Essere<\/p>\n<\/p>\n
![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
una matrice quadrata. La matrice inversa<\/strong> di<\/p>\n \u00e8 scritto<\/p>\n , ed \u00e8 questa matrice che soddisfa:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la matrice Identit\u00e0.<\/p>\n<\/div>\n Il modo pi\u00f9 semplice per determinare l’invertibilit\u00e0 di una matrice \u00e8 utilizzare il suo determinante:<\/p>\n Principalmente esistono due metodi per invertire qualsiasi matrice: il metodo dei determinanti o matrice aggiunta e il metodo di Gauss. Di seguito hai la spiegazione del primo, ma puoi anche consultare di seguito come invertire una matrice con il metodo di Gauss.<\/p>\n Per calcolare l’ inversa di una matrice<\/strong> ,<\/p>\n<\/p>\n , deve essere applicata la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il determinante della matrice<\/p>\n \u00e8 la matrice aggiunta di<\/p>\n indica la trasposizione della matrice, ovvero la matrice allegata deve essere trasposta.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Commento:<\/strong> alcuni libri utilizzano una formula di matrice inversa leggermente diversa: prima traspongono la matrice A e poi calcolano la sua matrice aggiunta, invece di calcolare prima la matrice aggiunta e poi trasporla. In realt\u00e0 l’ordine non ha importanza perch\u00e9 il risultato \u00e8 esattamente lo stesso. Qui ti lasciamo la formula per invertire una matrice modificata nel caso in cui preferisci utilizzare questa: <\/p>\n Vedremo poi come trovare l’inversa di una matrice<\/strong> risolvendo un esercizio a titolo di esempio:<\/p>\n Per determinare l’inversa della matrice, dobbiamo applicare la seguente formula: <\/p>\n Ma se il determinante della matrice \u00e8 zero significa che la matrice non \u00e8 invertibile. La prima cosa da fare quindi \u00e8 calcolare il determinante della matrice e verificare che sia diverso da 0:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante non \u00e8 0<\/strong> , quindi la matrice \u00e8 invertibile<\/strong> .<\/p>\n Pertanto, sostituendo nella formula il valore del determinante, l’inverso della matrice sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora calcolare la matrice sostitutiva di A. Per fare ci\u00f2, dobbiamo sostituire ogni elemento della matrice A con il suo sostitutivo. <\/p>\n Ricordatevi che per calcolare il pignoramento<\/strong><\/p>\n<\/p>\n , cio\u00e8 dell’elemento riga<\/p>\n e la colonna<\/p>\n , deve essere applicata la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n Dove il minore complementare di<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 il determinante della matrice eliminando la riga<\/p>\n e la colonna<\/p>\n .<\/p>\n<\/div>\n Pertanto i deputati degli elementi della matrice A sono: <\/p>\n<\/p>\n Commento:<\/strong> non confondere il determinante 1\u00d71 con il valore assoluto, perch\u00e9 nel determinante 1\u00d71 il numero non viene convertito in positivo.<\/p>\n Una volta calcolati i deputati, basta sostituire gli elementi di A con i loro deputati per trovare la matrice dei deputati di A<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n Commento:<\/strong> in certi punti la matrice aggiunta \u00e8 la trasposta della matrice aggiunta che qui definiamo.<\/p>\n Pertanto, sostituiamo la matrice allegata nella formula della matrice inversa e diventa:<\/p>\n<\/p>\n L’espositore<\/p>\n<\/p>\n Questo ci dice che dobbiamo trasporre la matrice<\/strong> . E per trasporre una matrice devi cambiare le sue righe in colonne<\/strong> , vale a dire che la prima riga della matrice diventa la prima colonna della matrice, e la seconda riga diventa la seconda colonna:<\/p>\n<\/p>\n E infine, moltiplichiamo ciascun termine della matrice per<\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice di dimensione 2\u00d72 utilizzando il metodo della matrice aggiunta: <\/p>\n<\/p>\n La formula della matrice inversa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice pu\u00f2 essere invertita.<\/p>\n Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A: <\/p>\n<\/p>\n Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula: <\/p>\n<\/p>\n Trasponiamo la matrice allegata:<\/p>\n<\/p>\n La matrice inversa di A \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice quadrata utilizzando il metodo del determinante: <\/p>\n<\/p>\n La formula della matrice inversa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice pu\u00f2 essere invertita.<\/p>\n Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A: <\/p>\n<\/p>\n Una volta trovato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula: <\/p>\n<\/p>\n Trasponiamo la matrice allegata:<\/p>\n<\/p>\n Moltiplichiamo ogni elemento per <\/p>\n<\/p>\n La matrice inversa di A \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice di dimensione 3\u00d73 utilizzando il metodo delle matrici aggiunte: <\/p>\n<\/p>\n La formula della matrice inversa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Risolviamo innanzitutto il determinante della matrice con la regola di Sarrus:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice pu\u00f2 essere invertita.<\/p>\n Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A: <\/p>\n<\/p>\n Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula: <\/p>\n<\/p>\n Trasponiamo la matrice allegata:<\/p>\n<\/p>\n E la matrice invertita A \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice di ordine 3 utilizzando il metodo della matrice aggiunta: <\/p>\n<\/p>\n La formula della matrice inversa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo prima calcolare il determinante della matrice, perch\u00e9 se il determinante \u00e8 0, significa che la matrice non ha inversa.<\/p>\n<\/p>\n Il determinante di A \u00e8 0, quindi la matrice non pu\u00f2 essere invertita.<\/strong><\/p>\n Invertire la seguente matrice quadrata 3 \u00d7 3 con il metodo della matrice determinante: <\/p>\n<\/p>\n La formula della matrice inversa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Innanzitutto risolviamo il determinante della matrice con la regola di Sarrus:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice pu\u00f2 essere invertita.<\/p>\n Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A: <\/p>\n<\/p>\n Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula: <\/p>\n<\/p>\n Trasponiamo la matrice allegata:<\/p>\n<\/p>\n E infine, operiamo: <\/p>\n<\/p>\n Per calcolare l’inversa di una matrice con il metodo di Gauss<\/strong> , \u00e8 necessario eseguire delle operazioni sulle righe di una matrice<\/strong> (lo vedremo pi\u00f9 avanti). Quindi prima di vedere come utilizzare il metodo di Gauss, \u00e8 importante che tu conosca tutte le operazioni che si possono fare sulle righe delle matrici:<\/p>\n Ad esempio, possiamo cambiare l’ordine delle righe 2 e 3 di una matrice:<\/p>\n<\/p>\n Ad esempio, possiamo moltiplicare la riga 1 per 4 e dividere la riga 3 per 2:<\/p>\n<\/p>\n Ad esempio, nella matrice seguente, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per 1 alla riga 2:<\/p>\n<\/p>\n Vediamo con un esempio come applicare il metodo di Gauss<\/strong> per invertire una matrice:<\/p>\n La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 combinare la matrice A e la matrice Identit\u00e0 in un’unica matrice<\/strong> . La matrice A a sinistra e la matrice Identit\u00e0 a destra: <\/p>\n<\/p>\n Per calcolare la matrice inversa, dobbiamo convertire la matrice di sinistra in una matrice identit\u00e0.<\/strong> E, per farlo, dobbiamo applicare le trasformazioni alle righe finch\u00e9 non arriviamo l\u00ec.<\/p>\n Procederemo per colonne, cio\u00e8 eseguiremo delle operazioni sulle righe per trasformare prima i numeri della prima colonna, poi quelli della seconda ed infine quelli della terza colonna. <\/p>\n Gli 1 e gli 0 nella prima colonna sono gi\u00e0 adatti, poich\u00e9 anche la matrice identit\u00e0 ha un 1 e uno 0 in queste posizioni. Pertanto, al momento non \u00e8 necessario applicare una trasformazione a queste righe. <\/p>\n<\/div>\n Tuttavia, la matrice identit\u00e0 ha uno 0 nell’ultimo elemento della prima colonna, dove ora abbiamo un 1. Quindi dobbiamo convertire 1 in 0. Per fare ci\u00f2, aggiungiamo la riga 1 moltiplicata per \u2013 alla riga 3.1 :<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Quindi se facciamo questa somma otteniamo la seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n Siamo cos\u00ec riusciti a trasformare l’1 in 0.<\/p>\n Passiamo ora alla seconda colonna della matrice di sinistra. Il primo elemento \u00e8 uno 0, il che \u00e8 positivo perch\u00e9 la matrice identit\u00e0 ha uno 0 nella stessa posizione. Tuttavia, invece del 2 dovrebbe esserci un 1, quindi dividiamo la seconda riga per 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Inoltre, nella seconda colonna dobbiamo anche trasformare il 5 in 0. Bene, poich\u00e9 il 5 \u00e8 cinque volte pi\u00f9 grande dell’1 nella seconda riga, aggiungeremo la riga 2 moltiplicata per -5 alla riga 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Pertanto, eseguendo questa operazione, ci ritroveremo con la matrice con uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna:<\/p>\n<\/p>\n Infine trasformeremo l’ultima colonna della matrice a sinistra, ma questa volta dobbiamo iniziare dal basso. \u00c8 quindi necessario trasformare l’<\/p>\n<\/p>\n in 1. Pertanto, moltiplichiamo l’ultima riga per 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora trasformare il<\/p>\n<\/p>\n il resto dell’ultima colonna come 0. Tuttavia, questa volta non possiamo moltiplicare la riga per 2, perch\u00e9 convertiremo anche 1 in 2 (quando la matrice identit\u00e0 ha 1 in quella posizione). Pertanto, aggiungeremo la riga 3 divisa per -2 alla riga 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Quindi facendo questa operazione riusciamo a trasformare il<\/p>\n<\/p>\n in uno 0:<\/p>\n<\/p>\n Infine, dobbiamo solo trasformare l’1 nella prima riga della terza colonna in 0. Anche la terza riga ha un 1 in questa stessa colonna, quindi aggiungeremo la riga 3 moltiplicata per -1 alla riga 1:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n E facendo questa operazione riusciamo a convertire l’1 in uno 0:<\/p>\n<\/p>\n Una volta che abbiamo convertito con successo la matrice sinistra in una matrice identit\u00e0, conosciamo anche la matrice inversa. Perch\u00e9 la matrice inversa \u00e8 la matrice che otteniamo sul lato destro convertendo la matrice sinistra in matrice identit\u00e0<\/strong> . L\u2019inversa della matrice \u00e8 quindi: <\/p>\n Invertire la seguente matrice tramite il metodo di Gauss: <\/p>\n<\/p>\n La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 combinare la matrice A e la matrice Identit\u00e0 in un’unica matrice. La matrice A a sinistra e la matrice identit\u00e0 a destra: <\/p>\n<\/p>\n Ora, per calcolare la matrice inversa, dobbiamo convertire la matrice del lato sinistro in matrice identit\u00e0. E, per farlo, dobbiamo applicare le trasformazioni alle righe finch\u00e9 non arriviamo l\u00ec.<\/p>\n Il primo termine di tutti, 1, \u00e8 gi\u00e0 lo stesso della matrice identit\u00e0. Pertanto, in questo momento non \u00e8 necessario applicare una trasformazione alla prima riga.<\/p>\n Tuttavia, la matrice identit\u00e0 ha uno 0 nell’ultimo elemento della prima colonna, dove ora abbiamo un 1. Dobbiamo quindi convertire 1 in 0. Per fare ci\u00f2, sottraiamo la riga 1 dalla riga 2:<\/p>\n<\/p>\n Passiamo alla seconda colonna: va bene la 1 sotto. Ma non i 2 sopra, poich\u00e9 la matrice identit\u00e0 ha uno 0 in quella posizione. Pertanto, per convertire il 2 in 0, dalla riga 1 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 2:<\/p>\n<\/p>\n La matrice inversa \u00e8 la matrice che otteniamo sul lato destro dopo aver convertito la matrice di sinistra in una matrice identit\u00e0. E ora abbiamo la matrice identit\u00e0 sul lato sinistro. La matrice inversa \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice con la procedura gaussiana: <\/p>\n<\/p>\n Innanzitutto, inseriamo la matrice A e la matrice Identit\u00e0 in un’unica matrice: <\/p>\n<\/p>\n Ora dobbiamo trasformare le righe fino a convertire la matrice di sinistra in una matrice identit\u00e0.<\/p>\n La prima colonna della matrice di sinistra \u00e8 gi\u00e0 uguale alla prima colonna della matrice identit\u00e0. Non \u00e8 quindi necessario modificare nessuno dei suoi numeri.<\/p>\n Tuttavia, la matrice identit\u00e0 ha un 1 nel secondo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un 3. Dobbiamo quindi convertire il 3 in un 1. Per fare ci\u00f2, dalla riga 2 sottraiamo la riga 3 moltiplicata per 2:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un 1. Dobbiamo quindi convertire l’1 in 0. Per fare ci\u00f2 sottraiamo la riga 2 dalla riga 3:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un 1. Dobbiamo quindi convertire 1 in 0. Per fare ci\u00f2, sottraiamo la riga 2 dalla riga 1:<\/p>\n<\/p>\n Tutto quello che dobbiamo fare ora \u00e8 convertire -4 in 0. Per fare ci\u00f2, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per 4 alla riga 1:<\/p>\n<\/p>\n Abbiamo gi\u00e0 ottenuto la matrice identit\u00e0 dal lato sinistro. La matrice inversa \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice utilizzando il metodo gaussiano: <\/p>\n<\/p>\n Prima di iniziare a operare, dobbiamo mettere la matrice A e la matrice Identit\u00e0 in un’unica matrice: <\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora convertire la matrice di sinistra in una matrice identit\u00e0 operando sulle righe.<\/p>\n I primi due elementi della prima colonna sono gi\u00e0 uguali a quelli della matrice identit\u00e0. Non \u00e8 quindi necessario modificare tali cifre.<\/p>\n Ma la matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel terzo elemento della prima colonna, dove ora c’\u00e8 un 2. Dobbiamo quindi convertire il 2 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 3 sottraiamo la riga 1 moltiplicata per 2:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un 2. Dobbiamo quindi convertire il 2 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 1 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 2:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un -4. Dobbiamo quindi convertire il -4 in 0. Per fare ci\u00f2 aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per 4 alla riga 3:<\/p>\n<\/p>\n Tutto quello che dobbiamo fare ora \u00e8 convertire il primo elemento della terza colonna in 0. Per fare ci\u00f2, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per -1 alla riga 1:<\/p>\n<\/p>\n Abbiamo gi\u00e0 capito che la matrice a sinistra \u00e8 la matrice identit\u00e0. Quindi l’inverso della matrice<\/p>\n<\/p>\n Est:<\/p>\n<\/p>\n Invertire la seguente matrice utilizzando il metodo gaussiano: <\/p>\n<\/p>\n La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 unire la matrice A e la matrice Identit\u00e0 in un’unica matrice: <\/p>\n<\/p>\n Dobbiamo ora convertire la matrice a sinistra in una matrice identit\u00e0 applicando operazioni sulle righe.<\/p>\n Il primo elemento della prima colonna \u00e8 gi\u00e0 uguale a quello della matrice identit\u00e0. Non \u00e8 quindi necessario modificarlo.<\/p>\n Tuttavia, la matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel secondo elemento della prima colonna, dove ora c’\u00e8 un 1. Dobbiamo quindi convertire l’1 in 0. Per fare ci\u00f2, sottraiamo la riga 1 dalla riga 2:<\/p>\n<\/p>\n Passiamo alla seconda colonna: trasformiamo prima il 4 in un 1 dividendo la seconda riga per 4:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un -2. Dobbiamo quindi convertire -2 in 0. Per fare ci\u00f2, aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per 2 alla riga 1: <\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’\u00e8 un 3. Dobbiamo quindi convertire il 3 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 3 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 3: <\/p>\n<\/p>\n Passiamo alla terza colonna: dobbiamo trasformare l’ultima<\/p>\n<\/p>\n in 1. Per fare ci\u00f2, moltiplichiamo la terza riga per 2:<\/p>\n<\/p>\n La matrice identit\u00e0 ha uno 0 nel secondo elemento dell’ultima colonna. \u00c8 quindi necessario convertire il<\/p>\n<\/p>\n in uno 0. Per fare ci\u00f2, dalla riga 2 sottraiamo la riga 3 divisa per 2: <\/p>\n<\/p>\n Tutto quello che dobbiamo fare ora \u00e8 convertire il primo elemento della terza colonna in 0. Per fare ci\u00f2 sottraiamo la riga 3 dalla riga 1: <\/p>\n<\/p>\n La matrice inversa \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Infine, le frazioni della matrice inversa possono essere semplificate:<\/p>\n<\/p>\n La matrice inversa ha le seguenti caratteristiche:<\/p>\n Come abbiamo visto, qualsiasi matrice pu\u00f2 essere invertita mediante il metodo dei determinanti o mediante il metodo di Gauss. Ma, separatamente, esiste anche una formula per trovare molto rapidamente l\u2019inverso di una matrice 2\u00d72<\/strong> : <\/p>\n Come puoi vedere, invertire una matrice 2×2 \u00e8 semplice: basta risolvere il determinante della matrice<\/p>\n<\/p>\n , alterna la posizione degli elementi della diagonale principale e cambia il segno degli elementi della diagonale secondaria.<\/p>\n Calcola l’inversa della seguente matrice quadrata 2 \u00d7 2:<\/p>\n<\/p>\n Il determinante della matrice A \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Ora applichiamo la formula della matrice inversa<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n E moltiplichiamo la matrice per la frazione:<\/p>\n<\/p>\n La matrice invertita A \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Come puoi vedere, invertire una matrice con questa formula \u00e8 molto pi\u00f9 veloce, ma pu\u00f2 essere utilizzata solo su matrici di dimensione 2×2.<\/p>\n Invertiamo la seguente matrice di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n Il determinante della matrice A \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Ora applichiamo la formula per trovare la matrice inversa: <\/p>\n<\/p>\n L\u2019inversa della matrice A \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Calcolare l’inversa della seguente matrice di ordine 2: <\/p>\n<\/p>\n Il determinante della matrice A \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Applichiamo ora la formula per risolvere la matrice inversa di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E infine facciamo la moltiplicazione: <\/p>\n<\/p>\n Invertiamo la seguente matrice 2×2: <\/p>\n<\/p>\n Il determinante della matrice A \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Applichiamo ora la formula per calcolare la matrice inversa di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E infine, facciamo il prodotto tra la frazione e la matrice:<\/p>\n<\/p>\n Trovare l’inversa della seguente matrice del secondo ordine: <\/p>\n<\/p>\n Il determinante della matrice A \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Ora applichiamo la formula per creare la matrice inversa di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E infine facciamo la moltiplicazione: <\/p>\n<\/p>\n \u00c8 difficile apprezzare le reali applicazioni dell’inverso di una matrice. Infatti, probabilmente ti starai chiedendo… a cosa serve la matrice inversa? Serve davvero a qualcosa?<\/p>\n Ebbene, uno degli usi della matrice inversa \u00e8 risolvere sistemi di equazioni lineari<\/strong> . E s\u00ec, anche se possono sembrare due concetti molto diversi, \u00e8 possibile trovare la soluzione di un sistema di equazioni invertendo una matrice.<\/p>\n Vediamo con un esempio come si realizza:<\/p>\n Innanzitutto va osservato che un sistema di equazioni pu\u00f2 essere espresso sotto forma di matrici:<\/p>\n<\/p>\n Possiamo verificare che questa forma matriciale del sistema equivale all’espressione con equazioni: se moltiplichiamo le matrici vedremo che otteniamo le due equazioni del sistema.<\/p>\n Ora, per semplificare i passaggi successivi, chiameremo<\/p>\n<\/p>\n alla matrice che ha i coefficienti delle incognite,<\/p>\n alle colonne della matrice con le incognite, e<\/p>\n alla matrice colonna con termini indipendenti:<\/p>\n<\/p>\n Quindi la matrice<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 l’incognita dell’equazione della matrice.<\/p>\n Per risolvere questa equazione di matrice, \u00e8 necessario seguire una procedura che non spiegheremo in modo cos\u00ec dettagliato qui. Se vuoi capirlo completamente, puoi dare un’occhiata a come risolvere le equazioni con le matrici<\/a> , dove spieghiamo l’intero processo passo dopo passo.<\/p>\n Questa procedura si basa su una propriet\u00e0 delle matrici inverse: qualsiasi matrice moltiplicata per la sua inversa \u00e8 uguale alla matrice Identit\u00e0 (o Unit\u00e0). Pertanto, la matrice sconosciuta pu\u00f2 essere facilmente risolta<\/p>\n<\/p>\n moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per l’inverso della matrice A: <\/p>\n<\/p>\n E una volta che abbiamo isolato la matrice<\/p>\n<\/p>\n , calcoliamo l’inverso di<\/p>\n e risolviamo il prodotto di matrici: <\/p>\n<\/p>\n La soluzione del sistema di equazioni \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n In questa pagina imparerai cos’\u00e8 e come calcolare l’inversa di una matrice con il metodo dei determinanti (o matrice aggiunta) e con il metodo di Gauss. Vedrai anche tutte le propriet\u00e0 della matrice inversa e troverai anche esempi ed esercizi risolti passo dopo passo per ciascun metodo in modo da comprenderli completamente. Infine, spieghiamo una …<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b32875906f7ed9c10ffd1b09a6ed5e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd42c364eee57f5eada44b8ef06f254a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a003e1fd3042f8cd7ec7d3fe7f286f5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"I\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Quando puoi invertire una matrice e quando no?<\/h2>\n
\n
\n
Invertire una matrice utilizzando il metodo del determinante (o utilizzando la matrice adiacente) <\/h2>\n
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<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fe85ec6c4385daba7d2488b0d60ee2d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80d0312d139244060532c8c78fe6140_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n![\"\\text{Adj}(A)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e87ef954487ce9371eac7dc25f234613_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n![\"\\bm{t}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50d6971192a73f12b183dbddd7c75197_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"formula](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-inverse-adjointe-de-transposee-3.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo del determinante (o matrice aggiunta):<\/h3>\n
\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c37ec4a7afd5b313bcf3c50d6ce26c6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"formula](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-inverse-avec-la-methode-par-determinants-ou-par-la-matrice-adjointe.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-710ccd4e4912dd492b496a742eaf7f56_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9be7ff27e83825750fc7b378f743412f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a_{ij}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41d4a89db3722950dc94351832a1bcd9_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n Esercizi risolti su matrici inverse con il metodo dei determinanti (o della matrice adiacente)<\/h3>\n
Esercizio 1<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 5<\/h4>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n Invertire una matrice utilizzando il metodo di Gauss:<\/h2>\n
Trasformazioni di linea consentite nel metodo gaussiano<\/h3>\n
\n
![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d3f607625afb96bfb250168bd330818_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo di Gauss:<\/h3>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"esercizio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-inverse-par-la-methode-de-gauss-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f51b3a869dde9c1697be9e57fce1548_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rrr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b5442d5c5eac3e62aa7a7cae717e48_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881f9ea3ce2e52ddf332a13aba43bbcf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-537958a51f67c7602ef121fa2c997ca8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8854a556147caefb16a2030e0e5e949a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddd39df6bc92258ba163c65de4fd59f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Esempio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-inverse-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esercizi risolti su matrici inverse con il metodo di Gauss <\/h3>\n
Esercizio 1<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36886e1ab1007f9a53bdc0dd71a0d15b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cbeb2e5edb9eaf9e47efc4cc74b1333_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"esercizio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-de-gauss-inverse-22152.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-247d8605795c43e79b5d7742854cfe6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-173a7bdb55ba058e5ae16d1fd8e91564_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{A^{-1}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98896d28465c9e1402e1c443375d93fe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Propriet\u00e0 della matrice inversa<\/h2>\n
\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n Formula per calcolare rapidamente l’inversa di una matrice 2×2<\/h2>\n
![\"formula](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-matrice-inverse-22152.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"(|A|)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c046b53b17b87e9ca0f447d664754ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Esempio di come ottenere una matrice inversa 2\u00d72 con la formula<\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-599baee27c05b5610a8714363e1260eb_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n Esercizi risolti di matrici inverse 2\u00d72 con la formula<\/h3>\n
Esercizio 1<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8f18178c829fd38360a04a947d52017_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2289d1c5c9aeb87016f719305d900a7_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 4<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-422fcd6f391a2682e4b546c9e9c05b55_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nRisolvere un sistema di equazioni con la matrice inversa<\/h2>\n
\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-200c0f994f86752e7d650621a0d4100f_l3.png\" "\\"Rendered")
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