\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2580c2225e7e01a88d80c323da49b776_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Ora sostituiamo ogni vettore con le sue coordinate. Come zero, che corrisponde al vettore zero:<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1(1,5,2)+a_2(-2,3,-1)+](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b93accc41aaa4124dbe17d48b613380_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
I coefficienti moltiplicano i vettori, quindi la seguente espressione \u00e8 equivalente:<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1,5a_1,2a_1)+(-2a_2,3a_2,-a_2)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e862c54b435070e58979525edbd3982b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Aggiungiamo i vettori:<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1-2a_2+4a_3](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aeeebd2fc4c71c53bb5b69a7ba4712fc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Se guardiamo da vicino, l’espressione precedente corrisponde a 3 equazioni, poich\u00e9 ciascuna coordinata del vettore sinistro deve essere uguale a ciascuna coordinata del vettore destro. Abbiamo quindi un sistema omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6bb8117dd8ae715314efe73fe65eed8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Quindi l’unica cosa che dobbiamo fare \u00e8 risolvere il sistema di equazioni le cui incognite sono<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1,](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a350e61a3992febcf5f69fdb79f79a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
E<\/p>\n
![\"a_3.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eff362725f9c8095e12f173e039328e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Per fare ci\u00f2, puoi utilizzare qualsiasi metodo (metodo di sostituzione, metodo di Gaus, regola di Cramer, ecc.). Tuttavia per sapere se i vettori sono LI o LD \u00e8 sufficiente determinare se esiste una soluzione diversa da quella banale (tutti i coefficienti uguali a zero). COS\u00cc: <\/p>\n
\n\n- Se il determinante della matrice composta dalle componenti dei vettori \u00e8 diverso da zero, ci\u00f2 significa che il sistema di equazioni ha una sola soluzione (\n
![\"a_1=a_2=a_3=\\dots=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-485cb2ce7f28253bda0a1262eeec81b8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
) e, quindi, i vettori sono linearmente indipendenti<\/strong><\/li>\n- Se invece il determinante della matrice composta dalle componenti dei vettori \u00e8 uguale a zero, ci\u00f2 implica che il sistema di equazioni ha pi\u00f9 soluzioni e, quindi, i vettori sono linearmente dipendenti<\/strong> .<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Quindi l’unica cosa da calcolare \u00e8 il determinante con le coordinate dei vettori (essendo un determinante 3×3, si risolve con la regola di Sarrus). Questo determinante corrisponde ai coefficienti del precedente sistema di equazioni:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-046e05ff603822985510c7bdc8b73021_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In questo caso il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi i vettori sono linearmente indipendenti<\/strong> .<\/p>\n Pertanto, l\u2019unica soluzione possibile del sistema di equazioni \u00e8 la soluzione banale con tutte le incognite pari a zero: <\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1=a_2=a_3=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55102cbf302a51cdb904a4f3ad88e658_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Propriet\u00e0 dei vettori linearmente dipendenti e indipendenti <\/span><\/h2>\n\n<\/div>\n<\/div>\n La dipendenza o indipendenza lineare dei vettori ha le seguenti caratteristiche:<\/p>\n
\n- Due vettori proporzionali sono paralleli e quindi linearmente dipendenti perch\u00e9 hanno la stessa direzione.<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Allo stesso modo, se due vettori non hanno la stessa direzione o non sono proporzionali, sono linearmente indipendenti.<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Tre vettori complanari (che si trovano sullo stesso piano) sono linearmente indipendenti.<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Il vettore nullo\n
![\"(\\vv{\\text{v}}=(0,0,0))\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f8606fdc9522ef08a3d4b889a3d840_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
dipende linearmente da qualsiasi vettore.<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Un insieme di vettori linearmente indipendenti genera uno spazio vettoriale e forma una base vettoriale. Se i tre vettori sono perpendicolari la base \u00e8 ortogonale. E se anche il suo modulo \u00e8 uguale a 1, ci\u00f2 corrisponde a una base ortonormale. <\/li>\n<\/ul>\n
<\/span>Risolti esercizi di dipendenza lineare e indipendenza<\/span><\/h2>\n Di seguito sono riportati diversi esercizi risolti su vettori linearmente dipendenti e indipendenti con cui esercitarsi.<\/p>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
Determina se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d552b4aa1666be818679ed4557aa7950_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-044b61524cd81ac5ea271deaf60ba56f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f2e178b7cbb93d5b58a5a9d493b3e5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Poniamo innanzitutto la condizione di combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1(1,-2,1)+a_2(2,1,3)+](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62dca064bc122d1180bd344cc63b09ed_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1,-2a_1,a_1)+(2a_2,a_2,3a_2)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-358964cb9ab1a6719cd7fac6d80f35bd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1+2a_2+5a_3](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a60f9dd00a04a5d988a9d664befa3fa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
L’uguaglianza precedente corrisponde al seguente sistema di equazioni lineari:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58f1b449f48096570437df0ca40f8a8d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Una volta enunciato il sistema di equazioni, risolviamo il determinante della matrice con i suoi termini:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-caa6d4f135e79bb8b6d2368ff7eebefb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In questo caso il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti<\/strong> tra loro.<\/p>\n<\/div>\n Esercizio 2<\/h3>\n
Classificare i seguenti vettori come linearmente dipendenti o indipendenti: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cc2ed855100fa8f5ef4d5a58eec547c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1511660305e564364f81511fbcab382a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82f0ad7c365ea32003750cc4b55e44f9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Innanzitutto poniamo l\u2019equazione della combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1(1,4,3)+a_2(-2,0,2)+](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28ebfd8d5f95694329a88caf6213a263_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1,4a_1,3a_1)+(-2a_2,0,2a_2)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e75b345f90c95164ef95890f9fd67ce_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(a_1-2a_2+3a_3](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-221296d40e44e447a90dcdbb00752663_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Dalla precedente uguaglianza si ottiene il seguente sistema omogeneo di equazioni:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c94610b6f8baef34a1fb4601c148f515_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Una volta enunciato il sistema di equazioni, risolviamo il determinante della matrice con le coordinate dei vettori:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67678c37fdaf0955ef8bbab8d34379f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In questo caso il determinante equivale a 0, quindi i tre vettori dipendono linearmente<\/strong> l’uno dall’altro.<\/p>\n<\/div>\n Esercizio 3<\/h3>\n
Per i tre vettori seguenti, indicare quali coppie di vettori sono linearmente dipendenti e quali coppie sono linearmente indipendenti. <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c53b2414f85df7b5510ea6f379ad9c59_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Il modo pi\u00f9 semplice per sapere se una coppia di vettori \u00e8 linearmente dipendente o indipendente \u00e8 verificare se sono proporzionali.<\/p>\n
Per prima cosa controlliamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{u}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
con il vettore<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f5713006a9840d2d71efbe7b540d21a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{1}{2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e9f2e572ec99322a57982b9cb393ca8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In secondo luogo, controlliamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
con il vettore<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97cea7925862c08ac4cf5b4963c0187b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{1}{-4}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-034dc83f2bfec42f9cf743d295f52feb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Infine, testiamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
con il vettore<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{2}{-4}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf4a92d82a160dae8ee8ca41cfad22ec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Pertanto, l’unica coppia di vettori che dipende linearmente l’uno dall’altro \u00e8<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8af8ced46d93e73dc5290e0cca4dc6b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Inoltre il loro rapporto \u00e8 il seguente:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3184c3260a84d9f7722440a1b95392f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a599602f8553abe4f0fb99e3efd3966_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Le altre coppie di vettori invece sono linearmente indipendenti.<\/p>\n
<\/div>\n Esercizio 4<\/h3>\n
Studia la dipendenza lineare o l’indipendenza dei seguenti 4 vettori l’uno dall’altro: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32b4b70627510756dee79c34319889d5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa38827f1af905436c7ac1b64da780d5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{w}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b827cfdbb2751b83b0dfa8e571f20cd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{x}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25ba65cf2ebddf211e70958fed7a6dd1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Poniamo innanzitutto la condizione di combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1\\vv{\\text{u}}+a_2\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75cb11870b19756a745d82caf5ecba82_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"a_1(0,1,2)+a_2(-1,-2,0)+](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bd2e86f772066a8ad2255f8dffa054d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(0,a_1,2a_1)+(-a_2,-2a_2,0)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-192de9f156d81073e6e0b3815fe6703a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"(-a_2+4a_3-2a_4\\](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-828034966309aab74913c929b3781e81_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In questo caso abbiamo un sistema di 3 equazioni in 4 incognite:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9451263e5a31994569292e32666d93e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Non possiamo risolvere il determinante dell’intero sistema di matrici, poich\u00e9 \u00e8 possibile determinare solo le matrici quadrate. Dobbiamo quindi calcolare tutte le possibili combinazioni dei determinanti 3\u00d73 e vedere se uno di essi \u00e8 uguale a 0, in tal caso i vettori saranno linearmente dipendenti, invece se tutti i determinanti sono diversi da 0 i 4 vettori saranno essere linearmente indipendenti.<\/p>\n
Calcoliamo il determinante dei coefficienti<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
![\"a_3:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e5ed86162a9b0324b8f44dc16fcbce_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-488d7848a40aa9a91bd5b3aa1f09b774_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Il determinante dei primi 3 coefficienti (o dei primi 3 vettori) \u00e8 diverso da zero. Quindi ora proviamo con il determinante dei coefficienti<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
![\"a_4:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f76864c5409cf2dea96ed29cc6bf43c5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1475a77f10ea0c16147a6f9c3f611b4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Abbiamo ottenuto un determinante nullo, quindi non \u00e8 necessario calcolare gli altri determinanti perch\u00e9 sappiamo gi\u00e0 che i 4 vettori sono linearmente dipendenti<\/strong> .<\/p>\n
Un insieme di vettori liberi \u00e8 linearmente indipendente<\/strong> se nessuno di essi pu\u00f2 essere scritto come combinazione lineare degli altri.<\/p>\n In altre parole, dato un insieme di vettori<\/p>\n<\/p>\n Questi sono linearmente indipendenti se l’unica soluzione della seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n Questi sono tutti i coefficienti<\/p>\n<\/p>\n uguale a 0: <\/p>\n<\/p>\n Dal punto di vista geometrico, due vettori sono linearmente indipendenti se non hanno la stessa direzione, cio\u00e8 se non sono paralleli.<\/p>\n Per brevit\u00e0, a volte diciamo direttamente che sono vettori LI. Oppure che i vettori abbiano indipendenza lineare. <\/p>\n Ovviamente, vettori linearmente dipendenti significano l’opposto di vettori linearmente indipendenti. La sua definizione \u00e8 quindi: <\/p>\n Un insieme di vettori liberi del piano \u00e8 linearmente dipendente<\/strong> se qualcuno di essi pu\u00f2 essere espresso come combinazione lineare di altri vettori che compongono il sistema.<\/p>\n In altre parole, dato un insieme di vettori<\/p>\n<\/p>\n Questi sono linearmente dipendenti se esiste una soluzione alla seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n in cui ha un certo coefficiente<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 diverso da 0: <\/p>\n<\/p>\n \u00c8 vero anche il contrario: se un vettore \u00e8 una combinazione lineare di altri vettori, allora tutti i vettori dell’insieme sono linearmente dipendenti.<\/p>\n Inoltre, se due vettori sono paralleli, ci\u00f2 implica che sono linearmente dipendenti.<\/p>\n A volte sono anche abbreviati e chiamati semplicemente vettori LD. O anche che i vettori abbiano una dipendenza lineare. <\/p>\n Vedremo poi un tipico esempio di vettori linearmente dipendenti e indipendenti.<\/p>\n Innanzitutto dobbiamo enunciare la condizione di combinazione lineare:<\/p>\n<\/p>\n Ora sostituiamo ogni vettore con le sue coordinate. Come zero, che corrisponde al vettore zero:<\/p>\n<\/p>\n I coefficienti moltiplicano i vettori, quindi la seguente espressione \u00e8 equivalente:<\/p>\n<\/p>\n Aggiungiamo i vettori:<\/p>\n<\/p>\n Se guardiamo da vicino, l’espressione precedente corrisponde a 3 equazioni, poich\u00e9 ciascuna coordinata del vettore sinistro deve essere uguale a ciascuna coordinata del vettore destro. Abbiamo quindi un sistema omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite:<\/p>\n<\/p>\n Quindi l’unica cosa che dobbiamo fare \u00e8 risolvere il sistema di equazioni le cui incognite sono<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Per fare ci\u00f2, puoi utilizzare qualsiasi metodo (metodo di sostituzione, metodo di Gaus, regola di Cramer, ecc.). Tuttavia per sapere se i vettori sono LI o LD \u00e8 sufficiente determinare se esiste una soluzione diversa da quella banale (tutti i coefficienti uguali a zero). COS\u00cc: <\/p>\n ) e, quindi, i vettori sono linearmente indipendenti<\/strong><\/li>\n Quindi l’unica cosa da calcolare \u00e8 il determinante con le coordinate dei vettori (essendo un determinante 3×3, si risolve con la regola di Sarrus). Questo determinante corrisponde ai coefficienti del precedente sistema di equazioni:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi i vettori sono linearmente indipendenti<\/strong> .<\/p>\n Pertanto, l\u2019unica soluzione possibile del sistema di equazioni \u00e8 la soluzione banale con tutte le incognite pari a zero: <\/p>\n<\/p>\n La dipendenza o indipendenza lineare dei vettori ha le seguenti caratteristiche:<\/p>\n dipende linearmente da qualsiasi vettore.<\/li>\n<\/ul>\n Di seguito sono riportati diversi esercizi risolti su vettori linearmente dipendenti e indipendenti con cui esercitarsi.<\/p>\n Determina se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: <\/p>\n<\/p>\n Poniamo innanzitutto la condizione di combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n L’uguaglianza precedente corrisponde al seguente sistema di equazioni lineari:<\/p>\n<\/p>\n Una volta enunciato il sistema di equazioni, risolviamo il determinante della matrice con i suoi termini:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti<\/strong> tra loro.<\/p>\n Classificare i seguenti vettori come linearmente dipendenti o indipendenti: <\/p>\n<\/p>\n Innanzitutto poniamo l\u2019equazione della combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n Dalla precedente uguaglianza si ottiene il seguente sistema omogeneo di equazioni:<\/p>\n<\/p>\n Una volta enunciato il sistema di equazioni, risolviamo il determinante della matrice con le coordinate dei vettori:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso il determinante equivale a 0, quindi i tre vettori dipendono linearmente<\/strong> l’uno dall’altro.<\/p>\n Per i tre vettori seguenti, indicare quali coppie di vettori sono linearmente dipendenti e quali coppie sono linearmente indipendenti. <\/p>\n<\/p>\n Il modo pi\u00f9 semplice per sapere se una coppia di vettori \u00e8 linearmente dipendente o indipendente \u00e8 verificare se sono proporzionali.<\/p>\n Per prima cosa controlliamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n con il vettore<\/p>\n In secondo luogo, controlliamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n con il vettore<\/p>\n Infine, testiamo il vettore<\/p>\n<\/p>\n con il vettore<\/p>\n Pertanto, l’unica coppia di vettori che dipende linearmente l’uno dall’altro \u00e8<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Inoltre il loro rapporto \u00e8 il seguente:<\/p>\n<\/p>\n O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n Le altre coppie di vettori invece sono linearmente indipendenti.<\/p>\n Studia la dipendenza lineare o l’indipendenza dei seguenti 4 vettori l’uno dall’altro: <\/p>\n<\/p>\n Poniamo innanzitutto la condizione di combinazione lineare: <\/p>\n<\/p>\n In questo caso abbiamo un sistema di 3 equazioni in 4 incognite:<\/p>\n<\/p>\n Non possiamo risolvere il determinante dell’intero sistema di matrici, poich\u00e9 \u00e8 possibile determinare solo le matrici quadrate. Dobbiamo quindi calcolare tutte le possibili combinazioni dei determinanti 3\u00d73 e vedere se uno di essi \u00e8 uguale a 0, in tal caso i vettori saranno linearmente dipendenti, invece se tutti i determinanti sono diversi da 0 i 4 vettori saranno essere linearmente indipendenti.<\/p>\n Calcoliamo il determinante dei coefficienti<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Il determinante dei primi 3 coefficienti (o dei primi 3 vettori) \u00e8 diverso da zero. Quindi ora proviamo con il determinante dei coefficienti<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Abbiamo ottenuto un determinante nullo, quindi non \u00e8 necessario calcolare gli altri determinanti perch\u00e9 sappiamo gi\u00e0 che i 4 vettori sono linearmente dipendenti<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/span> Cosa sono i vettori linearmente dipendenti?<\/span><\/h2>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/span> Esempio di come sapere se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti<\/span><\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Propriet\u00e0 dei vettori linearmente dipendenti e indipendenti <\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n\n
<\/span>Risolti esercizi di dipendenza lineare e indipendenza<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 2<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 3<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 4<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n
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