{"id":67,"date":"2023-09-17T07:20:31","date_gmt":"2023-09-17T07:20:31","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-09-17T07:20:31","modified_gmt":"2023-09-17T07:20:31","slug":"formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Binomio di newton (teorema binomiale)"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 il binomio (o teorema binomiale) di Newton e qual \u00e8 la sua formula. Puoi anche vedere come questo pu\u00f2 essere semplificato con il triangolo di Tartaglia (o Pascal). Inoltre, troverai esercizi risolti passo passo per il binomio di Newton e tutte le sue propriet\u00e0. Infine, spiegheremo le curiosit\u00e0 dietro l&#8217;origine di questo particolarissimo teorema. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-binomio-de-Newton\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 il binomio di Newton? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In matematica, <strong>il binomio di Newton<\/strong> , noto anche come <strong>teorema del binomio<\/strong> , \u00e8 una formula che permette di calcolare facilmente la potenza di un binomio. In altre parole, il binomio di Newton consiste in una formula con la quale si possono <sup>risolvere<\/sup> espressioni algebriche della forma (a+b).<\/p>\n<p> Ovviamente, questo teorema prende il nome dal fisico, matematico e filosofo Sir Isaac Newton. Vi sono tuttavia alcune controversie a questo riguardo poich\u00e9 sono stati ritrovati testi mediorientali in cui questo teorema era gi\u00e0 in uso. Di seguito discuteremo in modo approfondito l&#8217;origine di questa formula matematica. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-del-binomio-de-Newton\"><\/span>La formula binomiale di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come abbiamo visto nella definizione del binomio di Newton, questo teorema viene utilizzato per risolvere le potenze dei binomi. Ma\u2026 come si applica il binomio di Newton? O, in altre parole, qual \u00e8 la formula binomiale di Newton? <\/p>\n<div style=\"background-color:#ffebee;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> La <strong>formula matematica per il binomio di Newton<\/strong> \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8087bb711e716aca4a2c535eaeb8b0bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left( a+b\\right)^n = &amp; \\sum_{k=0}^{n}\\begin{pmatrix} n\\\\ k\\end{pmatrix}a^{n-k}b^k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -22px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> La formula \u00e8 un po&#8217; complessa per comprendere il concetto del binomio di Newton, quindi abbiamo presentato di seguito le potenze dei binomi di grado pi\u00f9 basso in modo che tu possa capirla meglio: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-binomiale-ou-theoreme-de-newton.jpg\" alt=\"formula del teorema binomiale di Newton\" class=\"wp-image-2126\" width=\"578\" height=\"578\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, quando si espande un binomio <strong>, gli esponenti del primo termine (a) diminuiscono<\/strong> mentre <strong>aumentano gli esponenti del secondo termine (b)<\/strong> , cos\u00ec come aumenta l&#8217;elemento inferiore dei numeri combinatori.<\/p>\n<p> Pertanto, per utilizzare il teorema binomiale, \u00e8 necessario sapere risolvere un numero combinatorio, cio\u00e8 l&#8217;espressione algebrica del tipo<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59b5fcabfa89714b1a55cbd237e405ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> . Quindi, prima di esaminare esempi su come calcolare un binomio di Newton, esaminiamo brevemente i numeri combinatori.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Numero-combinatorio\"><\/span> numero combinatorio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Per determinare un <strong>numero combinatorio<\/strong> (o coefficiente binomiale) \u00e8 necessario applicare la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b0b6e9d4f65b3670d26dabb0141b15fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix} = \\cfrac{n!}{k!(n-k)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da0ef996f36e1b32a0f26f6e896e1771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n!\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef344500b3e227ba2eebac8f79f8229a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k!\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Questi sono <strong>numeri fattoriali<\/strong> . Ricordiamo anche che un numero fattoriale si calcola moltiplicando tutti i numeri interi positivi di 1 per detto numero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09df3296b34c0da43f17d367af376ce5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots (n-1) \\cdot n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, troveremo un numero combinatorio in modo da poter vedere come \u00e8 fatto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-619109bf5a34808b1f72ef6799a75482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 4\\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{4!}{3!(4-3)!}=\\cfrac{4!}{3!\\cdot 1!}= \\cfrac{1 \\cdot 2\\cdot 3 \\cdot 4}{(1 \\cdot 2\\cdot 3) \\cdot 1} = \\cfrac{24}{6} = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> I numeri combinatori possono essere determinati anche tramite la calcolatrice con il tasto <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-840c7e15e97f9fa0c5615b063966e20e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\boxed{nCr}.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Esempi di binomi di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che sappiamo cos&#8217;\u00e8 il teorema binomiale, vediamo come applicare la formula binomiale di Newton utilizzando due esempi numerici.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio 1<\/h3>\n<ul>\n<li> Applica il binomio di Newton per calcolare la potenza del seguente binomio:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-765733b5fff1862758f20d820c234683_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+3)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ovviamente, poich\u00e9 questo binomio \u00e8 quadrato, potrebbe essere risolto anche con le formule per le identit\u00e0 notevoli ( <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/identita-prodotti-uguaglianze-notevoli-esercizi-risolti\/\">come risolvere le identit\u00e0 notevoli<\/a><\/span><\/strong> ), ma lo calcoleremo con il teorema del binomio come esempio.<\/p>\n<p> Innanzitutto dobbiamo applicare la formula binomiale di Newton:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo caso n=2, quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e75e12f24582b099635b2287594fbd00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)x^2 \\cdot 3^0 + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^1\\cdot3^1 + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot3^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Guarda bene, all&#8217;inizio eleviamo il primo termine (x) al massimo possibile, che in questo caso \u00e8 2. Invece eleviamo il secondo termine (3) al minimo possibile, che \u00e8 sempre 0. Ma man mano che ci dirigiamo a destra, dobbiamo elevare <strong>il primo termine a un numero inferiore rispetto a prima<\/strong> e <strong>il secondo termine a un numero superiore rispetto a prima.<\/strong><\/p>\n<p> Ora calcoliamo i numeri combinatori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-541c34c91eb3c95f11be4b0e19a9a882_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =1\\cdot x^2\\cdot 3^0 + 2\\cdot x^1\\cdot 3^1 + 1\\cdot x^{0}\\cdot 3^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"334\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolviamo per le potenze:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba9ed22a3248d243b7298f36be657c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =1\\cdot x^2\\cdot 1 + 2\\cdot x\\cdot 3 + 1\\cdot 1\\cdot 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"295\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E infine calcoliamo le moltiplicazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d43c304356e20edd6c9b63e0703a279f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =x^2 + 6x + 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio 2<\/h3>\n<p> Ora risolveremo un problema leggermente pi\u00f9 difficile.<\/p>\n<ul>\n<li> Applica la formula binomiale di Newton per trovare la potenza del seguente binomio:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5466a47ebcb4446937988adabd0c64f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x+1)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La formula per il teorema binomiale \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo caso n=3, quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e55cd40782bdb46907860c3e04c49fbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)(2x)^3 \\cdot 1^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (2x)^{2}\\cdot 1^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (2x)^{1}\\cdot 1^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (2x)^{0}\\cdot 1^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calcoliamo i numeri combinatori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ff5e4d9ee6990d854f22059f7db0d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot (2x)^3 \\cdot 1^0 + 3\\cdot (2x)^{2}\\cdot 1^1 + 3 \\cdot (2x)^{1}\\cdot 1^{2} + 1\\cdot (2x)^{0}\\cdot 1^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora risolviamo le potenze, per questo \u00e8 importante ricordare le seguenti due propriet\u00e0:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> \u2022 Quando un monomio viene elevato ad un esponente, il coefficiente e la variabile vengono elevati allo stesso esponente \u2192<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3426c618ed82b8baf60f97603a2e17f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x)^3=2^3\\cdot x^3 =8\\cdot x^3 =8x^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u2022 Qualsiasi termine portato a 0 d\u00e0 1 \u2192<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdfedc209dec05e7c24c7b35478e795b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x)^0=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Troviamo quindi le potenze attraverso queste 2 propriet\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97b81539ae095cd73e1054b74e5fe5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot 2^3x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot 2^2x^{2}\\cdot 1 + 3 \\cdot 2^1x^{1}\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-825eca438cd77124fb64e987aef09e39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot 8x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot 4x^{2}\\cdot 1 + 3 \\cdot 2x\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"412\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E infine moltiplichiamo i termini: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d666ed4bb3a25b85121e7b8be0e7295e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =8x^3 + 12x^{2}+6x + 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"El-binomio-de-Newton-y-el-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia (o di Pascal).<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come hai visto negli esempi sopra, il calcolo dei numeri combinatori \u00e8 un po\u2019 noioso. Per questo ti insegneremo un trucco per non dover risolvere i numeri combinatori, dato che potrai scoprire direttamente quanto valgono utilizzando il triangolo di Tartaglia, detto anche triangolo di Pascal.<\/p>\n<p> Nel caso non sapessi di cosa si tratta, <strong>il triangolo di Tartaglia<\/strong> , chiamato anche <strong>triangolo di Pascal<\/strong> , \u00e8 una rappresentazione matematica di numeri disposti a forma di triangolo.<\/p>\n<p> Per costruire il triangolo di Tartaglia o Pascal, dobbiamo iniziare dal vertice del triangolo, che \u00e8 sempre un 1, e poi determinare i numeri delle linee sottostanti. Ogni numero nelle righe successive \u00e8 uguale alla somma dei due numeri immediatamente sopra di esso, ad eccezione delle estremit\u00e0 delle righe che sono sempre 1. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-construire-le-triangle-tartaglia-de-pascal.jpg\" alt=\"Newton accoppia 1 scuola superiore online\" class=\"wp-image-1936\" width=\"220\" height=\"288\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Quindi, ciascuno di questi numeri nel triangolo di Tartaglia corrisponde al risultato di un numero combinatorio, guarda la figura seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tirangulo-de-tartaglia-pascal-nombres-combinatoires.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1969\" width=\"538\" height=\"204\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ad esempio, il coefficiente binomiale<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9c97b98e22e9867a562555c1a3db2d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> equivale a 3, perch\u00e9 nel triangolo di Tartaglia c&#8217;\u00e8 un 3 nella sua posizione.<\/p>\n<p> Possiamo quindi utilizzare il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) per risolvere il binomio di Newton molto pi\u00f9 velocemente, poich\u00e9 ci risparmia il calcolo dei numeri combinatori.<\/p>\n<p> Ad esempio, se vogliamo eseguire il seguente potenziamento di un binomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebc694e191c443617943252538d68669_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+5)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Applicando la regola del binomio di Newton otteniamo la seguente espressione algebrica:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c519ee24ca58f3139893d7350189527f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)x^3 \\cdot 5^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 5^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{1}\\cdot 5^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot 5^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"490\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ebbene, invece di calcolare i numeri combinatori uno per uno, possiamo semplicemente sostituire ogni numero combinatorio con il suo corrispondente coefficiente del triangolo di Tartaglia. In questo caso il binomio \u00e8 elevato al 3\u00b0, corrisponde quindi al terzo livello del triangolo: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Tartaglia o triangolo di Pascal e binomio di Newton\" class=\"wp-image-2041\" width=\"319\" height=\"218\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-137ba158b5fc348259d802391c34dfad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =\\color{red} \\bm{1} \\color{black} \\cdot x^3 \\cdot 5^0 + \\color{red} \\bm{3} \\color{black}  \\cdot x^{2}\\cdot 5^1 + \\color{red} \\bm{3} \\color{black} \\cdot x^{1}\\cdot 5^{2} +\\color{red} \\bm{1} \\color{black} \\cdot x^{0}\\cdot 5^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"582\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E ora non ci resta che svolgere le restanti operazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-baa8da36add688734cd5c35e495e6326_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =1 \\cdot x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot  x^{2}\\cdot 5 + 3 \\cdot x\\cdot 25 +1\\cdot 1\\cdot 125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"404\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc2cf49b9bd743a6f47bde4ca0646b39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =x^3+ 15x^2 + 75x +125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) viene utilizzato per calcolare il binomio di Newton in modo pi\u00f9 semplice e veloce, come abbiamo mostrato. Per questo motivo ne consigliamo l&#8217;utilizzo.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per riassumere tutto quello che abbiamo visto finora vi lasciamo con un&#8217;immagine che mostra come appaiono le espressioni dei binomi di Newton con i numeri del triangolo di Tartaglia (o Pascal): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-de-newton-et-triangle-de-pascal-ou-de-tartaglia-2.jpg\" alt=\"Binomio di Newton e triangolo di Pascal o Tartaglia\" class=\"wp-image-2151\" width=\"535\" height=\"379\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Binomio-de-Newton-negativo-potencia-de-una-resta\"><\/span> Binomio di Newton negativo: potenza di sottrazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Finora tutti gli esempi del binomio di Newton che abbiamo risolto sono addizioni. Quando invece uno dei due termini del binomio ha segno negativo la procedura rimane simile ma cambia leggermente.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Quando uno dei termini del binomio \u00e8 negativo, cio\u00e8 \u00e8 una sottrazione del tipo (ab) <sup>n<\/sup> , i segni dell&#8217;espansione del binomio di Newton devono alternarsi nella forma + \u2013 + \u2013 + \u2013 + \u2013 \u2026<\/p>\n<p> Di seguito abbiamo sviluppato le potenze dei binomi negativi dei primi 5 gradi con il teorema del binomio e con i coefficienti del triangolo di Tartaglia gi\u00e0 in atto, in modo che tu possa trovare direttamente l&#8217;espressione binomiale che ti serve: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/puissance-binomiale-newton-negative-dune-soustraction-2.jpg\" alt=\"Potenza binomiale negativa di Newton di una sottrazione 2\" class=\"wp-image-2147\" width=\"525\" height=\"387\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Propriet\u00e0 del binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Le espressioni binomiali di Newton hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> La scomposizione del binomio di Newton d\u00e0 sempre come risultato un termine in pi\u00f9 rispetto al grado del binomio. O in altre parole, per la coppia\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cb070eb92ff2ce3199cbbf72ab6122_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sono colpiti<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d72f4e3699652cfc70b8880515893d7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> termini.<\/li>\n<li> I poteri dell&#8217;elemento\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Iniziare con<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e diminuiscono fino a raggiungere lo 0 nell&#8217;ultimo trimestre.<\/li>\n<li> I poteri dell&#8217;elemento\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> vanno nella direzione opposta: iniziano da 0 e aumentano fino a raggiungere<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nell&#8217;ultimo termine.<\/li>\n<li> Per ogni elemento del binomio di Newton, la somma degli esponenti di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 uguale a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ecab3f5df4767e23a2660ceb88ceabd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li> Il coefficiente del primo termine dell&#8217;espressione binomiale di Newton \u00e8 sempre 1 (positivo) e il secondo coefficiente \u00e8 equivalente all&#8217;esponente del binomio (positivo o negativo). <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Calcular-el-termino-k-esimo-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Calcola il kesimo termine del binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sebbene ci\u00f2 sia insolito, a volte possiamo incontrare problemi in cui, invece di eseguire l&#8217;espansione binomiale di Newton, ci viene chiesto di determinare il termine k-esimo del binomio di Newton, cio\u00e8 il termine che occupa la posizione k.<\/p>\n<p> Quindi, per calcolare il termine che occupa il posto k nel binomio di Newton, dobbiamo utilizzare una formula, che dipende dal fatto che il binomio sia un&#8217;addizione o una sottrazione:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se il binomio di Newton \u00e8 positivo, il valore del termine k-esimo si calcola con la seguente formula:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-935aea7ee9ad482a391d2383ce37721b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\color{black} \\quad T_k = \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1}b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se il binomio di Newton \u00e8 negativo, il valore del termine k-esimo si determina con la seguente formula:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e47024f65b665936296385eae56276af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^n \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\color{black} \\quad T_k = (-1)^{k-1} \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1} b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"454\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, troveremo il quarto termine del seguente binomio di grado 5:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c380d61c29b21a0e902b38e390bab73b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+3)^5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Trattandosi di un binomio composto da una somma, applichiamo la prima formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88faab054915aad2321276aca8b42244_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_k = \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1}b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sostituiamo le variabili nella formula con i loro valori corrispondenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3b33ca71b5d419c83bb4c5c4b399a69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 4-1 \\end{pmatrix} x^{5-4+1}\\cdot 3^{4-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E facciamo le operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dbb0f95e11df6bb989c1a296d168d06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 3^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d566482a87af0eea361c2d7fb816376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = 10 \\cdot x^{2}\\cdot 27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9159bbe88a83e38918e8b26354c51db4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = 270 x^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E in questo modo abbiamo calcolato il quarto termine dell&#8217;espansione binomiale di Newton senza bisogno di calcolare tutti gli altri termini. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Esercizi risolti per il binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che abbiamo spiegato cos&#8217;\u00e8 il teorema del binomio, ti lasciamo con diversi esercizi risolti passo dopo passo sul binomio di Newton in modo che tu possa esercitarti. Ricorda inoltre che puoi lasciarci qualsiasi domanda o suggerimento nei commenti.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Espandi la seguente potenza binomiale usando il teorema binomiale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a303d8317c1cf803d486406be48ca672_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+4)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Usiamo innanzitutto la formula binomiale di Newton:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34471d980abe3399791b053ae6b92949_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+4\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} x^3 \\cdot 4^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 4^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{1}\\cdot 4^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot 4^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"490\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 il binomio \u00e8 elevato alla potenza di 3, guardiamo il terzo livello del triangolo di Tartaglia per trovare direttamente i numeri combinatori: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Esercizi sul teorema del binomio di Newton risolti passo passo 1 liceo\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a4212d723eba76e9d883827da60cbfb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+4)^3 =  1\\cdot x^3 \\cdot 4^0+3 \\cdot x^2 \\cdot 4^1 + 3 \\cdot x^1 \\cdot 4^2+1 \\cdot x^0 \\cdot 4^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"425\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eseguiamo i poteri:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f263aaef5f957165f9d251d4d129038a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot x^3 \\cdot 1 + 3 \\cdot x^2 \\cdot 4+ 3 \\cdot x \\cdot 16 +1 \\cdot 1 \\cdot 64\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine moltiplichiamo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dce7abd76ef03c986508c67f59ed4065_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3  + 3x^2 \\cdot 4 + 3 x \\cdot 16 + 64\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0e5d024d22382b1b37a5123547bca3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x^3  + 12x^2  + 48 x + 64}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Calcola la seguente potenza con la formula binomiale di Newton: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a2d15ee45a0d9497294d2d4c96b59c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3x+2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa applichiamo la formula binomiale di Newton:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11acde04483aaa747da0acd16b4912f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\left(3x+2\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (3x)^3 \\cdot 2^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (3x)^{2}\\cdot 2^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (3x)^{1}\\cdot 2^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (3x)^{0}\\cdot 2^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 il binomio \u00e8 al cubo, guardiamo il terzo livello del triangolo di Pascal per conoscere direttamente i valori dei numeri combinatori: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Esercizi sul teorema del binomio di Newton risolti passo passo 1 liceo\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9086d7be80cd0ba60f0733f2c3a6d042_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(3x+2\\right)^3 =  1\\cdot  (3x)^3 \\cdot 2^0+3 \\cdot (3x)^2 \\cdot 2^1+ 3 \\cdot (3x)^1 \\cdot 2^2+1 \\cdot (3x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Calcoliamo le potenze dei monomi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2db17751cff5427aa6a3f5da817ba4d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  27x^3 \\cdot 1+ 3 \\cdot 9x^2 \\cdot 2+3 \\cdot 3x \\cdot 4 + 1 \\cdot 1 \\cdot 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine facciamo le moltiplicazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92736e691facfdd97f2107b4451b5d07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"27x^3  + 27x^2 \\cdot 2 +9x \\cdot 4+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-498bf09ef09e1b2585a5a01193eb94d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{27x^3  + 54x^2  +36x+8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Espandi la seguente espressione polinomiale utilizzando la formula binomiale di Newton: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad4da49317f5a667d4f0402b064911cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa utilizziamo la formula binomiale di Newton. Ma poich\u00e9 abbiamo una sottrazione all&#8217;interno delle parentesi, dobbiamo alternare i segni dei coefficienti di ciascun termine:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6515c9dadfa92cfcc27393786b322d8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3=\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (2x)^3 \\cdot 2^0-\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (2x)^2 \\cdot 2^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (2x)^1 \\cdot 2^2-\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (2x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 il binomio \u00e8 elevato alla potenza di tre, guardiamo il terzo livello del triangolo di Tartaglia per calcolare direttamente i numeri combinatori: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Esercizi sul teorema del binomio di Newton risolti passo passo 1 liceo\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d6210b9c330fe976b32741ba8d94682_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3=1\\cdot  (2x)^3 \\cdot 2^0-3 \\cdot (2x)^2 \\cdot 2^1 + 3 \\cdot (2x)^1 \\cdot 2^2-1 \\cdot (2x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eseguiamo i poteri:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25d9bc802e8f03513de309b82066a983_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  8x^3 \\cdot 1- 3 \\cdot 4 x^2 \\cdot 2+ 3 \\cdot 2x \\cdot 4-1 \\cdot 1 \\cdot 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E risolviamo le moltiplicazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534981aec0ef30054d35f3dd9d9779d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3  - 12 x^2 \\cdot 2 +6x \\cdot 4 -8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be12e609798d32d7b7c84bae80e04236_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{8x^3  -24 x^2  +24x -8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Trova l&#8217;espressione estesa del seguente binomio di Newton con la formula: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fc4cfe6afa91b302683d9891d785376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(4x-3y)^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dobbiamo applicare la formula generale del binomio di Newton, ma poich\u00e9 in questo caso abbiamo una sottrazione tra parentesi, dobbiamo alternare i segni di ciascun termine:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a8620bd23846e1f98f7646cbd51dbc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}(4x-3y)^4 = &amp; \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (4x)^4 \\cdot (3y)^0-\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (4x)^3 \\cdot (3y)^1+\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\cdot (4x)^2 \\cdot (3y)^2 - \\\\[2ex] &amp; - \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\end{pmatrix}(4x)^1 \\cdot (3y)^3+\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\end{pmatrix}  (4x)^0 \\cdot (3y)^4 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"109\" width=\"560\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 il binomio \u00e8 elevato alla quarta, guardiamo al livello 4 del triangolo di Tartaglia per trovare direttamente i numeri combinatori: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tirangulo-de-tartaglia-o-pascal-niveau-4.png\" alt=\"Piramide binomiale di Newton\" class=\"wp-image-2100\" width=\"296\" height=\"232\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-128e8baa45ddd7d74703c9dfd4a19b06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}(4x-3y)^4= &amp; \\ 1\\cdot  (4x)^4 \\cdot (3y)^0-4\\cdot  (4x)^3 \\cdot (3y)^1+6 \\cdot (4x)^2 \\cdot (3y)^2 - \\\\[2ex] &amp; - 4 \\cdot (4x)^1 \\cdot (3y)^3+1 \\cdot (4x)^0 \\cdot (3y)^4 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"504\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Realizziamo tutti i poteri:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f41577a79066a849e23154b5f55ac638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  256x^4 \\cdot 1-4\\cdot  64x^3 \\cdot 3y+6 \\cdot 16x^2 \\cdot 9y^2 - 4 \\cdot 4x \\cdot 27y^3+1 \\cdot 1 \\cdot 81y^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"523\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E, infine, risolviamo le moltiplicazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7790f8c6efcfc885ef79fcecdf89f2af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"256x^4-256x^3 \\cdot 3y+96x^2 \\cdot 9y^2 - 16x \\cdot 27y^3+81y^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"390\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c9e770e98c445da768bb1371975d48e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{256x^4-768x^3y+864x^2y^2-432xy^3+81y^4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"334\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Determinare il settimo termine nello sviluppo della seguente espressione binomiale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c76089bd0d5d4f499a0101d91669d461_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-5y)^{10}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Trattandosi di un binomio negativo, dobbiamo utilizzare la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f27311f76b6e99443d595efdc42e2286_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_k = (-1)^{k-1} \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1} b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Vogliamo determinare il termine 7 e si eleva il binomio alla potenza di 10, quindi sostituendo i valori nella formula diventa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65c821f4542af0fe95536ee191c7d430_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_7= (-1)^{7-1} \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 7-1 \\end{pmatrix} (2x)^{10-7+1} \\cdot (5y)^{7-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"326\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Basta quindi operare per conoscere il termine: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ded0622cbba2bff0563c2f9982c05142_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} T_7 &amp; = (-1)^{6} \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 6 \\end{pmatrix} (2x)^{4} \\cdot (5y)^{6} \\\\[2ex] &amp; = 1 \\cdot 210\\cdot  16x^4 \\cdot 15625y^6 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{52500000x^4y^6} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"228\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Historia-del-Binomio-de-Newton\"><\/span> Storia del binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sebbene l&#8217;origine del teorema del binomio sia attribuita al famoso scienziato inglese Isaac Newton (1642-1727), in realt\u00e0 la prima formulazione del teorema fu scoperta per la prima volta dall&#8217;ingegnere persiano Al-Karij\u00ed intorno all&#8217;anno 1000 E si scopr\u00ec addirittura che nel XIII secolo i matematici cinesi Yang Hui e Chuh Shih-Chieh conoscevano gi\u00e0 espansioni binomiali di piccoli gradi.<\/p>\n<p> Pi\u00f9 tardi, nel XVII secolo, Newton costru\u00ec sulle basi gettate dai matematici precedenti per estendere il teorema binomiale. Usando i metodi di interpolazione ed estrapolazione del matematico John Walls e i concetti di esponente generalizzato, riusc\u00ec a trasformare un&#8217;espressione polinomiale in una serie infinita.<\/p>\n<p> Intorno al 1665 Newton riusc\u00ec a dimostrare che l&#8217;esponente n del teorema binomiale pu\u00f2 essere anche un esponente razionale, vale a dire che la potenza di un binomio pu\u00f2 essere risolta anche se l&#8217;esponente \u00e8 una frazione. D\u2019altronde ci\u00f2 \u00e8 stato dimostrato anche nel caso di esponente negativo. E, sorprendentemente, ha scoperto che gli sviluppi delle due espressioni sono serie infinite di termini.<\/p>\n<p> Fu con questa scoperta che Newton cominci\u00f2 a mettere in discussione la relazione tra serie infinite ed espressioni polinomiali finite, e dedusse che matematicamente le operazioni possono essere eseguite con serie infinite allo stesso modo delle espressioni polinomiali finite. Sebbene Newton non pubblic\u00f2 mai questo teorema, John Walls alla fine lo fece nel 1685, attribuendo a Newton questa scoperta.<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 il binomio (o teorema binomiale) di Newton e qual \u00e8 la sua formula. Puoi anche vedere come questo pu\u00f2 essere semplificato con il triangolo di Tartaglia (o Pascal). Inoltre, troverai esercizi risolti passo passo per il binomio di Newton e tutte le sue propriet\u00e0. Infine, spiegheremo le &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Binomio di newton (teorema binomiale)<\/span> Leggi altro 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