{"id":65,"date":"2023-09-17T07:21:34","date_gmt":"2023-09-17T07:21:34","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-dei-coefficienti-binomiali-dei-numeri-combinatori\/"},"modified":"2023-09-17T07:21:34","modified_gmt":"2023-09-17T07:21:34","slug":"proprieta-dei-coefficienti-binomiali-dei-numeri-combinatori","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-dei-coefficienti-binomiali-dei-numeri-combinatori\/","title":{"rendered":"Numero combinatorio (o coefficiente binomiale)"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 un numero combinatorio e come si calcola (formula). Inoltre, potrai vedere esempi di come calcolare qualsiasi numero combinatorio ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo. Mostriamo anche tutte le propriet\u00e0 e le applicazioni dei numeri combinatori. E infine, impariamo a trovare il risultato di un numero combinatorio direttamente con la calcolatrice. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-un-numero-combinatorio\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 un numero combinatorio? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In matematica il <strong>numero combinatorio<\/strong> , detto anche coefficiente binomiale, \u00e8 il numero di combinazioni ordinarie (combinazioni senza ripetizione) di gruppi di k elementi che si possono formare da un insieme di n elementi (n&gt;k).<\/p>\n<p> Un numero combinatorio \u00e8 espresso tra parentesi come segue:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-454ae3a63c42e51753f5b4cb18a4b4b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, il numero combinatorio viene letto <em>n<\/em> su <em>k<\/em> . Allo stesso modo, <em>n<\/em> \u00e8 chiamato numeratore e <em>k<\/em> \u00e8 chiamato ordine.<\/p>\n<p> Proprio con la definizione di numero combinatorio \u00e8 difficile comprenderne il significato. Tuttavia, vedremo ora come viene determinato matematicamente il numero combinatorio, e poi approfondiremo questo concetto di combinatoria. Vedrai che cos\u00ec lo capirai meglio. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-del-numero-combinatorio\"><\/span> Formula dei numeri combinatori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La formula per calcolare il valore di un numero combinatorio (o coefficiente binomiale) \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-nombre-combinatoire.png\" alt=\"formula numerica combinatoria\" class=\"wp-image-1780\" width=\"184\" height=\"185\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ricorda che in algebra il punto esclamativo corrisponde al fattoriale di un numero. E per trovare il fattoriale di un numero, devi moltiplicare tutti i numeri interi positivi di 1 per quel numero. Ad esempio, per calcolare il fattoriale del numero 4 devi moltiplicare 1, 2, 3 e 4:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-092a0b9aa93c1211bc61b5b34844a3fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4! = 1\\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 =24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"153\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c8 anche importante sapere che il fattoriale di 0 \u00e8 uguale a 1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-255b29d39824041f4d334887daa9d55d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0! = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplo-de-como-calcular-un-numero-combinatorio\"><\/span> Esempio di calcolo di un numero combinatorio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Successivamente, determineremo passo dopo passo il valore di un numero combinatorio come esempio, cos\u00ec potrai vedere come \u00e8 fatto:<\/p>\n<ul>\n<li> Calcola il valore del numero combinatorio 5 su 3.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Il coefficiente binomiale di 5 su 3 corrisponde alla seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdcbd05befcedad2d69b8388a30fa5ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, se applichiamo la formula dei numeri combinatori, per determinarne il valore dobbiamo eseguire le seguenti operazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d1d3925d89289554a4a5cea934b1e01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{5!}{3!(5-3)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dccfbf9704a343dfff5e3b7999c3891_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{5!}{3!\\cdot 2!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Troviamo quindi i fattoriali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00345c4e6c1e39974bfae029047f40de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{1\\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5}{(1\\cdot 2 \\cdot 3) \\cdot (1\\cdot 2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La moltiplicazione 1\u00b72\u00b73 viene ripetuta al numeratore e al denominatore, quindi la frazione pu\u00f2 essere semplificata eliminando questo fattore:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-652f38c698238fcd311eb1d8c9367182_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3} \\cdot 4 \\cdot 5}{(\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3)} \\cdot (1\\cdot 2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-454d692c958dbf69b0e1118f2f21982b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{ 4 \\cdot 5}{1\\cdot 2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Adesso calcoliamo i prodotti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8ac93ab4573c69daa96709c15dbb84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{20}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ed infine facciamo la divisione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33b8f9d85113910811bd3491bd16f5a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\bm{10}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-numero-combinatorio\"><\/span> Propriet\u00e0 del numero combinatorio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> I numeri combinatori, o coefficienti binomiali, possono essere combinati secondo le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Due <strong>numeri combinatori complementari<\/strong> sono quelli che hanno lo stesso numeratore <em>n<\/em> e la somma dei loro ordini \u00e8 equivalente a detto numeratore. Pertanto, il risultato di due numeri combinatori complementari \u00e8 identico.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8b93e5c1a92342922857dffd5ccbc61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}n \\\\ n-k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questa caratteristica dei numeri combinatori \u00e8 anche chiamata identit\u00e0 di simmetria.<\/p>\n<p> Ad esempio, 6 su 4 d\u00e0 lo stesso risultato di 6 su 2, perch\u00e9 6-4=2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ad5997be8c69d9c99d4b72404feea1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6 \\\\ 4 \\end{pmatrix} =\\cfrac{6!}{4!(6-4)!}  = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4}\\cdot 5 \\cdot 6}{(\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4})\\cdot (1\\cdot 2)}= \\cfrac{30}{2} = \\bm{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a30e46edb6ddcddccd5887cecd3d1c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6 \\\\ 2 \\end{pmatrix} =\\cfrac{6!}{2!(6-2)!} = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4}\\cdot 5 \\cdot 6}{(1\\cdot 2)\\cdot (\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4})}= \\cfrac{30}{2} = \\bm{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">La somma di due numeri combinatori con lo stesso numeratore e ordini successivi \u00e8 uguale a un altro numero combinatorio il cui numeratore \u00e8 equivalente al numeratore delle addizioni pi\u00f9 1 e il cui ordine corrisponde al valore massimo degli ordini delle addizioni. In altre parole, \u00e8 sempre soddisfatta la seguente condizione:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4265b42b3140a5bf8d8d8e6b74b925_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}n\\\\ k+1 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}n+1\\\\ k+1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-952934807b87f5983dc91ed1cdc3241a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}9\\\\ 2 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}9\\\\ 3 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}10\\\\ 3 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questa propriet\u00e0 \u00e8 conosciuta anche come regola di Pascal.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, questa formula pu\u00f2 essere applicata anche al contrario per scomporre un numero combinatorio in due numeri combinatori pi\u00f9 semplici:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19cb7f9861c61d17e79fb65e0dfee9af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}n-1\\\\ k-1 \\end{pmatrix}+ \\begin{pmatrix}n-1\\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, il numero combinatorio 8 su 4 \u00e8 uguale a 7 su 3 pi\u00f9 7 su 4:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d6d42f8d7c9b4ba8dec3c27029b30f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}8\\\\ 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}7\\\\ 3 \\end{pmatrix}+ \\begin{pmatrix}7\\\\ 4 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Qualsiasi numero positivo maggiore di 1 \u00e8 uguale al numero stesso.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50693630bdb11a333371c37fa023d5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 1 \\end{pmatrix} =n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La ragione di questa propriet\u00e0 \u00e8 che il fattoriale di un numero \u00e8 uguale al fattoriale del numero precedente moltiplicato per il numero stesso:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-538fd046daf5726856948bbed0bc1b2c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ 1 \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{1!(n-1)!} = \\cfrac{n\\cdot (n-1) \\cdot (n-2)\\cdots 1}{(n-1) \\cdot (n-2)\\cdots 1}= n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"375\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Esempi di questo tipo di numeri combinatori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48a62f11350db57d4ffc7cc3b4169a4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}12\\\\ 1 \\end{pmatrix} =12 \\qquad  \\begin{pmatrix}5\\\\ 1 \\end{pmatrix} =5  \\qquad \\begin{pmatrix}9\\\\ 1 \\end{pmatrix} =9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"294\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Qualsiasi numero positivo maggiore di 0 \u00e8 uguale a uno.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00194e1abf490a12e203ed5e8797c7f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infatti, il denominatore della frazione di tale numero combinatorio sar\u00e0 sempre uguale al numeratore della frazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffcbe8b8aab8ef3a6a6288df9fcd9147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 0 \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{0!(n-0)!} =\\cfrac{n!}{n!} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Esempi di numeri combinatori come questo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37cec31b317b48dc0080810360941f4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}2\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}23\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Ogni numero su se stesso \u00e8 uguale a 1.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eb1cfb501b54a435a581adc68c2f2f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ n \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ecco la demo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce41f441169a0f1098f900d74b03b38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ n \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{n!(n-n)!} =\\cfrac{n!}{n!\\cdot 0!}= \\cfrac{n!}{n!} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Esempi di numeri combinatori come questo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-341fc99ef910038cf53561a9b6680f70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5\\\\ 5 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}37\\\\ 37 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}14\\\\ 14 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"293\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-calcular-un-numero-combinatorio-con-la-calculadora\"><\/span> Come calcolare un numero combinatorio con la calcolatrice<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Finora abbiamo visto come trovare un numero combinatorio di numeri pi\u00f9 o meno semplici, ma quando dobbiamo operare con quantit\u00e0 molto grandi \u00e8 meglio utilizzare la calcolatrice per determinare il numero combinatorio. Vedremo ora come inserire un numero combinatorio nella calcolatrice.<\/p>\n<p> Quindi, la chiave utilizzata per calcolare un numero combinatorio con la calcolatrice \u00e8 la <strong>chiave nCr<\/strong> . E per determinare il valore del numero combinatorio, devi prima inserire il numeratore del numero combinatorio, poi premere il tasto nCr, quindi inserire l&#8217;ordine del numero combinatorio e infine premere il tasto uguale.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0415dd33a2b02d34f25b3ce7ed9eb5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix}\\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} n \\rightarrow \\boxed{nCr} \\rightarrow k \\rightarrow \\boxed{=}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sulle calcolatrici scientifiche CASIO, il tasto nCr solitamente ha un proprio pulsante o si trova sopra il pulsante di divisione, a seconda del modello.<\/p>\n<p> Ad esempio, se vogliamo sapere qual \u00e8 il numero combinatorio 10 su 6, dobbiamo eseguire la seguente sequenza: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2644b485893664160985bcfdbea173c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix}\\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} 10 \\rightarrow \\boxed{nCr} \\rightarrow 6 \\rightarrow \\boxed{=} \\rightarrow 210\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicaciones-del-numero-combinatorio\"><\/span> Applicazioni del numero combinatorio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Se sei arrivato fin qui, probabilmente sai gi\u00e0 come risolvere qualsiasi numero combinatorio, perfetto. Ma\u2026 a cosa serve il numero combinatorio? Bene, allora vedremo tutti i vantaggi che questo tipo di operazione molto particolare presenta.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Combinatoria\"><\/span> Combinatoria<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Come abbiamo visto in cima alla pagina, il risultato di un numero combinatorio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72853e95c6b133307a284ae9da39d7d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> rappresenta il numero di possibili gruppi di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> elementi che possono essere formati da un insieme di un totale di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> elementi.<\/p>\n<p> Pertanto, alcuni problemi combinatori possono essere risolti utilizzando numeri combinatori (o coefficienti binomiali). Vediamo come farlo utilizzando un esempio:<\/p>\n<ul>\n<li> In una classe di 30 studenti, vogliamo scegliere un gruppo di 4 studenti per svolgere determinati compiti. Qual \u00e8 il numero totale di gruppi diversi che possono essere formati?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In questo caso l&#8217;ordine degli studenti non ha importanza, lo stesso studente non si ripete due volte all&#8217;interno del gruppo e non tutti gli studenti entrano nel gruppo. Pertanto, la formula del numero combinatorio pu\u00f2 essere utilizzata per determinare in quanti modi pu\u00f2 essere formato il gruppo.<\/p>\n<p> Per fare questo devi calcolare il numero combinatorio avendo come numeratore il numero totale degli studenti e come ordine il numero degli studenti che formeranno il gruppo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11eac1a8918444a100bca85bfbd6e701_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}30 \\\\ 4 \\end{pmatrix} =\\cfrac{30!}{4!(30-4)!} =\\cfrac{30\\cdot 29 \\cdot 28 \\cdot 27 \\cdot \\cancel{26!}}{4\\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\cdot \\cancel{26!}} = \\cfrac{657720}{24}=\\bm{27405}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"464\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il numero totale di combinazioni possibili \u00e8 quindi di 27.405 gruppi.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Binomio-de-Newton\"><\/span> Il binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Un&#8217;altra applicazione dei numeri combinatori \u00e8 il binomio di Newton. Il binomio di Newton \u00e8 un polinomio composto da due termini elevati insieme a numero intero, vale a dire che il binomio di Newton \u00e8 quel polinomio che risponde alla seguente espressione algebrica:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cb070eb92ff2ce3199cbbf72ab6122_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ovviamente, se il binomio \u00e8 quadrato, significa che si tratta di <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/identita-prodotti-uguaglianze-notevoli-esercizi-risolti\/\">un&#8217;identit\u00e0 notevole<\/a><\/span><\/strong> e, quindi, pu\u00f2 essere facilmente calcolata con la formula corrispondente. Quando invece il binomio viene elevato a numeri grandi, il calcolo diventa piuttosto difficile. Ebbene, il teorema binomiale di Newton dice che questi tipi di polinomi possono essere calcolati molto facilmente da numeri combinatori.<\/p>\n<p> Clicca il seguente link e scopri cos&#8217;\u00e8 <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti\/\">la formula binomiale di Newton<\/a><\/span><\/strong> e come viene calcolata. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo. E infine scoprirai la curiosa storia di questo teorema. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Triangolo di Tartaglia (o di Pascal).<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Come hai visto in questo articolo, calcolare manualmente il coefficiente binomiale di grandi numeri pu\u00f2 essere laborioso e complicato.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, con il triangolo di Tartaglia, detto anche triangolo di Pascal, tutti i numeri combinatori possono essere facilmente determinati utilizzando una regola mnemonica. Questo \u00e8 logicamente molto utile poich\u00e9 fa risparmiare molto tempo durante i calcoli.<\/p>\n<p> Per scoprire esattamente come farlo, vedere la spiegazione <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/tartaglia-o-triangolo-di-pascal\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">del triangolo di Tartaglia<\/span><\/strong><\/a> . In questa pagina collegata scoprirai cos&#8217;\u00e8 questo misterioso triangolo, a cosa serve (ha applicazioni sorprendenti) \ud83d\ude2e e qual \u00e8 la sua origine (era usato gi\u00e0 pi\u00f9 di 1000 anni fa). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-de-numeros-combinatorios\"><\/span> Esercizi sui numeri combinatori risolti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa esercitarti e comprendere appieno i concetti spiegati, ti lasciamo diversi esercizi risolti passo dopo passo sui numeri combinatori.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Trova il numero combinatorio 9 per 5 (senza usare la calcolatrice). <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare il valore del numero combinatorio 9 su 5 applichiamo semplicemente la formula fattoriale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e2bb8cd51adb05d2cbc2299f179ed44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}9 \\\\ 5 \\end{pmatrix} =\\cfrac{9!}{5!(9-5)!} = \\cfrac{9\\cdot 8 \\cdot 7\\cdot 6\\cdot \\cancel{5!}}{\\cancel{5!} \\cdot (4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1)}= \\cfrac{3024}{24} = \\bm{126}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"381\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Qual \u00e8 il risultato della seguente somma di due numeri combinatori? (senza calcolatrice) <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32e3c53635693ea4e1648d7d0a12288c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}10\\\\ 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dalle propriet\u00e0 dei numeri combinatori segue che la somma del problema \u00e8 uguale al seguente numero combinatorio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22963c45606c26da0bcb662a5534f1b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}10\\\\ 7 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}11\\\\ 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto \u00e8 sufficiente calcolare il numero combinatorio 11 su 7: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d56c6d97bd8761d053d98039fc064652_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}11 \\\\ 7 \\end{pmatrix} =\\cfrac{11!}{7!(11-7)!} = \\cfrac{11\\cdot 10 \\cdot 9\\cdot 8 \\cdot \\cancel{7!}}{\\cancel{7!} \\cdot (4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1)}= \\cfrac{7920}{24} = \\bm{330}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"403\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti numeri combinatori sono uguali: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be04129d96ae292a529d8bd986bc31f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} \\qquad  \\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix}\\qquad  \\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare il risultato dei tre numeri combinatori non \u00e8 necessario usare la calcolatrice, ma si possono trovare facilmente grazie alle propriet\u00e0 dei numeri combinatori.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Innanzitutto, un numero combinatorio di qualsiasi numero maggiore di 0 d\u00e0 1. Pertanto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fda7c6f2f56556c6af74bde199613037_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> D&#8217;altra parte qualsiasi numero maggiore di uno \u00e8 uguale al numero stesso. Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e60628beab23d09954027294de2fabf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix} =6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, qualsiasi numero combinatorio formato dallo stesso numero ripetuto due volte equivale a 1. Quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-659cabb0351db5bf4148f2b2c0f536f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In conclusione, il primo e il terzo numero combinatorio nel problema sono uguali, tuttavia sono diversi dal numero combinatorio medio. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18528223523fe6672b927769a53ef7ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix}\\neq \\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 un numero combinatorio e come si calcola (formula). 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