Una matrice diagonalizzabile<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata che pu\u00f2 essere trasformata in una matrice diagonale, cio\u00e8 una matrice piena di zeri tranne che sulla diagonale principale. La diagonalizzazione delle matrici \u00e8 scomposta come segue:<\/p>\n<\/p>\n O equivalente,<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la matrice da diagonalizzare,<\/p>\n \u00e8 la matrice le cui colonne sono gli autovettori (o autovettori) di<\/p>\n ,<\/p>\n la sua matrice inversa e<\/p>\n \u00e8 la matrice diagonale formata dagli autovalori (o autovalori) di<\/p>\n .<\/p>\n<\/div>\n La matrice<\/p>\n<\/p>\n agisce come una base che cambia matrice, quindi in realt\u00e0 con questa formula cambiamo la base in matrice<\/p>\n , in modo che la matrice diventi una matrice diagonale (<\/p>\n ) nella nuova sede.<\/p>\n Pertanto, la matrice<\/p>\n<\/p>\n e la matrice<\/p>\n Sono matrici simili. E ovviamente,<\/p>\n \u00c8 una matrice regolare o non degenere.<\/p>\n Non tutte le matrici possono essere diagonalizzate; solo le matrici che soddisfano determinate caratteristiche possono essere diagonalizzate. Si pu\u00f2 capire se una matrice \u00e8 diagonalizzabile in diversi modi:<\/p>\n , che serve per diagonalizzare una matrice, \u00e8 formato dagli autovettori di detta matrice. Per sapere se gli autovettori sono LI \u00e8 sufficiente il determinante della matrice<\/p>\n \u00e8 diverso da 0, il che significa che la matrice ha il rango massimo.<\/li>\n<\/ul>\n La procedura per diagonalizzare una matrice si basa sulla ricerca degli autovalori (o autovalori) e degli autovettori (o autovettori) di una matrice. Questo \u00e8 il motivo per cui \u00e8 importante padroneggiare come calcolare gli autovalori (o autovalori) e gli autovettori (o autovettori) di qualsiasi matrice<\/a> . Puoi ricordare come \u00e8 stato fatto cliccando sul link, dove spieghiamo passo dopo passo come trovarli e alcuni trucchi che rendono i calcoli molto pi\u00f9 semplici. Inoltre, troverai anche esercizi risolti per esercitarti.<\/p>\n Con il seguente metodo puoi diagonalizzare una matrice di qualsiasi dimensione: 2×2, 3×3, 4×4, ecc. I passi da seguire per diagonalizzare una matrice sono:<\/p>\n <\/span> , le cui colonne sono gli autovettori della matrice da diagonalizzare.<\/li>\n <\/span> , i cui elementi sono tutti 0 tranne quelli sulla diagonale principale, che sono gli autovalori trovati nel passaggio 1.<\/li>\n<\/ol>\n Avvertenza:<\/strong> Gli autovettori della matrice<\/p>\n<\/p>\n possono essere posizionati in qualsiasi ordine, tranne gli autovalori della matrice diagonale<\/p>\n Devono essere posizionati nello stesso ordine. Ad esempio, il primo autovalore della matrice diagonale<\/p>\n deve essere quello che corrisponde all’autovettore della prima colonna della matrice<\/p>\n .<\/p>\n Di seguito sono riportati diversi esercizi passo passo di diagonalizzazione della matrice con cui puoi esercitarti.<\/p>\n Diagonalizza la seguente matrice quadrata di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo innanzitutto determinare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il seguente determinante:<\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo ora le radici del polinomio caratteristico:<\/p>\n<\/p>\n Una volta ottenuti gli autovalori si calcola l\u2019autovettore associato a ciascuno. Innanzitutto, l’autovettore corrispondente all’autovalore 1: <\/p>\n<\/p>\n E poi calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 4: <\/p>\n<\/p>\n Costruiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , formato dagli autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 tutti gli autovalori sono diversi, la matrice A \u00e8 diagonalizzabile. Quindi la matrice diagonale corrispondente \u00e8 quella che ha gli autovalori sulla diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Ricordare che gli autovalori devono essere posizionati nello stesso ordine in cui gli autovettori sono posizionati nella matrice<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n In conclusione, la matrice del cambiamento di base e la matrice diagonalizzata sono: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalizza la seguente matrice quadrata di ordine 2: <\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo innanzitutto determinare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il seguente determinante:<\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo ora le radici del polinomio caratteristico:<\/p>\n<\/p>\n Una volta ottenuti gli autovalori si calcola l\u2019autovettore associato a ciascuno. Innanzitutto, l’autovettore corrispondente all’autovalore -1: <\/p>\n<\/p>\n E poi calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2: <\/p>\n<\/p>\n Costruiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , formato dagli autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 tutti gli autovalori sono diversi tra loro, la matrice A \u00e8 diagonalizzabile. Quindi la matrice diagonale corrispondente \u00e8 quella che contiene gli autovalori sulla diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Ricordare che gli autovalori devono essere posizionati nello stesso ordine in cui gli autovettori sono posizionati nella matrice<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n In conclusione, la matrice del cambiamento di base e la matrice diagonalizzata sono: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalizza la seguente matrice quadrata di dimensione 3\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n Il primo passo consiste nel trovare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il determinante della seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio caratteristico. Trattandosi di un polinomio di terzo grado applichiamo la regola di Ruffini:<\/p>\n<\/p>\n E poi troviamo le radici del polinomio ottenuto: <\/p>\n \n<\/p>\n Quindi gli autovalori della matrice sono:<\/p>\n<\/p>\n Una volta trovati gli autovalori si calcola l\u2019autovettore associato a ciascuno di essi. Innanzitutto, l’autovettore corrispondente all’autovalore 1: <\/p>\n<\/p>\n Quindi calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 3: <\/p>\n<\/p>\n E infine, calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 4: <\/p>\n<\/p>\n Costruiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , formato dagli autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 tutti gli autovalori sono diversi tra loro, la matrice A \u00e8 diagonalizzabile. Quindi la matrice diagonale corrispondente \u00e8 quella che ha gli autovalori sulla diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Ricordare che gli autovalori devono essere posizionati nello stesso ordine in cui gli autovettori sono posizionati nella matrice<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n In breve, la matrice del cambiamento di base e la matrice diagonalizzata sono: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalizza, se possibile, la seguente matrice quadrata di ordine 3: <\/p>\n<\/p>\n Il primo passo consiste nel trovare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il determinante della seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio minimo. Poich\u00e9 si tratta di un polinomio di terzo grado, applichiamo la regola di Ruffini per fattorizzarlo:<\/p>\n<\/p>\n E poi troviamo le radici del polinomio ottenuto:<\/p>\n<\/p>\n Quindi gli autovalori della matrice sono:<\/p>\n<\/p>\n L’autovalore di -2 \u00e8 di molteplicit\u00e0 algebrica semplice, invece l’autovalore di 2 \u00e8 di molteplicit\u00e0 doppia.<\/p>\n Una volta trovati gli autovalori si calcola l\u2019autovettore associato a ciascuno di essi. Innanzitutto, l’autovettore corrispondente all’autovalore -2: <\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo ora gli autovettori associati agli autovalori 2. <\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 l’autovalore 2 viene ripetuto due volte, dobbiamo calcolare un altro autovettore che soddisfi le equazioni del sottospazio (o autospazio):<\/p>\n<\/p>\n Costruiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , formato dai tre autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Tuttavia i tre vettori non sono linearmente indipendenti, poich\u00e9 ovviamente i due autovettori con autovalore 2 sono una combinazione lineare tra loro. Questo pu\u00f2 anche essere dimostrato perch\u00e9 il determinante della matrice<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 uguale a 0 (ha una riga piena di zeri):<\/p>\n<\/p>\n Pertanto, poich\u00e9 gli autovettori sono linearmente dipendenti, la matrice A non \u00e8 diagonalizzabile<\/strong> .<\/p>\n Se possibile, diagonalizza la seguente matrice quadrata di dimensione 3\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n Il primo passo consiste nel trovare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il determinante della seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 la prima riga \u00e8 interamente composta da zeri tranne 3, ne approfitteremo per risolvere il determinante della matrice mediante cofattori (o aggiunti):<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio caratteristico. \u00c8 meglio non moltiplicare le parentesi perch\u00e9 si otterrebbe un polinomio di terzo grado. Se invece i due fattori vengono risolti separatamente \u00e8 pi\u00f9 semplice ottenere gli autovalori:<\/p>\n<\/p>\n Quindi gli autovalori della matrice sono:<\/p>\n<\/p>\n Una volta trovati gli autovalori si calcola l\u2019autovettore associato a ciascuno di essi. Innanzitutto, l’autovettore corrispondente all’autovalore 1: <\/p>\n<\/p>\n Successivamente calcoliamo gli autovettori associati agli autovalori 3: <\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 l’autovalore 3 viene ripetuto due volte, dobbiamo calcolare un altro autovettore che soddisfi le equazioni dell’autospazio:<\/p>\n<\/p>\n Costruiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , formato dagli autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n A differenza dell’esercizio 4, in questo caso siamo riusciti a formare 3 vettori linearmente indipendenti sebbene la molteplicit\u00e0 algebrica dell’autovalore 3 sia doppia. Ci\u00f2 pu\u00f2 essere verificato vedendo che il determinante della matrice<\/p>\n<\/p>\n d\u00e0 un risultato diverso da 0:<\/p>\n<\/p>\n Possiamo cos\u00ec effettuare la scomposizione diagonale della matrice A. E la matrice diagonale corrispondente \u00e8 quella che ha gli autovalori sulla diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Ricordare che gli autovalori devono essere posizionati nello stesso ordine in cui gli autovettori sono posizionati nella matrice<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n In breve, la matrice di cambiamento di base necessaria per diagonalizzare la matrice e la sua forma diagonalizzata sono:<\/p>\n<\/p>\n Effettuare la diagonalizzazione, se possibile, della seguente matrice di dimensione 4\u00d74: <\/p>\n<\/p>\n Il primo passo consiste nel trovare gli autovalori della matrice A. Calcoliamo quindi l’equazione caratteristica risolvendo il determinante della seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso l’ultima colonna del determinante \u00e8 composta solo da zeri tranne un elemento, ne approfitteremo quindi per calcolare il determinante per cofattori tramite questa colonna:<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio caratteristico. \u00c8 meglio non fare il prodotto tra parentesi perch\u00e9 altrimenti otterresti un polinomio di quarto grado. Tuttavia, se i due fattori vengono risolti separatamente, \u00e8 pi\u00f9 semplice calcolare gli autovalori: <\/p>\n<\/p>\n Quindi gli autovalori della matrice sono:<\/p>\n<\/p>\n Una volta trovati tutti gli autovalori si passa agli autovettori. Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 0: <\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore -3: <\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2: <\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 5: <\/p>\n<\/p>\n Realizziamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n , composto dagli autovettori della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Poich\u00e9 tutti gli autovalori sono diversi tra loro, la matrice A \u00e8 diagonalizzabile. Quindi la matrice diagonale corrispondente \u00e8 quella che ha gli autovalori sulla diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Ricordare che gli autovalori devono essere posizionati nello stesso ordine in cui sono posizionati gli autovettori nella matrice<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n In sintesi, le modifiche di base necessarie per diagonalizzare la matrice A e la matrice in forma diagonale sono:<\/p>\n<\/p>\n Se sei arrivato fin qui, probabilmente ti starai chiedendo: a cosa serve una matrice diagonalizzabile?<\/p>\n Ebbene, le matrici diagonalizzabili sono molto utili e ampiamente utilizzate in matematica. Il motivo \u00e8 che una matrice diagonale \u00e8 praticamente piena di zeri e quindi rende i calcoli molto pi\u00f9 semplici.<\/p>\n Un chiaro esempio di ci\u00f2 sono le potenze delle matrici diagonalizzabili,<\/strong> perch\u00e9 il loro risultato \u00e8 semplificato dalla seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n Questa uguaglianza pu\u00f2 essere facilmente dimostrata per induzione. \u00c8 quindi sufficiente innalzare la matrice<\/p>\n<\/p>\n all’espositore. E poich\u00e9 si tratta di una matrice diagonale, l’operazione si riduce ad elevare all’esponente ciascun termine della diagonale principale:<\/p>\n<\/p>\n Per meglio comprendere, calcoleremo come esempio la potenza di una matrice diagonalizzabile:<\/p>\n<\/p>\n La matrice del cambiamento di base<\/p>\n<\/p>\n , formato dai suoi autovettori, e dalla matrice diagonalizzata<\/p>\n , composto dai propri valori, sono:<\/p>\n<\/p>\n Quindi, per fare un esempio, la matrice A elevata a 7 equivale a:<\/p>\n<\/p>\n Ora invertiamo la matrice<\/p>\n<\/p>\n Risolviamo la potenza della matrice <\/p>\n<\/p>\n E, infine, effettuiamo le moltiplicazioni delle matrici:<\/p>\n<\/p>\n Come hai visto, \u00e8 pi\u00f9 conveniente calcolare la potenza con una matrice diagonale piuttosto che moltiplicare la stessa matrice sette volte di seguito. Quindi immagina con valori esponenti molto pi\u00f9 grandi. <\/p>\n Le caratteristiche di questo tipo di matrice sono:<\/p>\n \u00e8 diagonalizzabile, qualsiasi potenza di<\/p>\n .<\/li>\n<\/ul>\n . Anche se di seguito hai le eccezioni che non sono mai diagonalizzabili.<\/li>\n<\/ul>\n \u00e8 una matrice ortogonale, allora diciamo che la matrice<\/p>\n \u00e8 ortogonalmente diagonalizzabile<\/strong> e, quindi, l\u2019equazione pu\u00f2 essere riscritta:<\/li>\n<\/ul>\n Un insieme di matrici si dice simultaneamente diagonalizzabile<\/strong> se esiste una matrice invertibile che serve come base per diagonalizzare qualsiasi matrice di questo insieme. In altre parole, se due matrici diagonalizzano sulla stessa base autovettoriale, significa che sono diagonalizzabili simultaneamente.<\/p>\n Inoltre, come abbiamo commentato nelle propriet\u00e0 della diagonalizzazione delle matrici, se due matrici sono in grado di diagonalizzarsi simultaneamente, devono commutare tra loro.<\/p>\n Ad esempio, le seguenti due matrici sono commutabili, quindi diagonalizzano sulla stessa base di autovettori o autovettori.<\/p>\n<\/p>\n Anche se hanno gli stessi autovettori, ci\u00f2 non significa che abbiano gli stessi autovalori. Infatti, sebbene le matrici A e B sopra abbiano autovettori simili, hanno autovalori diversi.<\/p>\n Sebbene la stragrande maggioranza delle matrici sia diagonalizzabile in un ambiente di numeri complessi, alcune matrici non possono mai essere diagonalizzabili.<\/strong><\/p>\n Questo fatto si verifica quando la molteplicit\u00e0 algebrica di un autovalore (o autovalore) non coincide con la molteplicit\u00e0 geometrica.<\/p>\n Ad esempio, la seguente matrice non \u00e8 in alcun modo diagonalizzabile, \u00e8 \u201cindiagonalizzabile\u201d:<\/p>\n<\/p>\n Inoltre, ci sono matrici che non sono in grado di diagonalizzare in un ambiente di numeri reali, ma lo fanno quando si lavora con numeri complessi, come questa matrice:<\/p>\n<\/p>\n Infine, ci sono alcune procedure di diagonalizzazione dei blocchi di matrice<\/em> che non sono puramente diagonalizzabili, ma sono un po’ pi\u00f9 complicate. Il metodo pi\u00f9 conosciuto \u00e8 la diagonalizzazione con la forma canonica di Jordan<\/a> .<\/p>\n![\"A](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ab9c489a73de0bde368d8a7f7bd7151_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Quando puoi diagonalizzare una matrice?<\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{si}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-389610a3ba8bf2db8af148a3f5c13e5a_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\n
Come diagonalizzare una matrice<\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Risolti gli esercizi di diagonalizzazione della matrice<\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 4<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 5<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 6<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Applicazioni di matrici diagonalizzabili<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Esempio di potenza di una matrice diagonalizzabile<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Propriet\u00e0 delle matrici diagonalizzabili<\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\mathbb{C}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68da13602f004ced593a0442bca3f363_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3f65f9edb18ea2a563767416aec8e52_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
\n
\n
Diagonalizzazione simultanea<\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c215d8b5d9ae75dbd069c6b6d39886dd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n Matrici non diagonalizzabili<\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdadeeadd8ee984e2efb53896c2d3306_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n Diagonalizzare una matrice con MATLAB<\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9c2b022364c0099b96b150c5853a9f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e908bfbcd51e3b8c338b5ca279f9f8d_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n