{"id":59,"date":"2023-09-17T07:25:02","date_gmt":"2023-09-17T07:25:02","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-teorema-del-resto-ed-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-09-17T07:25:02","modified_gmt":"2023-09-17T07:25:02","slug":"esempi-di-teorema-del-resto-ed-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-teorema-del-resto-ed-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Teorema del resto (o residuo)."},"content":{"rendered":"<p>Qui troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 il teorema dei resti (o teorema dei resti) e come si applica ai polinomi. Potrai anche vedere esempi e, inoltre, esercitarti con esercizi risolti passo passo sul teorema del resto. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-teorema-del-resto\"><\/span> Qual \u00e8 il teorema del resto? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In matematica, il <strong>teorema del resto<\/strong> dice che il resto della divisione di qualsiasi polinomio P(x) per un altro polinomio della forma (xa) \u00e8 uguale al valore numerico del polinomio P(x) per il valore x=a, In in altre parole, il resto della divisione P(x):(xa) \u00e8 equivalente a P(a). <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-restes.jpg\" alt=\"teorema del resto\" class=\"wp-image-1041\" width=\"202\" height=\"203\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplo-del-teorema-del-resto\"><\/span>Esempio del teorema del resto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una volta visto cos\u2019\u00e8 il teorema del resto, vediamo un esempio pratico della sua applicazione:<\/p>\n<ul>\n<li> Calcola il resto della divisione tra i due polinomi seguenti:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eba049cd57efaf6f586d13f45f82f98b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^3+2x^2-4x+3 \\qquad \\qquad Q(x)=x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per trovare il resto (o residuo) della divisione polinomiale possiamo avvalerci del teorema dei resti, perch\u00e9 in questo caso il polinomio divisore \u00e8 della forma (xa), cio\u00e8 \u00e8 di primo grado, il coefficiente di la variabile x \u00e8 1 e ha un termine indipendente.<\/p>\n<p> Applichiamo quindi il teorema del resto, che dice che il resto di una divisione come questa \u00e8 uguale al valore numerico del polinomio del dividendo valutato nel termine indipendente del polinomio del divisore cambiato di segno, cio\u00e8 P (1). <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-reste-et-du-facteur-pdf.jpg\" alt=\"teorema dei resti e dei fattori pdf\" class=\"wp-image-1048\" width=\"476\" height=\"118\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Pertanto, per trovare il resto della divisione, dobbiamo valutare il polinomio in x=1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff03f53066d698ee3d76e0024f3b51ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(1) &amp;= 1^3+2\\cdot 1^2-4\\cdot 1+3\\\\[2ex] &amp;= 1+2\\cdot 1-4 \\cdot 1+3  \\\\[2ex] &amp; = 1+2-4+3 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{2}  \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Il resto della divisione tra i polinomi \u00e8 quindi 2<\/strong> .<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte possiamo anche verificare con <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/regole-risolte-esempi-esercizi-ruffini\/\">la regola di Ruffini per la divisione dei polinomi<\/a><\/span><\/strong> che il resto coincide con il risultato che abbiamo trovato: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-reste-de-ruffini.jpg\" alt=\"Teorema dei resti di Ruffini\" class=\"wp-image-1043\" width=\"252\" height=\"133\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, \u00e8 molto pi\u00f9 veloce e pi\u00f9 facile determinare il resto di una divisione di un polinomio per un binomio con il teorema dei resti che con la regola di Ruffini, perch\u00e9 vengono eseguiti molti meno calcoli. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Teorema-del-resto-y-del-factor\"><\/span> Teorema del resto e dei fattori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dal teorema del resto e dalla definizione della radice (o zero) di un polinomio si deduce il teorema dei fattori. Quindi il teorema dei fattori implica quanto segue:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Il <strong>teorema dei fattori<\/strong> dice che un polinomio P(x) \u00e8 divisibile per un altro polinomio della forma (xa) se, e solo se, P(a)=0. E, in questo caso, ci\u00f2 significa che a \u00e8 una radice o uno zero del polinomio P(x).<\/p>\n<p> Inoltre, secondo il teorema del resto, ci\u00f2 significa che se un polinomio \u00e8 divisibile per un altro polinomio, il resto di detta divisione \u00e8 zero, poich\u00e9 P(a)=0.<\/p>\n<p> Ad esempio, se abbiamo un certo polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3d378a4916cbd7a268ed60de50589d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2+2x-8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo polinomio \u00e8 divisibile per il binomio (x-2) perch\u00e9 P(2)=0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e90c14ff06cdfa041299e016051b1dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp;= 2^2+2\\cdot 2-8\\\\[2ex] &amp;= 4+4-8 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{0} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"159\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Poich\u00e9 x=2 annulla il polinomio P(x), ci\u00f2 significa che x=2 \u00e8 radice di detto polinomio.<\/p>\n<p> E inoltre, poich\u00e9 P(2)=0, grazie al teorema del resto possiamo sapere che il resto della divisione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba6849f9b139a364e36b1e7f461969c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2+2x-8}{x-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 uguale a 0. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-teorema-del-resto\"><\/span> Esercizi risolti del teorema del resto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per completare la comprensione del teorema del resto, abbiamo preparato alcuni esercizi risolti passo dopo passo in modo che tu possa esercitarti. Ti consigliamo di provare prima l&#8217;esercizio e poi di verificare se lo hai eseguito correttamente.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Trovare, con il teorema del resto, il resto della divisione polinomiale<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> , essendo i polinomi coinvolti nell&#8217;operazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4201895897fc514d2ec7ef49b43ca580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3+4x^2-2x+1\\qquad \\qquad Q(x)=x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il polinomio divisore \u00e8 composto solo da un termine di primo grado e da un termine indipendente e, inoltre, il coefficiente del termine di primo grado \u00e8 1. Possiamo quindi utilizzare il teorema del resto.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E per applicare il teorema del resto basta valutare il polinomio del dividendo nel termine indipendente del polinomio divisore cambiato segno, ovvero bisogna calcolare P(2).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23790b78a8463a23a7b8202ab544ade9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp;= 2^3+4\\cdot 2^2-2\\cdot 2+1\\\\[2ex] &amp;=8+4\\cdot 4-2\\cdot 2+1  \\\\[2ex] &amp; = 8+16-4+1 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{21}  \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"218\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Il resto della divisione tra i due polinomi \u00e8 quindi 21<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Dato il polinomio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d5f84d7abf17919f73133b0624418d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^4-2x^3+5x^2-3x+4 ,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Trova il resto ottenuto dividendolo per ciascuno dei seguenti polinomi: <\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8cd22b173b522307e57fd84bcd5cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(x-1 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dd9c5036ff9ff34b1ea263893f64e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\left(x+1 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65e5cacdc716b7c9a064099e0ee78439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(x+2 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a7b8e26b769665de5041f278d15686_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\left(x-3 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 tutti i polinomi di divisione soddisfano le condizioni del teorema del resto, possiamo usare questo teorema per determinare il resto di ciascuna divisione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8ae7d7c667bf9ca6bd7417356756447_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{A}\\bm{)} \\ P(1) &amp;= 1^4-2\\cdot 1^3+5\\cdot 1^2-3\\cdot 1+4\\\\[2ex] &amp;=1-2\\cdot 1+5\\cdot 1 -3 \\cdot 1+4 \\\\[2ex] &amp; = 1-2+5-3+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{5} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"307\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a31e7c1334f8d1a24ba246d0459e4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{B}\\bm{)} \\ P(-1) &amp;= (-1)^4-2\\cdot (-1)^3+5\\cdot (-1)^2-3\\cdot (-1)+4\\\\[2ex] &amp;=1-2\\cdot (-1)+5\\cdot 1 -3 \\cdot (-1)+4 \\\\[2ex] &amp; = 1+2+5+3+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{15} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"431\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e8191f6ce490a0786515d84efaf45ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{C}\\bm{)} \\ P(-2) &amp;= (-2)^4-2\\cdot (-2)^3+5\\cdot (-2)^2-3\\cdot (-2)+4\\\\[2ex] &amp;=16-2\\cdot (-8)+5\\cdot 4 -3 \\cdot (-2)+4 \\\\[2ex] &amp; = 16+16+20+6+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{62} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"430\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d2e1e17bbcf91abb36d8cad24cadf0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{D}\\bm{)} \\ P(3) &amp;= 3^4-2\\cdot 3^3+5\\cdot 3^2-3\\cdot 3+4\\\\[2ex] &amp;=81-2\\cdot 27+5\\cdot 9 -3 \\cdot 3+4 \\\\[2ex] &amp; = 81-54+45-9+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{67} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"308\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Calcola quanto dovrebbe valere il parametro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in modo che il resto della divisione dei polinomi<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> essere uguale a 3, essendo entrambi polinomi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39aa975b852cd190f864491d029e3d58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3-5x^2-mx+9 \\qquad \\qquad Q(x)=x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"379\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso particolare il polinomio divisore \u00e8 formato da un monomio di primo grado e da un termine indipendente e, inoltre, il coefficiente del monomio di primo grado \u00e8 1. Possiamo quindi utilizzare il teorema del resto.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E per usare il teorema del resto basta sostituire con un cambio di segno il termine indipendente del polinomio divisore dove nel polinomio diviso c&#8217;\u00e8 una x, dobbiamo quindi risolvere P(-3).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693cd65a618f884d0dd1be2f20594229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-3) &amp;=(-3)^3-5\\cdot (-3)^2-m\\cdot (-3)+9\\\\[2ex] &amp;=-27-5\\cdot 9 -m\\cdot (-3)+9 \\\\[2ex] &amp; = -27-45+3m+9 \\\\[2ex] &amp; =3m-63 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"323\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ma ovviamente otteniamo un risultato basato sull&#8217;incognita<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4a447f470995624a31e9fc621325af2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"20\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Tuttavia, la formulazione del problema ci dice che il resto deve essere uguale a tre, quindi dobbiamo impostare il resto trovato uguale a 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c683d547456ad6fc7d9a9c123be3ce3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m-63 = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine risolviamo l&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd907c2a7cc446f45435dd543851062a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m = 3+63\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89214c7e36a0809ce927b0de14579ff7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m = 66\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"66\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be9d6df593c2b5cd5333f8450a1e2afa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m = \\cfrac{66}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8631ca446a606a9511ad9a1bbf07bf1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{m = 22}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Determinare con il teorema del fattore e del resto il polinomio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 divisibile per il polinomio <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5846d8a96763047fb4c9f458420f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16c539cdb7c8de8425a9d943f4ffa4df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =-2x^3-5x^2-x+2 \\qquad \\qquad Q(x)=x+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi il polinomio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> essere divisibile per il polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> la divisione tra questi due polinomi deve essere esatta e quindi il resto deve essere zero.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi, poich\u00e9 il polinomio divisore \u00e8<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8aa3ce3e7e742e73a1b997a758126f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2),\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Dal teorema dei fattori e dal teorema del resto sappiamo che il polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sar\u00e0 divisibile per il polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> se \u00e8 pieno<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba038b936f6d3cecf0aac3be3a9fbcbb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Dobbiamo quindi vedere se questa uguaglianza \u00e8 verificata: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-921817de49081656ab2dd5a8fc6a97ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=0 \\quad \\color{blue} \\bm{?}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e8793835809000092b15eaec3877c18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-2) &amp;=-2\\cdot (-2)^3-5\\cdot (-2)^2-(-2)+2\\\\[2ex] &amp;=-2 \\cdot (-8) -5 \\cdot 4+2 +2\\\\[2ex] &amp; =16-20+2+2 \\\\[2ex] &amp; =0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"329\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Anzi, il resto della divisione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 uguale a 0, quindi il polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> S\u00ec, \u00e8 divisibile per l&#8217;altro polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5846d8a96763047fb4c9f458420f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Cosa ne pensi della spiegazione? Ti \u00e8 piaciuto? Speriamo! Non dimenticare che puoi lasciarci i tuoi suggerimenti o domande nei commenti. \u2b07\u2b07\u2b07 Vi leggiamo tutti! \ud83d\ude01\ud83d\ude01<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 il teorema dei resti (o teorema dei resti) e come si applica ai polinomi. Potrai anche vedere esempi e, inoltre, esercitarti con esercizi risolti passo passo sul teorema del resto. Qual \u00e8 il teorema del resto? 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