{"id":60,"date":"2023-09-17T07:24:22","date_gmt":"2023-09-17T07:24:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/fattorizzazione-di-polinomi-esempi-ed-esercizi-risolti-fattorizzazione\/"},"modified":"2023-09-17T07:24:22","modified_gmt":"2023-09-17T07:24:22","slug":"fattorizzazione-di-polinomi-esempi-ed-esercizi-risolti-fattorizzazione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/fattorizzazione-di-polinomi-esempi-ed-esercizi-risolti-fattorizzazione\/","title":{"rendered":"Come fattorizzare i polinomi (fattorizzazione polinomiale)"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo come fattorizzare qualsiasi tipo di polinomio. Vedremo prima come fattorizzare un polinomio con la regola di Ruffini, poi passeremo a come si fattorizzano i polinomi senza termine indipendente, quindi analizzeremo le fattorizzazioni dei polinomi radice con frazioni e, infine, i casi particolari di fattorizzazioni (notevoli identit\u00e0, fattorizzazione per raggruppamenti, trinomi, ecc.). Tutte le spiegazioni sono fatte con esempi e, inoltre, alla fine potrai esercitarti con gli esercizi risolti passo dopo passo per fattorizzare i polinomi. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-la-factorizacion-de-polinomios\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 la fattorizzazione polinomiale?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>La fattorizzazione polinomiale \u00e8 una tecnica utilizzata in matematica per scomporre un polinomio nel prodotto di fattori.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorisation-de-polynomes-factorisation.png\" alt=\"fattorizzazione dei polinomi (fattorizzazione dei polinomi)\" class=\"wp-image-1177\" width=\"196\" height=\"197\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> La fattorizzazione dei polinomi \u00e8 molto utile perch\u00e9 \u00e8 pi\u00f9 semplice eseguire operazioni con i polinomi fattorizzati.<\/p>\n<p> Ora che sappiamo cos&#8217;\u00e8 la fattorizzazione polinomiale, vediamo come vengono fattorizzati i polinomi. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-factorizar-polinomios-con-la-regla-de-Ruffini\"><\/span> Come fattorizzare i polinomi con la regola di Ruffini<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ovviamente, per capire come scomporre un polinomio con la regola di Ruffini, bisogna prima saper <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/regole-risolte-esempi-esercizi-ruffini\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">applicare la regola di Ruffini<\/span><\/strong><\/a> . Quindi ti lasciamo questo link nel caso in cui desideri prima rivedere come appariva la procedura.<\/p>\n<p> Per <strong>fattorizzare un polinomio<\/strong> \u00e8 necessario seguire i seguenti passaggi:<\/p>\n<ol style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Le radici del polinomio si calcolano secondo la regola di Ruffini.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Ogni radice trovata di tipo x=a \u00e8 espressa sotto forma di un fattore (xa).<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Il polinomio fattorizzato \u00e8 il prodotto di tutti i fattori trovati moltiplicato per il coefficiente del termine di grado pi\u00f9 alto del polinomio non ponderato.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa vedere come si fa e comprendere meglio la procedura per fattorizzare i polinomi, di seguito troverai un esempio concreto spiegato passo dopo passo:<\/p>\n<ul>\n<li> Fattorizza il seguente polinomio: <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/polynome-non-factorise-2.jpg\" alt=\"polinomio non pesato\" class=\"wp-image-1221\" width=\"262\" height=\"31\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> La prima cosa da fare \u00e8 calcolare le radici o gli zeri del polinomio. Per fare ci\u00f2 dobbiamo trovare i <strong>divisori del termine indipendente del polinomio<\/strong> , che in questo caso sono \u00b11, \u00b12 e \u00b14. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorisation-de-polynomes-pdf-2.jpg\" alt=\"fattorizzazione dei polinomi pdf\" class=\"wp-image-1222\" width=\"383\" height=\"133\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ora sappiamo, grazie al teorema del resto e dei fattori, che se il resto della divisione del polinomio per uno di questi valori \u00e8 uguale a 0, ci\u00f2 significa che detto valore \u00e8 una radice del polinomio.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Dobbiamo quindi dividere il polinomio per ciascuno dei divisori del termine indipendente con la regola di Ruffini e vedere in quali casi il resto \u00e8 zero.<\/p>\n<p> Ad esempio, iniziamo applicando la regola di Ruffini con <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fc5c5d38d0edca51c40a0f9db16d55f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorisation-de-polynomes-avec-la-regle-de-ruffini.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1227\" width=\"315\" height=\"140\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> In questo caso, il resto (o residuo) della divisione \u00e8 zero, quindi<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00c8 una radice del polinomio. \u2705<\/p>\n<p> Perfetto, abbiamo gi\u00e0 una radice del polinomio, non resta che determinare le altre radici rimanenti. Per fare ci\u00f2 utilizziamo, ad esempio, la regola di Ruffini con un altro divisore del termine indipendente<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6de4e73609a66312d9714a253f9ae3a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-1.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"61\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Inoltre, non \u00e8 necessario utilizzare il metodo di Ruffini con il polinomio intero, ma possiamo continuare da dove avevamo interrotto nel passaggio precedente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorisation-des-polynomes-pas-a-pas.jpg\" alt=\"polinomi fattoriali passo dopo passo\" class=\"wp-image-1225\" width=\"259\" height=\"221\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Tuttavia, in questo caso, quando si divide per<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad143a0d979362a51b48a48c9ca9f59e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> il resto ottenuto \u00e8 diverso da 0, quindi<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad143a0d979362a51b48a48c9ca9f59e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Non \u00e8 una radice del polinomio. \u274c<\/p>\n<p> Dobbiamo quindi provare un altro valore, con cui ad esempio facciamo la regola Ruffini <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-feebbb5a0ef01c12d307ae7005579405_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+2:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-les-polynomes-pas-a-pas.jpg\" alt=\"polinomi fattoriali passo dopo passo\" class=\"wp-image-1232\" width=\"219\" height=\"217\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Anche in questo caso otteniamo un resto pari a zero<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c657687cbbf5ea9a7545edb42190e592_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00c8 anche una radice del polinomio.<\/p>\n<p> E continuiamo ad applicare la stessa procedura. Ora controlliamo se<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una radice del polinomio o no: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-factorisation-de-polynomes.jpg\" alt=\"esempio di fattorizzazione di polinomi\" class=\"wp-image-1250\" width=\"219\" height=\"303\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dividendo per<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Con la regola di Ruffini otteniamo resto zero, quindi<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una radice o zero del polinomio.<\/p>\n<p> Non possiamo quindi pi\u00f9 continuare ad applicare la regola di Ruffini, abbiamo quindi gi\u00e0 trovato tutte le radici del polinomio, che sono: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/racines-polynome-factorise.jpg\" alt=\"radici di un polinomio fattorizzato\" class=\"wp-image-1238\" width=\"352\" height=\"41\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Una volta determinate tutte le radici del polinomio, possiamo fattorizzarlo. Per fare ci\u00f2, esprimi semplicemente ciascuna radice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b24e8b3f28f048c85d6ea0f32d59fff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sotto forma di un fattore del tipo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f629cb3501652d3b8e4d6a30d92b5d4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , vale a dire che per ogni radice bisogna mettere una parentesi con a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e la radice ha cambiato segno: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-factoriser-un-polynome.jpg\" alt=\"come fattorizzare un polinomio\" class=\"wp-image-1235\" width=\"416\" height=\"172\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> E ora che abbiamo tutte le radici espresse come fattori, dobbiamo moltiplicare tutte le parentesi per il coefficiente del termine di grado pi\u00f9 alto del polinomio originale: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-polynomes-coefficient-plus-grand-degre.jpg\" alt=\"polinomi fattoriali coefficiente di grado pi\u00f9 alto\" class=\"wp-image-1241\" width=\"365\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Anche se in questo caso il coefficiente \u00e8 1 e quindi non influisce sul risultato, \u00e8 importante ricordarsi di effettuare questa moltiplicazione. Poich\u00e9 se detto coefficiente fosse diverso da 1, il polinomio fattorizzato cambierebbe e, quindi, non inserendo il numero commetteremmo un errore nella fattorizzazione del polinomio.<\/p>\n<p> In breve, il polinomio fattorizzato \u00e8: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/polymial-factorise-etape-par-etape-en-ligne.jpg\" alt=\"polinomio scomposto passo dopo passo online\" class=\"wp-image-1242\" width=\"339\" height=\"39\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizar-polinomios-sin-termino-independiente\"><\/span> Fattorizzazione di polinomi senza termine indipendente<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abbiamo appena visto che il termine indipendente \u00e8 importante per la fattorizzazione dei polinomi, poich\u00e9 permette di individuare le possibili radici del polinomio. Tuttavia, come si fattorizza un polinomio che non ha termini indipendenti?<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Per <strong>fattorizzare un polinomio senza termine indipendente<\/strong> , bisogna prima estrarre il fattore comune del polinomio, poi estrarre le radici del polinomio senza il fattore comune utilizzando la regola di Ruffini.<\/p>\n<p> Scritto cos\u00ec potrebbe sembrare un po&#8217; complicato, quindi risolviamo un esempio passo dopo passo cos\u00ec potrai vedere come fattorizzare un polinomio con un fattore comune:<\/p>\n<ul>\n<li> Esegui la scomposizione fattoriale del seguente polinomio:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9f7b2c27b1431f9362ee4268f48698e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^4-3x^3-x^2+3x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, il polinomio nel problema non ha un termine indipendente, quindi dobbiamo prendere il fattore comune del polinomio. Se osserviamo attentamente, tutti gli elementi del polinomio ne hanno almeno uno<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-038741496726a75b03e91a2e030b0287_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> quindi il fattore comune \u00e8<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9cc293b28f198c32e0356b52e2e23bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Pertanto, estraendo il fattore comune dal polinomio, si ottiene la seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c92203e4f8834fe75ccb4a71340ff7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x\\left(x^3-3x^2-x+3\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E una volta estratto il fattore comune del polinomio, applichiamo la regola di Ruffini per calcolare le radici del polinomio raggruppate tra parentesi (con il procedimento che abbiamo visto nella sezione precedente): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-les-polynomes-sans-terme-independant.jpg\" alt=\"Polinomi fattoriali senza termine indipendente\" class=\"wp-image-1251\" width=\"219\" height=\"303\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Quindi le radici o gli zeri del polinomio tra parentesi sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3146b4cef2e32a512e054760ad4fd3a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x=+1 \\qquad x=-1 \\qquad x=+3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, per fattorizzare il polinomio, \u00e8 sufficiente sostituire il polinomio tra parentesi con le sue radici sotto forma di fattore (come spiegato nella sezione precedente):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-470b8a931d73b852bee700a6488af525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}P(x) = x\\left(x^3-3x^2-x+3\\right) \\\\[2ex]\\color{red} \\bm{\\downarrow} \\\\[2ex] \\bm{P(x) = x(x-1)(x+1)(x-3)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"234\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E in questo modo abbiamo gi\u00e0 scomposto in fattori il polinomio che non aveva un termine di grado 0. Si noti che l&#8217;unica differenza \u00e8 che dobbiamo prima estrarre un fattore comune, ma tutti i passaggi successivi sono esattamente gli stessi.<\/p>\n<p> D&#8217;altronde questo dovresti saperlo<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00c8 anche una radice del polinomio, poich\u00e9 quando estraiamo il fattore comune, implica che una delle radici del polinomio sia<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6889ee3f02f0af137641306363d2da7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Quindi, tutte le radici del polinomio sono le seguenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20064fa13be3ed4c61c9b8e4cc4afe1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x= 0 \\qquad x=+1 \\qquad x=-1 \\qquad x=+3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infatti il polinomio deve avere tante radici quante ne indica il grado. In questo caso il polinomio \u00e8 di grado 4 e quindi ha 4 radici. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizar-polinomios-con-raices-racionales\"><\/span> Fattorizzazione di polinomi con radici razionali<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Finora abbiamo visto esempi di fattorizzazione di polinomi con radici intere, tuttavia un polinomio pu\u00f2 anche avere radici razionali, cio\u00e8 con frazioni. Vediamo come si risolve questo tipo di fattorizzazioni polinomiali con un esempio:<\/p>\n<ul>\n<li> Fattorizza il seguente polinomio incompleto:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fe7ec3cf4891c96dd472a3328c6a946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = 4x^3-7x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Usiamo come sempre la regola di Ruffini con i divisori del termine indipendente per cercare di determinare le radici del polinomio: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-des-polynomes-avec-des-racines-rationnelles.jpg\" alt=\"Fattorizzazione di polinomi con radici razionali\" class=\"wp-image-1268\" width=\"226\" height=\"136\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ma non possiamo calcolare pi\u00f9 radici con Ruffini, perch\u00e9 se proviamo a fare Ruffini con tutti gli altri numeri divisori del termine indipendente otteniamo un resto diverso da zero.<\/p>\n<p> Ci troviamo quindi in una situazione in cui \u00e8 solo con<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> il resto della divisione equivale a 0, ci\u00f2 significa che il polinomio pu\u00f2 avere radici frazionarie. Per determinare queste radici potremmo applicare Ruffini con le frazioni, tuttavia \u00e8 molto facile commettere errori nei calcoli ed \u00e8 per questo che in questi casi solitamente si procede cos\u00ec:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Quando non possiamo continuare ad applicare la regola di Ruffini con radici intere, dobbiamo porre uguale a 0 l&#8217;ultimo polinomio ottenuto e risolvere l&#8217;equazione risultante. Quindi le radici del polinomio saranno i valori trovati dall&#8217;equazione.<\/p>\n<p> Se invece l\u2019equazione non ha soluzione, significa che il polinomio non ha pi\u00f9 radici e, quindi, non pu\u00f2 essere completamente scomposto. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-polynomes-equation.jpg\" alt=\"polinomi fattoriali online\" class=\"wp-image-1269\" width=\"226\" height=\"215\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Poniamo quindi pari a zero il polinomio quoziente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86de558e97d35772c24d155a06770271_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x^2+4x-3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E usiamo la formula dell&#8217;equazione quadratica per risolvere l&#8217;equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-982cd2e82d8511ceb1f93648c3ee61df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0dbd8f544bd58121914b28752b950d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-4 \\pm \\sqrt{4^2-4\\cdot 4\\cdot (-3)}}{2\\cdot 4}= \\cfrac{-4\\pm \\sqrt{16+48}}{8} = \\cfrac{-4 \\pm\\sqrt{64}}{8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"484\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f52601e0daafdb92974cfbfe6613733b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x = \\cfrac{-4 \\pm 8}{8} = \\begin{cases}  \\cfrac{-4+8}{8} = \\cfrac{4}{8} = \\cfrac{1}{2} \\\\[4ex]\\cfrac{-4-8}{8} = \\cfrac{-12}{8} = -\\cfrac{3}{2} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"312\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le radici del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-951f2eb0c362c411dbb364b814cd05a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1 \\qquad x=\\cfrac{1}{2} \\qquad x=-\\cfrac{3}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il polinomio ha quindi radici sotto forma di frazioni.<\/p>\n<p> E una volta che conosciamo tutte le radici del polinomio, possiamo facilmente trovare il polinomio fattorizzato esprimendo ciascuna radice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b24e8b3f28f048c85d6ea0f32d59fff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sotto forma di un fattore del tipo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f629cb3501652d3b8e4d6a30d92b5d4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , vale a dire che per ogni radice bisogna mettere una parentesi con a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e la radice ha cambiato segno:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47682def6b604adb2c1ec62c59181f05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(x)= 4\\left(x-1\\right)\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ricorda che per fattorizzare un polinomio devi anche moltiplicare i suoi fattori per il coefficiente del termine di grado pi\u00f9 alto del polinomio non fattorizzato, che in questo caso \u00e8 4. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Casos-especiales-de-la-factorizacion-de-polinomios\"><\/span> Casi particolari di fattorizzazione di polinomi<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Normalmente per fattorizzare un polinomio si usa la regola di Ruffini (o divisione sintetica), come spiegato sopra. Ma a seconda del polinomio del problema, a volte \u00e8 possibile eseguire la fattorizzazione polinomiale pi\u00f9 velocemente. Vedremo ciascuno di questi casi particolari di seguito. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-identidades-notables\"><\/span> Scomporre identit\u00e0 importanti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Se vediamo che un polinomio corrisponde ad un&#8217;identit\u00e0 notevole (o ad un prodotto notevole) \u00e8 molto semplice fattorizzarlo. Tuttavia per poterlo fare devi padroneggiare le<a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/identita-prodotti-uguaglianze-notevoli-esercizi-risolti\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">formule per le identit\u00e0 notevoli<\/span><\/strong><\/a> , altrimenti ti consiglio di dare un&#8217;occhiata a questo link dove non solo troverai le formule, ma potrai anche vedere esempi di notabili. identit\u00e0 e puoi anche praticare esercizi con loro risolti passo dopo passo.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Differenza di quadrati<\/h4>\n<p> Come ben sai, la formula per l&#8217;identit\u00e0 notevole della differenza dei quadrati \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f923a8db837402f512b6289f9c55b22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-b^2=(a+b)\\cdot (a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, se troviamo un polinomio che soddisfa l&#8217;espressione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e8c1ff5ed178c14d02192ff8c85b93b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> possono essere presi in considerazione direttamente.<\/p>\n<p> Guarda il seguente esempio in cui viene presa in considerazione la differenza di quadrati:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab016e5ab7f26bfdba5420de9eae026b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-9 = (x+3)(x-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le radici del polinomio invece sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e067558315750d60883807860c2a2b63_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-3 \\qquad x=+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Altri esempi di fattorizzazione di binomi che sono differenze di quadrati: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a390b06ab6932ccc4f5f3fbe7abdfd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-4=(x+2)(x-2) \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'ices: } x=-2, +2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8afd88f2265f4622a54d266f0a22e39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-16=(x+4)(x-4) \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'ices: } x=-4, +4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1288583c4a3c4ae7379771e36a25675a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-25=(x+5)(x-5) \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'ices: } x=-5, +5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"406\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Quadrato di addizione e sottrazione<\/h4>\n<p> Dovresti gi\u00e0 conoscere le formule per le due principali identit\u00e0 notevoli rimaste: il quadrato dell&#8217;addizione e il quadrato della sottrazione. <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-15\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Quadrato della somma<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fa3b0c36dfc418214a76610055f0f6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Quadrato di sottrazione<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64a8720170a57c4dadc65bb16a53a40f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-2ab+b^2= (a-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Quindi, se ci rendiamo conto che un polinomio corrisponde a una di queste due identit\u00e0 notevoli, possiamo fattorizzarlo direttamente. Guarda i seguenti esempi: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-18\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68811281a183bb1881b2fa5a799f4c86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+6x+9 = (x+3)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Doppia radice: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e135cd6350a4c21195c621240f7aee7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-835d8f2fbf4c3d39b940c19563819e62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-8x+16 = (x-4)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Doppia radice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2145acc2878ed61214887e120f2485b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Identificare questi tipi di prodotti importanti \u00e8 un po\u2019 pi\u00f9 difficile. Un trucco consiste nel verificare se il termine indipendente del polinomio \u00e8 il quadrato di un numero e se il termine di grado superiore \u00e8 il quadrato di un monomio (di solito<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ), in questo caso \u00e8 sufficiente verificare che sia vero<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ddef4007f116e84febe922aa24a12bca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2ab\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 pari alla fine del diploma intermedio.<\/p>\n<p> Ad esempio, se abbiamo il seguente polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a4bd9309bbef0daf8a78bdf68d3dda5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+10x+25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo caso pu\u00f2 essere solo il quadrato di una somma, perch\u00e9 tutti gli elementi del polinomio sono positivi. Quindi la variabile<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> della formula deve essere 5, poich\u00e9 \u00e8 la radice del termine indipendente, e la variabile<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> dev&#8217;essere<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , poich\u00e9 \u00e8 la radice del termine may grado.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af4b0855281c4c0bc0f6044b1b3c33b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a=\\sqrt{x^2} = x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3de5e4f309976794a981c07b460b7ced_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=\\sqrt{25} = 5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora non ci resta che dimostrare che la formula del quadrato della somma \u00e8 soddisfatta dal termine di grado intermedio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bc856a1d19034326a8cbf497ccf1a70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2ab = 10x \\ \\color{blue} \\bm{?}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5aebd0e6397d5edb14bf61460fe20884_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2ab = 2\\cdot x \\cdot 5 = 10 x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"155\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n<p> La formula per il prodotto notevole \u00e8 soddisfatta, quindi il polinomio scomposto \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be9ab911bb8121aa0797b837f789fbc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+10x+25 = (x+5)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E la radice di questo polinomio \u00e8<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0fdc1717d47916064f25e11eb18b433_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-5,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> che \u00e8 una radice doppia perch\u00e9 il suo fattore \u00e8 quadrato (si ripete due volte).<\/p>\n<p> Di seguito sono riportati altri esempi di fattorizzazione di trinomi quadrati perfetti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f3df048ecccff6794ae04aebd3098b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-4x+4=(x-2)^2 \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'iz doble: } x=+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"393\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e42fc53bf079ddd1f94f39f1d3cbb79e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+14x+49=(x+7)^2 \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'iz doble: } x=-7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"412\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36668f39fcb48e7113e0c9502dd1e98e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \\quad \\longrightarrow \\quad \\text{ra\\'iz doble: } x=+\\cfrac{2}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-trinomios-de-segundo-grado\"><\/span> Fattorizzazione dei trinomi di secondo grado<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Come abbiamo appena visto, a volte ci sono trinomi che sono quadrati perfetti e questi possono essere fattorizzati direttamente con le formule per le identit\u00e0 notevoli. Ma la maggior parte dei trinomi non sono prodotti degni di nota, quindi come fattorizziamo questi casi di polinomi?<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Per fattorizzare un polinomio quadratico non \u00e8 necessario applicare il metodo Ruffini, basta porre il polinomio uguale a zero e risolvere l&#8217;equazione quadratica risultante. Le soluzioni dell&#8217;equazione saranno quindi le radici del polinomio.<\/p>\n<p> Ad esempio, se ci viene chiesto di fattorizzare il seguente polinomio di grado 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36b88a11b04e820a1154acc759f76526_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^2+2x-15\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Invece di usare Ruffini, poniamo il polinomio uguale a 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adffe34777fbc2f8972feba6d1978069_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2x-15=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E ora usiamo la formula dell&#8217;equazione di 2\u00b0 grado per trovare le soluzioni dell&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-982cd2e82d8511ceb1f93648c3ee61df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b547af034f4845272c3029db9ac44655_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-2 \\pm \\sqrt{2^2-4\\cdot 1\\cdot (-15)}}{2\\cdot 1}= \\cfrac{-2\\pm \\sqrt{4+60}}{2} = \\cfrac{-2 \\pm\\sqrt{64}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"484\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd949c11577e283ded1f45e1ba2fa35b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x = \\cfrac{-2 \\pm 8}{2} = \\begin{cases}  \\cfrac{-2+8}{2} = \\cfrac{6}{2} = 3 \\\\[4ex]\\cfrac{-2-8}{2} = \\cfrac{-10}{2} = -5 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"310\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le radici del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b4a33e3391cf08034f5eb56db357d48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3 \\qquad x=-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"134\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E infine, la fattorizzazione polinomiale \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0edc3070d203b07e2a6733ea20d32e4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =(x-3)(x+5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-trinomios-de-cuarto-grado-con-exponentes-pares\"><\/span> Fattorizzazione di trinomi di quarto grado con esponenti pari<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Come nel caso precedente, per fattorizzare un polinomio di quarto grado con esponenti pari, dobbiamo porre il polinomio uguale a zero e risolvere l&#8217;equazione biquadrata. In modo che i valori trovati corrispondano alle radici del polinomio.<\/p>\n<p> Ad esempio, fattorizzeremo il seguente polinomio di grado 4:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12410a6427e804a3da27995f9f1db53b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^4-5x^2+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per prima cosa impostiamo il polinomio uguale a zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-538c182becda938701ff5b1d4b18cfe8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^4-5x^2+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora dobbiamo risolvere l&#8217;equazione biquadrata. Per fare ci\u00f2, apportiamo una modifica alla variabile:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b3e2aab5c304c6d5ff967115a60f95f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94dcc4d964c45f24e57e4d079f7fc1e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t^2-5t+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolviamo l&#8217;equazione quadratica con la formula: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85e35ac03383600ab404fc9893a559e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77cd61b54d5510fe9247d465ffea7ff5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t= \\cfrac{-(-5) \\pm \\sqrt{(-5)^2-4\\cdot 1\\cdot 4}}{2\\cdot 1}= \\cfrac{5\\pm \\sqrt{25-16}}{2} = \\cfrac{5 \\pm\\sqrt{9}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"456\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d5dada92a4b578d23d0e32ab6dac388_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t = \\cfrac{5 \\pm 3}{2} = \\begin{cases}  \\cfrac{5+3}{2} = \\cfrac{8}{2} = 4 \\\\[4ex]\\cfrac{5-3}{2} = \\cfrac{2}{2} = 1 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Annulliamo il cambio di variabile per calcolare le radici: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b3e2aab5c304c6d5ff967115a60f95f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-21\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c269e23a1070b3e5556abece040af75a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf3da03bf703f0090af0eeb3709440f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\sqrt{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c06a55e3acdd1e283973786926b27716_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\pm 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-959000af33497314f9a59a9bed2a19c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32986b6409a97918295bdd495b6cb869_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\sqrt{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2e5d1349000e44cc1988f98254e0389_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\pm 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Le radici del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf159b0d3425624012695374c1a90482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+2 \\qquad x=-2 \\qquad x=+1 \\qquad x=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"331\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E una volta che conosciamo le radici o gli zeri del polinomio, lo fattorizziamo esprimendo le sue radici algebricamente sotto forma di fattori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7eaaf4ac3b4c848127ddfa0ab9d978c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-polinomios-por-agrupacion\"><\/span> Fattorizzare i polinomi per raggruppamento<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> In alcuni casi molto particolari, \u00e8 possibile utilizzare una formula per fattorizzare un tipo molto particolare di polinomio.<\/p>\n<p> Se abbiamo un polinomio della forma seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0760e62da77badd13476ae11abad85a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-ax- bx+ab\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Possiamo semplificare il polinomio eliminando il fattore comune:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2913aa00fe4914d11171a6d74a0f239_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-ax- bx+ab = x(x-a)-b(x-a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"309\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E il polinomio pu\u00f2 essere ulteriormente semplificato estraendo il fattore comune una seconda volta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9e72259656373174da6552b009fad25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(x-a)-b(x-a) =(x-a)\\cdot (x-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"293\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo modo abbiamo potuto fattorizzare il polinomio senza applicare Ruffini o qualsiasi altro metodo. E le radici di detto polinomio sarebbero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ca29d3d668899f2ab265da4648a569b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=a \\qquad x=b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"120\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vediamo ora questo metodo con un esempio numerico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3821ceccc53eb607d29f39c944625a75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-3x-2x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per prima cosa rimuoviamo il fattore comune con<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e con 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13401ca14699ffd34366db3cfbf2aba8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-3x-2x+6 = x(x-3)-2(x-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"302\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E come adesso<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b531622467ab2607de193e88e4c52463_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 un fattore comune del polinomio, estraiamo il fattore comune di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d50ab8dee5078155995ce61e884141ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-3):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfb180b19b0bf7dfb17d76d6869ab26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(x-3)-2(x-3)=(x-3)\\cdot (x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"294\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le radici del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f70b397f33c52e3813f89b96ce0ae44c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3 \\qquad x=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"120\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo metodo \u00e8 anche chiamato fattorizzazione dei polinomi mediante estrazione del doppio fattore comune. Nonostante si tratti di una procedura molto rapida, sconsigliamo di eseguire questo tipo di fattorizzazione perch\u00e9 quando si fattorizza con questo metodo vengono frequentemente segnalati errori. Inoltre, come abbiamo visto sopra, un polinomio di grado 2 pu\u00f2 anche essere scomposto risolvendo una semplice equazione quadratica. Insomma, non succede nulla se non si comprende bene questo metodo.<\/p>\n<p> Infine \u00e8 da notare che esistono ancora altri metodi di fattorizzazione polinomiale pi\u00f9 complessi, come l\u2019algoritmo LLL, il metodo Kronecker e il metodo Trager, che non vengono qui spiegati a causa della loro difficolt\u00e0 matematica. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-de-factorizacion-de-polinomios\"><\/span> Esercizi risolti sulla fattorizzazione dei polinomi<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dopo aver visto tutti i tipi di fattorizzazione dei polinomi, ti consigliamo di esercitarti provando a risolvere gli esercizi. Questo \u00e8 il motivo per cui di seguito abbiamo preparato diversi esercizi risolti passo dopo passo per la fattorizzazione dei polinomi. Ricorda che se hai domande puoi scriverle nei commenti e ti risponderemo velocemente.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Esegui la fattorizzazione del seguente polinomio di grado 3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-797de8956ba7ef9e806e044d8969d8eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3-3x^2-6x+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> \u00c8 un polinomio completo, ordinato, di terzo grado e in definitiva indipendente. Applichiamo quindi il metodo di Ruffini per determinare le radici del polinomio: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pas-a-pas-de-factorisation-de-polynomes.jpg\" alt=\"Esercizi passo passo per la fattorizzazione dei polinomi\" class=\"wp-image-1321\" width=\"218\" height=\"304\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le radici del polinomio sono quindi le seguenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3c985adaa6800a87a49d517c55c3bc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1 \\qquad x=-2 \\qquad x=+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La fattorizzazione polinomiale \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b7e45b1e7ee51b6a0d44615479dcaac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)= 1 \\cdot (x-1)\\cdot (x+2) \\cdot (x-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-198255688121f7bf7bc89a1e887b22ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{P(x)= (x-1)(x+2)(x-4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Calcolare la fattorizzazione del seguente polinomio di grado 4: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f752dc1ebbc1db3f61b070a2928503b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^4+x^3-7x^2-x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> \u00c8 un polinomio di quarto grado e con termine indipendente, utilizziamo quindi il metodo Ruffini per trovare le radici del polinomio: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-de-factorisation-polynomiale-pdf.jpg\" alt=\"Esercizi di fattorizzazione polinomiale pdf\" class=\"wp-image-1324\" width=\"251\" height=\"382\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le radici del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-315cfedf34708088883c3373931e31ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1 \\qquad x=-1 \\qquad x=2 \\qquad x=-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E quando fattorizziamo il polinomio, ci rimane: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5054d766aff29b0f07e5af1fbab6c704_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)= 1 \\cdot (x-1)\\cdot (x+1)\\cdot (x-2) \\cdot (x+3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e56ee9448e04783abf4fdd7e79b555f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Trovare la fattorizzazione del seguente polinomio di quarto grado: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e2ea1abb94e9122f4a71f70fda9c42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^4-2x^3-13x^2-10x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"234\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso il polinomio non ha termini indipendenti, dobbiamo prima estrarre un fattore comune:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44f0fffdcd54f65965d1ebb37d05a83c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x(x^3-2x^2-13x-10)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"240\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora che abbiamo preso il divisore comune di x, calcoliamo le radici o gli zeri del polinomio tra parentesi utilizzando il metodo di Ruffini: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorisation-des-polynomes-de-ruffini-exercices-resolus-pdf.jpg\" alt=\"fattorizzazione dei polinomi di Ruffini esercizi risolti pdf\" class=\"wp-image-1328\" width=\"224\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi le radici del polinomio sono quelle che abbiamo trovato con il metodo Ruffini pi\u00f9 x=0 del divisore comune:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fd9d39f84a3308b2a958a5b213fad9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0 \\qquad x=-1 \\qquad x=-2 \\qquad x=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"304\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ed infine, scomponendo il polinomio in fattori otteniamo la seguente espressione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03584cf729dad52d2ade9eacd54f47d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)= 1 \\cdot x \\cdot (x+1)\\cdot (x+2)\\cdot (x-5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"294\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55af6b96ce9ae5be4c9bbc749586ac30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{P(x)= x(x+1)(x+2)(x-5)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"234\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Trasforma il seguente polinomio di terzo grado in fattori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2eb940210fd5725256a4886885d4f990_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=6x^3+25x^2+21x-10\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"234\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Questo polinomio ha un termine indipendente, calcoliamo quindi le sue radici con l&#8217;algoritmo di Ruffini: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-des-polynomes-de-degre-3-en-ligne-2.jpg\" alt=\"polinomi fattoriali di grado 3 nella riga 2\" class=\"wp-image-1334\" width=\"219\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tuttavia, arrivati a questo punto, non possiamo continuare ad applicare la regola di Ruffini, perch\u00e9 senza un altro intero il resto della divisione \u00e8 zero.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, impostiamo il polinomio risultante uguale a zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b54e68406556ca63598a2f81ebd4bcac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x^2+13x-5=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E applichiamo la formula delle equazioni quadratiche per risolvere l&#8217;equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-982cd2e82d8511ceb1f93648c3ee61df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-432e41dd639800e6ae78911e6bdbd440_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-13 \\pm \\sqrt{13^2-4\\cdot 6\\cdot (-5)}}{2\\cdot 6}= \\cfrac{-13\\pm \\sqrt{169+120}}{12} = \\cfrac{-13 \\pm\\sqrt{289}}{12}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"546\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77785f81018b1d7a46a83d1567af638e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x = \\cfrac{-13 \\pm 17}{12} = \\begin{cases}  \\cfrac{-13+17}{12} = \\cfrac{4}{12} = \\cfrac{1}{3} \\\\[4ex]\\cfrac{-13-17}{12} = \\cfrac{-30}{12} = -\\cfrac{5}{2} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"348\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le radici o zeri del polinomio sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-208bbe3d807db642e7f3cf8f0245c014_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2 \\qquad x=\\cfrac{1}{3} \\qquad x=-\\cfrac{5}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi la fattorizzazione del polinomio deve essere fatta con le frazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a0cf1c1c64a18689df2941011dd3389_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(x)= 6\\left(x+2\\right)\\left(x-\\frac{1}{3}\\right)\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Determinare la fattorizzazione del seguente polinomio di grado 6: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aff4a9e14858bdbfee31195fdfa05b1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^6-3x^5+14x^3-12x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il polinomio nel problema non ha termini indipendenti, quindi dobbiamo prima estrarre il fattore comune, che in questo caso lo \u00e8 <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c96aa574fedc2cca3206c8aacdd0255_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4f53c4ed9cd82f1fcd39ecef4480bac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2(x^4-3x^3+14x-12)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E una volta eliminato il fattore comune dal polinomio, troviamo tra parentesi le radici del polinomio utilizzando la regola di Ruffini: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-des-polynomes-uniques.jpg\" alt=\"fattorizzazione di polinomi unici\" class=\"wp-image-1337\" width=\"251\" height=\"206\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ma quando arriviamo a questo punto, non possiamo continuare ad andare avanti, perch\u00e9 senza un altro numero intero, il resto \u00e8 zero.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poniamo quindi pari a zero il polinomio ottenuto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-592ad3827d86125b15a72e4c8e8c5ac8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-4x+6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E risolviamo l&#8217;equazione quadratica con la formula: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-982cd2e82d8511ceb1f93648c3ee61df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7cec78dac4f876f315c815297bbb0ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2-4\\cdot 1\\cdot 6}}{2\\cdot 1}= \\cfrac{4\\pm \\sqrt{16-24}}{2} = \\cfrac{4 \\pm\\sqrt{-8}}{2} \\ \\color{red} \\bm{\\times}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"517\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Non ci sono radici dei numeri negativi, quindi l&#8217;equazione non ha soluzione, il che significa che non possiamo trovare altre radici del polinomio. In altre parole, il polinomio non \u00e8 completamente fattorizzabile.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tuttavia, le radici che siamo riusciti a trovare sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1373d97d08d53d49fdf8b4f227f5d656_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0 \\qquad x=0 \\qquad x=1 \\qquad x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"290\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tieni presente che la radice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> viene ripetuto due volte perch\u00e9 abbiamo rimosso il fattore comune da<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09f6edd3d7af07ab26b4a0a71c20c0b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> e poich\u00e9 \u00e8 quadrata, ci\u00f2 implica che \u00e8 una radice doppia.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In conclusione il polinomio fattorizzato sar\u00e0 il prodotto di tutte le radici trovate espresse come fattori<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f629cb3501652d3b8e4d6a30d92b5d4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> moltiplicato per il polinomio ottenuto dalla regola di Ruffini che non poteva essere ulteriormente preso in considerazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d97b2a369799813209a1ba3e168ed71f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)= 1 \\cdot x^2 \\cdot (x-1)\\cdot (x+2)\\cdot (x^2-4x+6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7738a261a919bbff02a7ed19dd408f28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{P(x)= x^2(x-1)(x+2)(x^2-4x+6)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"290\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 6<\/h3>\n<p> Esegui la fattorizzazione di tutti i seguenti polinomi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb4c5b02f2cac45cb04ff218fb33a38d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ P(x)=x^2 + 12x+36\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5266319b8b4b96bf82cba4cabc3c4830_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ Q(x)=x^2 -64\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa3aa86769d7a654e72a894bccb94fa1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ R(x)=x^2 - 18x+81\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f80148e5fc14408e7ec33fa35f594bdb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ S(x)=x^2+10x+24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il polinomio della sezione A) corrisponde a un&#8217;identit\u00e0 notevole, in particolare al quadrato della somma. La sua fattorizzazione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0540de8a5f532fb36658af4c9af59dca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2 + 12x+36 = \\bm{(x+6)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"253\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Anche il polinomio della sezione B) \u00e8 un prodotto notevole, in particolare \u00e8 la differenza dei quadrati, quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4903083e3b92847cafe379abb0c816a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)=x^2 -64 = \\bm{(x+8)(x-8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Allo stesso modo, il polinomio della sezione C) \u00e8 un&#8217;uguaglianza notevole, in particolare \u00e8 costituito dal quadrato di una sottrazione. La sua fattorizzazione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce680ba71785064da5c773cda5916be0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R(x)=x^2 - 18x+81 = \\bm{(x-9)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"253\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, il polinomio nella parte D) non \u00e8 un&#8217;identit\u00e0 notevole. Dobbiamo quindi porre il polinomio uguale a 0 e risolvere l&#8217;equazione risultante per trovarne le radici:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48364ae74194a23aa761f92c1d5ddc7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+10x+24 =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Usiamo la formula dell&#8217;equazione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-982cd2e82d8511ceb1f93648c3ee61df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5c923f0dcbdc9b54568db04cea19263_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{-10 \\pm \\sqrt{10^2-4\\cdot 1\\cdot 24}}{2\\cdot 1}= \\cfrac{-10\\pm \\sqrt{100-96}}{2} = \\cfrac{-10 \\pm\\sqrt{4}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"498\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88934cfbe80af987a03e4fb1a2a72aa7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x = \\cfrac{-10 \\pm 2}{2} = \\begin{cases}  \\cfrac{-10+2}{2} = \\cfrac{-8}{2} = -4 \\\\[4ex]\\cfrac{-10-2}{2} = \\cfrac{-12}{2} = -6\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"328\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le radici del polinomio D) sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef7500f97e6fbdb358f7a4e39d4f33df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-4 \\qquad x=-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"149\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, il risultato della fattorizzazione polinomiale \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4c31b7f7d37fa2927e3bc07a2ebb18f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{S(x)=(x+4)(x+6)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo come fattorizzare qualsiasi tipo di polinomio. 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