{"id":58,"date":"2023-09-17T07:25:59","date_gmt":"2023-09-17T07:25:59","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/radici-di-un-polinomio\/"},"modified":"2023-09-17T07:25:59","modified_gmt":"2023-09-17T07:25:59","slug":"radici-di-un-polinomio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/radici-di-un-polinomio\/","title":{"rendered":"Radici di un polinomio"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina scoprirai cosa sono le radici di un polinomio e come si calcolano. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo sulle radici di un polinomio. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-son-las-raices-de-un-polinomio\"><\/span> Quali sono le radici di un polinomio?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>In matematica le radici (o zeri) di un polinomio sono i valori che annullano il polinomio. Cio\u00e8 le radici di un polinomio sono tutti quei valori che, valutati nel polinomio, hanno un valore numerico pari a 0.<\/strong><\/p>\n<p> Infine,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b24e8b3f28f048c85d6ea0f32d59fff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una radice del polinomio<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> S\u00ec <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05f8ce1400e1aeecb7fc4e9548e2c5e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(a)=0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/racines-ou-zeros-dun-polynome.png\" alt=\"radici o zeri di un polinomio\" class=\"wp-image-916\" width=\"170\" height=\"172\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ad esempio, se abbiamo il seguente polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f4ac06469282d1968cf43d2d7dc35ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2-3x+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Possiamo verificare che una delle radici del polinomio \u00e8 1, poich\u00e9 il valore numerico del polinomio in <em>x=1<\/em> \u00e8 uguale a zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30a608c13e6fb189405ac92258df7e3e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1)=1^2-3\\cdot 1+2 = 1-3+2 \\color{blue} \\bm{= 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"312\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte 3 non \u00e8 una radice del polinomio perch\u00e9 non \u00e8 un valore che annulla il polinomio, o in altre parole il valore numerico del polinomio in <em>x=3<\/em> \u00e8 diverso da zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b093c5f3d6e2bac6c79c9c0a73182f39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(3)=3^2-3\\cdot 3+2 = 9-9+2=2  \\color{blue} \\bm{\\neq  0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Probabilmente adesso hai capito meglio cos&#8217;\u00e8 la radice di un polinomio, ma non ti piacerebbe sapere quante radici ha un polinomio? Oppure come trovare tutte le radici di un polinomio? Bene, questo \u00e8 esattamente ci\u00f2 che vedremo nella prossima sezione. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFComo-calcular-todas-las-raices-de-un-polinomio\"><\/span> Come calcolare tutte le radici di un polinomio?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per trovare tutte le radici di un polinomio, \u00e8 necessario seguire i seguenti passaggi:<\/p>\n<ol style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;>\n<li><span style=\" color:#262626;font-weight:=\"\" normal;\"=\"\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"><span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Innanzitutto vengono calcolati tutti i divisori del termine indipendente del polinomio.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">In secondo luogo, tutti i valori trovati nel passaggio precedente vengono valutati nel polinomio.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Infine, se nel valutare un numero nel polinomio il suo valore numerico \u00e8 uguale a zero, detto numero \u00e8 una radice del polinomio. Altrimenti detto numero non corrisponde ad una radice del polinomio.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Questa procedura si deduce dal <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-teorema-del-resto-ed-esercizi-risolti\/\">teorema del resto<\/a><\/span><\/strong> , clicca su questo link per scoprire il motivo di questa particolare procedura. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplo-de-como-se-calculan-las-raices-de-un-polinomio\"><\/span> Esempio di calcolo delle radici di un polinomio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Di seguito risolveremo passo dopo passo un esempio in modo che tu possa capire meglio come ricavare le radici di un polinomio.<\/p>\n<ul>\n<li> Quali sono tutte le radici del seguente polinomio?<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b4f499034ee1404f872bd26694996e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^2-5x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto dobbiamo trovare i divisori del termine indipendente, perch\u00e9 ogni radice di un polinomio \u00e8 anche divisore del termine indipendente. Quindi i divisori di 6 sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Divisori di 6: +1, -1, +2, -2, +3, -3<\/p>\n<p> Ricorda che se un numero \u00e8 un divisore, anche il suo negativo \u00e8 un divisore. Poich\u00e9 un numero \u00e8 divisibile per numeri positivi e negativi.<\/p>\n<p> Pertanto le possibili radici o zeri del polinomio sono: \u00b11, \u00b12, \u00b13. Pertanto, dobbiamo determinare il valore numerico del polinomio per tutti questi valori. E, per fare ci\u00f2, sostituiamo questi valori nell&#8217;espressione del polinomio dove c&#8217;\u00e8 una x: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16fa59fcdbbaa92788e0292f40f15365_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1) = 1^2 -5\\cdot 1 +6= 1 -5 +6 =2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e0acf6e160800e125f3efb9799e1cf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1) = (-1)^2 -5\\cdot (-1) +6 =1+5+6 = 12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aad7d84847b59d9fa4d3ad780e20a5d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(2) = 2^2 -5\\cdot 2 +6 =4-10+6= \\color{blue} \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"326\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da1cb9edee6182d6abc4df0155acb975_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2) = (-2)^2 -5\\cdot (-2) +6 =4+10+6 =20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4122327630c5bd1d2835ff1ab612ab00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(3) = 3^2 -5\\cdot 3 +6 =9-15+6=\\color{blue} \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"326\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fc3fe1dc37a53aa473b0ca773a5f500_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-3) = (-3)^2 -5\\cdot (-3) +6 =9+15+6 =30\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi il polinomio scompare solo quando la variabile <em>x<\/em> \u00e8 +2 o +3, quindi ecco le radici del polinomio:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radici o zeri del polinomio<\/strong> : +2 e +3<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte si noti che il polinomio ha tante radici quanto il suo grado, vale a dire che poich\u00e9 il polinomio \u00e8 di secondo grado, ha due radici. Nelle propriet\u00e0 delle radici di un polinomio (sotto), vedremo perch\u00e9 questa caratteristica vale sempre per qualsiasi polinomio.<\/p>\n<p> Abbiamo appena visto un modo per trovare le radici di un polinomio. Esistono per\u00f2 anche altri metodi per raggiungere questo obiettivo, ad esempio si possono trovare le radici di un polinomio anche con la regola di Ruffini. Clicca sul seguente link per vedere <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/regole-risolte-esempi-esercizi-ruffini\/\">esempi della regola Ruffini<\/a><\/span><\/strong> , qui scoprirai in cosa consiste questo noto metodo e, inoltre, quali sono le differenze tra le due procedure. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-de-las-raices-de-un-polinomio\"><\/span> Propriet\u00e0 delle radici di un polinomio<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Le radici o zeri di un polinomio hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ol start=\"1\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Come abbiamo visto in precedenza, le radici intere (o zeri) di un polinomio sono divisori del termine indipendente del polinomio.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<ol start=\"2\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Se conosciamo tutte le radici di un polinomio, possiamo esprimere detto polinomio sotto forma di prodotti di binomi del tipo\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab8c02c3b91a39a9d1a155e9d0c5fa93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-a).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Ad esempio, il polinomio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa4ef60979e504a668114218a4258c12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3+3x^2-x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Ha 3 radici che sono<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a62eca4d3d0e41d5d4b43e484a9b451_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1, x=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18062540cd799901f80ebaea09891a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-3.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"61\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Possiamo quindi riscrivere il polinomio sotto forma di 3 moltiplicazioni di fattori, ciascuna formata dalla variabile<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e una radice ha cambiato segno:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce071610927d2723c8ac2e7b299c1c5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\definecolor{vermell}{HTML}{F44336}\\definecolor{blau}{HTML}{2196F3}\\definecolor{verd}{HTML}{27AE60} P(x) =x^3+3x^2-x-3 \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'ices} \\begin{cases} x=\\color{verd}\\bm{+1} \\\\[2ex] x=\\color{vermell}\\bm{-1} \\\\[2ex] x=\\color{blau}\\bm{-3}\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"131\" width=\"609\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a69abcf91f1dec9f01082f2d5866fa01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{vermell}{HTML}{F44336}\\definecolor{blau}{HTML}{2196F3}\\definecolor{verd}{HTML}{27AE60}P(x) =x^3+3x^2-x-3 = (x\\color{verd}\\bm{-1}\\color{black})\\cdot (x\\color{vermell}\\bm{+1}\\color{black}) \\cdot (x\\color{blau}\\bm{+3}\\color{black})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"582\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo si chiama fattorizzazione polinomiale. Infatti, una delle principali applicazioni per determinare le radici di un polinomio \u00e8 che vengono utilizzate per fattorizzarlo. Nel seguente link potrai scoprire in cosa consiste questa particolarissima operazione e, inoltre, potrai esercitarti con <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">esercizi di fattorizzazione polinomiale risolta<\/span><\/strong><\/a> .<\/p>\n<ol start=\"3\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Un polinomio ha tante radici quante ne indica il grado. Quindi, un polinomio di secondo grado avr\u00e0 2 radici, un polinomio di terzo grado avr\u00e0 3 radici, un polinomio di quarto grado avr\u00e0 4 radici e cos\u00ec via.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<ol start=\"4\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Se un polinomio non ha un termine indipendente, significa che una delle sue radici \u00e8 0. Allora le restanti radici devono essere divisori del coefficiente del monomio di grado pi\u00f9 basso.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Ad esempio, il seguente polinomio non ha termini indipendenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06bfb6282e808e7365c497c01ff60eee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3+x^2-2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi una radice del polinomio deve necessariamente essere 0. E le restanti radici sono divisori del coefficiente del termine di grado pi\u00f9 basso, cio\u00e8 -2. Pi\u00f9 precisamente, le altre radici lo sono<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eec86cbca5afb38459e47b0dce5eb23a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffba38287436639a3011d50b97654cd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> quindi tutte le radici del polinomio sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Radici o zeri del polinomio: 0, +1 e -2<\/p>\n<ol start=\"5\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Quando non \u00e8 possibile determinare le radici di un polinomio si dice che \u00e8 irriducibile.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Ad esempio, proveremo a calcolare le radici del seguente polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d20f05e1f8e2433a542f83bfaf519e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^2+3x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le uniche radici possibili del polinomio sono i divisori di -1, cio\u00e8 -1 e +1. Valutiamo quindi il polinomio a questi valori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1128c014be9c5f642dd8a249c0fc7bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1) = 1^2 +3\\cdot 1 -1= 1 +3 -1 =3 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"318\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15853e7e7134e2b54d4470568ea6b92a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1) = (-1)^2 +3\\cdot (-1)-1 =1-3-1 =-3 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"401\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In nessun caso il polinomio si cancella, quindi non ha radici e, quindi, \u00e8 un polinomio irriducibile.<\/p>\n<ol start=\"6\" style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#0c0c0c;font-weight: normal;\">Quando il polinomio \u00e8 formato dal prodotto di pi\u00f9 polinomi, non \u00e8 necessario fare questo prodotto per calcolare le radici, ma le radici del polinomio sono le radici di ciascun fattore moltiplicate.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Ad esempio, se abbiamo il seguente polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5b7b6a31a96b6ed2e2e0187ea6aa8ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x-2) \\cdot (x+1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dalla seconda propriet\u00e0 delle radici dei polinomi si deduce che la radice del polinomio di sinistra \u00e8 +2 e la radice del polinomio di destra \u00e8 -1.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18a96a84b626c71b099da0c446b6367f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (x-2) \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'iz} \\ x=+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10dab76581eedafb14febe2a82f03005_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (x+1) \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'iz} \\ x=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi le radici del polinomio risultante dalla moltiplicazione dei due fattori sono le rispettive radici, cio\u00e8 +2 e -1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-416399918b5a2a051a6bfc7343ef7960_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  P(x) = (x-2) \\cdot (x+1) \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'ices} \\ \\begin{cases}x=+2  \\\\[2ex] x=-1 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"357\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-de-raices-de-polinomios\"><\/span> Esercizi risolti sulle radici dei polinomi<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Determina se<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c11e65374dfa6f887fb53ffc5765aed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = -4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una radice del seguente polinomio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af9bc84f96cb9f496322a41fe8818906_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+2x^2-11x-12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"216\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per scoprire se<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3dc975a98ccada6f136856736d7df06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una radice del polinomio, dobbiamo valutarlo su quel valore. Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c88c4456693b0c57d55aba68287414c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(-4)&amp; =(-4)^3+2\\cdot (-4)^2-11\\cdot (-4) -12 \\\\[2ex] &amp; = -64+2\\cdot 16 +44 -12 \\\\[2ex] &amp; = -64+32+44 -12 \\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"333\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il valore numerico del polinomio in<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3dc975a98ccada6f136856736d7df06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 zero, quindi \u00e8 effettivamente una radice del polinomio.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Calcola tutte le radici del seguente polinomio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f4ac06469282d1968cf43d2d7dc35ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2-3x+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Innanzitutto, per trovare le possibili radici del polinomio, dobbiamo trovare i divisori del termine indipendente. Quindi i divisori di 2 sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Divisori di 2: +1, -1, +2, -2<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le possibili radici o zeri del polinomio sono quindi \u00b11 e \u00b12. Dobbiamo quindi calcolare quanto vale il polinomio in tutti questi valori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41fba5390c3cecf1515f0a03890981a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1)=1^2-3\\cdot 1+2 =1-3+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8bfa6157619295c166a356db7b6fd1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1)=(-1)^2-3\\cdot (-1)+2 =1+3+2=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"355\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6c2ccc218c0f8e8ffd9eb599a0063b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(2)=2^2-3\\cdot 2+2 =4-6+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d10352d63709d5958d81f4910c0bf9cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=(-2)^2-3\\cdot (-2)+2 =4+6+2=12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, il polinomio scompare quando <em>x<\/em> \u00e8 +1 o +2, quindi ecco le radici del polinomio:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radici o zeri del polinomio<\/strong> : +1 e +2<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Trova le radici del seguente polinomio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd0105a18a9affad36c35065a8460095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3-x^2-4x+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dobbiamo prima trovare i divisori del termine indipendente, poich\u00e9 la radice di un polinomio \u00e8 anche un divisore del termine indipendente. Quindi i divisori di 4 sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Divisori di 4: +1, -1, +2, -2, +4, -4<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le possibili radici o zeri del polinomio sono quindi \u00b11, \u00b12 e \u00b14. Dobbiamo quindi trovare il valore numerico del polinomio in tutti questi valori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49c2352542c6a029b23b2f23f505e2d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1)=1^3-1^2-4\\cdot 1+4  =1-1-4+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d1819dce07b117e3afc654b4c3b6f0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1)=(-1)^3-(-1)^2-4\\cdot (-1)+4 =-1-1+4+4=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1732090f2003d044169d6fec895e790e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(2)=2^3-2^2-4\\cdot 2+4 =8-4-8+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d825dc0a2c377ab13e3c1b404252d2eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=(-2)^3-(-2)^2-4\\cdot (-2)+4 =-8-4+8+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eacdec999ade2fcddaa431651bb5a24a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(3)=3^3-3^2-4\\cdot 3+4 =27-9-12+4=10\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"381\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9db73e42d678a731d3343d3b9d61aad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-3)=(-3)^3-(-3)^2-4\\cdot (-3)+4 =-27-9+12+4=20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"491\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, il polinomio scompare solo quando <em>x<\/em> \u00e8 +1, +2 o -2, quindi ecco le radici del polinomio:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radici o zeri del polinomio<\/strong> : +1, +2 e -2<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Trova le radici del seguente polinomio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc922d3e38a3393ff70f5f382ea9518a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3-6x^2+8x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso il polinomio non ha termini indipendenti. Pertanto, secondo la quarta propriet\u00e0 delle radici spiegata sopra, sappiamo che una delle radici del polinomio deve essere 0.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Radici del polinomio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre, in questo caso, le possibili radici non sono i divisori del termine indipendente, bens\u00ec quelle del coefficiente del termine di grado pi\u00f9 basso, cio\u00e8 8:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Divisori di 8: +1, -1, +2, -2, +4, -4, +8, -8<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi le possibili radici o zeri del polinomio sono \u00b11, \u00b12, \u00b14 e \u00b18. Dobbiamo quindi calcolare il valore numerico del polinomio a tutti questi valori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5924a559a5d5fda73011bcc015baf065_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1)=1^3-6\\cdot 1^2+8\\cdot 1 = 1-6+8=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f32e3cf981a0aadf450398e01009ca32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1)=(-1)^3-6\\cdot (-1)^2+8\\cdot (-1) = -1-6-8=-15\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"447\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf97abc29d59bc2bd3ccd23c0dc4c65e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(2)=2^3-6\\cdot 2^2+8\\cdot 2 = 8-24+16=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"333\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfbaf3ddbb35e0e6b0485f470b1d728e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=(-2)^3-6\\cdot (-2)^2+8\\cdot (-2) = -8-24-16=-48\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"466\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0dbed0cbe6b8d889baa7f0bd1defd25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(4)=4^3-6\\cdot 4^2+8\\cdot 4 = 64-96+32=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a055f8dc436c65e9419e66d9af651518_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-4)=(-4)^3-6\\cdot (-4)^2+8\\cdot (-4) = -64-96-32=-192\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"483\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-907d1e28e52de3fb47a1c043f30f9ae2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(8)=8^3-6\\cdot 8^2+8\\cdot 8 = 512-384+64=192\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"376\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-909a39e1a028550d7668da5b6bc4b645_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-8)=(-8)^3-6\\cdot (-8)^2+8\\cdot (-8) = -512-384-64=-960\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"502\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi il polinomio scompare quando <em>x<\/em> \u00e8 +2 o +4, quindi questi valori sono le radici del polinomio. Dobbiamo per\u00f2 aggiungere anche la radice 0 che abbiamo trovato all&#8217;inizio del problema. In conclusione, tutte le radici del polinomio sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radici o zeri del polinomio<\/strong> : 0, +2 e +4<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 5<\/h3>\n<p> Utilizza le propriet\u00e0 delle radici dei polinomi per calcolare le radici del seguente polinomio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4239d0a1f7d60dc0777b21e2358fe0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=(x-1)(x+3)(x^2-x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo visto nella sesta propriet\u00e0 delle radici, quando il polinomio \u00e8 formato dal prodotto di fattori, non \u00e8 necessario calcolare tutte le radici, poich\u00e9 le radici dell&#8217;intero polinomio sono le radici di ciascun fattore.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre, dalla seconda propriet\u00e0 delle radici dei polinomi, possiamo dedurre che la radice del primo fattore \u00e8 +1 e la radice del secondo fattore \u00e8 -3. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-607af42f41a1a5a52051391d5d47ca3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (x-1) \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'iz} \\ x=+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-791d22dce6bc5be0f80587bcb546aa7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (x+3) \\ \\longrightarrow \\ \\text{ra\\'iz} \\ x=-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi dobbiamo solo trovare le radici dell&#8217;ultimo fattore. Per fare ci\u00f2 troviamo i divisori del termine indipendente (-2):<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Divisori di -2: +1, -1, +2, -2<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi le possibili radici o zeri dell&#8217;ultimo polinomio sono \u00b11 e \u00b12. Con cui dobbiamo calcolare il valore numerico di detto polinomio in tutti questi valori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbe8195e9f2004a13690e93c706dda7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q(x)= x^2-x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99c067ce0e31bf3211cca04bcfce7426_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q(1)=1^2-1-2=1-1-2=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1180dacd124c0c5f5b638814d572bcf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q(-1)=(-1)^2-(-1)-2=1+1-2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a685aef3ac803e8600783a6b05555479_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q(2)=2^2-2-2=4-2-2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0311cf59227e5a6fcd7b92715e080f06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q(-2)=(-2)^2-(-2)-2=4+2-2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le radici del polinomio a destra sono quindi -1 e 2.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, le radici dell&#8217;intero polinomio sono tutte le radici trovate:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radici o zeri del polinomio<\/strong> : +1, -1, +2, -3 <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina scoprirai cosa sono le radici di un polinomio e come si calcolano. 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