{"id":45,"date":"2023-09-17T10:57:01","date_gmt":"2023-09-17T10:57:01","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/problemi-di-ottimizzazione\/"},"modified":"2023-09-17T10:57:01","modified_gmt":"2023-09-17T10:57:01","slug":"problemi-di-ottimizzazione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/problemi-di-ottimizzazione\/","title":{"rendered":"Problemi di ottimizzazione"},"content":{"rendered":"<p>Qui spieghiamo come i problemi di ottimizzazione delle funzioni vengono risolti in pi\u00f9 fasi. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi risolti su problemi di ottimizzazione. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-los-problemas-de-optimizacion\"><\/span> Cosa sono i problemi di ottimizzazione?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>I problemi di ottimizzazione<\/strong> sono problemi in cui bisogna trovare il massimo o il minimo di una funzione. Ad esempio, un problema di ottimizzazione comporterebbe il calcolo del massimo di una funzione che definisce i profitti di un&#8217;azienda. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-resolver-los-problemas-de-optimizacion\"><\/span> Come risolvere i problemi di ottimizzazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Passaggi per risolvere i problemi di ottimizzazione delle funzioni:<\/p>\n<ol>\n<li> <strong>Imposta la funzione<\/strong> che deve essere ottimizzata.<\/li>\n<li> <strong>Derivare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/li>\n<li> Trovare i <strong>punti critici<\/strong> della funzione da ottimizzare. Per fare ci\u00f2, \u00e8 necessario impostare la derivata della funzione uguale a zero e risolvere l&#8217;equazione risultante.<\/li>\n<li> Studiare la monotonia della funzione e <strong>determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong> <\/li>\n<\/ol>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-problema-de-optimizacion\"><\/span> Esempio di problema di ottimizzazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Considerando la teoria dei problemi di ottimizzazione, risolveremo passo dopo passo un problema di questo tipo in modo che tu possa vedere come vengono svolti.<\/p>\n<ul>\n<li> Tra tutti i triangoli rettangoli i cui cateti misurano complessivamente 10 cm, calcola le dimensioni di quello con la superficie massima.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Per risolvere il problema chiameremo un ramo del triangolo <em>x<\/em> e l&#8217;altro ramo <em>y<\/em> : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-optimisation-probleme.webp\" alt=\"problema di ottimizzazione del triangolo\" class=\"wp-image-2463\" width=\"172\" height=\"156\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><strong><span style=\"color:#1976d2;\">Passaggio 1:<\/span><\/strong> impostare la funzione da ottimizzare.<\/u><\/p>\n<p> Vogliamo che l&#8217;area del triangolo sia massima e la formula per l&#8217;area di un triangolo \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1fe72037bfa7f8a181f8f92fdeb5a93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = \\cfrac{b \\cdot h}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nel nostro caso la base del triangolo \u00e8 <em>x<\/em> e la sua altezza <em>\u00e8 y<\/em> . Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fffb2f09f07fa450174fda22346dc38d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = \\cfrac{x \\cdot y}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abbiamo gi\u00e0 la funzione da ottimizzare, ma dipende da due variabili mentre pu\u00f2 dipendere solo da una. Tuttavia, la dichiarazione ci dice che le due gambe devono avere una lunghezza totale di 10 cm. Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97009913e60b18a66b47683b142eaa14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x+ y = 10\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolviamo <em>y<\/em> da questa equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9093174098ec3aeadce1fa9dd3724c27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = 10 -x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E sostituiamo l&#8217;espressione nella funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9ab3460a669f3a70a608b0a4c64f520_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = \\cfrac{x \\cdot y}{2} \\ \\xrightarrow{ y \\  = \\ 10 -x } \\ A = \\cfrac{x(10-x)}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28b512042d814bf88207c8fb0f9a5543_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x) = \\cfrac{10x-x^2}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora abbiamo la funzione di ottimizzazione pianificata e dipende solo da una variabile, quindi possiamo passare al passaggio successivo.<\/p>\n<p> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><strong><span style=\"color:#1976d2;\">Passaggio 2:<\/span><\/strong> calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/u><\/p>\n<p> \u00c8 una funzione razionale, quindi applichiamo la formula della derivata della divisione per ricavarla:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d555f298d7c31d09947787e4d294d59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x) = \\cfrac{10x-x^2}{2} \\ \\longrightarrow \\ A'(x) = \\cfrac{(10-2x) \\cdot 2 - (10x-x^2) \\cdot 0}{2^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"467\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00979b72662361213ec4611a28e935a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x) = \\cfrac{20-4x}{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><strong><span style=\"color:#1976d2;\">Passaggio 3:<\/span><\/strong> trovare i punti critici.<\/u><\/p>\n<p> Per trovare i punti critici della funzione, dobbiamo porre la derivata uguale a zero e risolvere l&#8217;equazione risultante:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91e81f70cf7bd6388f6511629d203f7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5753c4fdb7aaae61182eac6fd15e52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{20-4x}{4} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il 4 divide l&#8217;intero lato sinistro, quindi possiamo moltiplicarlo moltiplicando l&#8217;intero lato destro: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23e63171262e022c8a63e717b31ed0b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"20-4x=0 \\cdot 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"113\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e9b9b9a13bafb9de785e9cf5b3e86ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"20-4x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"91\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e71409a99fca0883bc173a6df1b8c3af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-4x=-20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"87\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66b399752305ae60043d99032ba112d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{-20}{-4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddab230605c435eb8b7408a736d3e77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Passaggio 4:<\/strong><\/span> studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/u><\/p>\n<p> Per studiare la monotonia della funzione rappresentiamo il punto critico che troviamo a destra: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-5.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2466\" width=\"227\" height=\"88\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Per fare ci\u00f2, prendiamo un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo quale segno ha la derivata in quel punto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00979b72662361213ec4611a28e935a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x) = \\cfrac{20-4x}{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c9fbc0304871964748873af9e9918c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(0) = \\cfrac{20-4\\cdot0}{4} = \\cfrac{20}{4} = 5  \\  \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"264\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05c98faeaeb88c5826a71a45b3e9c88a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(6) = \\cfrac{20-4\\cdot6}{4} = \\cfrac{20-24}{4} = \\cfrac{-4}{4} = -1   \\  \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-5-positif-negatif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2467\" width=\"227\" height=\"160\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione \u00e8 crescente, se la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione \u00e8 decrescente. Pertanto gli intervalli per aumentare e diminuire la funzione sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-188a50f6279237f5c478c7116a509d49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty, 5)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-743f877080ce04389168296915ca6795_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(5,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> A x=5 la funzione passa da crescente a decrescente, quindi <strong>x=5 \u00e8 un massimo relativo<\/strong> della funzione da ottimizzare <strong>.<\/strong><\/p>\n<p> Pertanto x=5 \u00e8 il valore del ramo del triangolo che ha l&#8217;area massima. Basta calcolare il valore dell&#8217;altra gamba:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d396031e1a0eb65570a9f95d6701f9c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = 10 -x \\ \\xrightarrow{x \\ = \\ 5} \\ y = 10-5= \\bm{5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In conclusione i valori che massimizzano l\u2019area massima del triangolo sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85b25208de94c730a3de04d6d428dc59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x=5} \\ \\mathbf{cm}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"75\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7e41736bd949777d18ec2a79b0beb93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{y=5} \\ \\mathbf{cm}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"problemas-de-optimizacion-resueltos\"><\/span> Problemi di ottimizzazione risolti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Problema 1<\/h3>\n<p> La medicina viene somministrata a una persona malata e<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4e3cbf5d4c5c6d9b702dd139f14c147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> qualche ora dopo, la concentrazione ematica del principio attivo \u00e8 data dalla funzione<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57f138f86e1400954205e4b91ed3103c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c(t) = te^{\u2212t\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> milligrammi per millilitro. Determinare il valore massimo di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4be04707471a329c8bde249ab6cf526_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c(t)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> e indica quando tale valore viene raggiunto. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo problema ci danno gi\u00e0 la funzione proposta, ovvero<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02fb8044e28a7e9ba53c1eb64bfec693_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle c(t) = t e^{-t\/2} .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione \u00e8 composta dal prodotto di 2 funzioni. Pertanto, per calcolare la derivata della funzione, dobbiamo applicare la regola della derivata di un prodotto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1975d832fe40c4c12a2a4986244e3c24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle c'(t)=1 \\cdot e^{-t\/2} + t \\cdot e^{-t\/2} \\cdot \\left( \\frac{-t}{2} \\right)'= e^{-t\/2} + t e^{-t\/2} \\cdot  \\frac{-1}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"430\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d730042a2ff5df46d19bce35fe24392_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c'(t)=e^{-t\/2} + \\cfrac{-1}{2}t  e^{-t\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-626f673c4823e1bd527925bfe91d558f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c'(t)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64818981c87104d6e0b400434ce53533_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c'(t)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d9ebad9fa6bc78dc99b358f4786999f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle e^{-t\/2} + \\frac{-1}{2}t  e^{-t\/2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Prendiamo il fattore comune per risolvere l&#8217;equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-410004b26bf5de6dc03c12491bee91b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle e^{-t\/2} \\left(1 - \\frac{1}{2}t \\right) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Perch\u00e9 la moltiplicazione sia uguale a 0, uno dei due elementi della moltiplicazione deve essere zero. Pertanto, impostiamo ciascun fattore uguale a 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8390139724dbc4ad014db2a76e508290_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle e^{-t\/2}\\cdot \\left(1 - \\frac{1}{2}t \\right) = 0 \\longrightarrow \\begin{cases} e^{-t\/2}=0 \\ \\bm{\\times} \\\\[2ex]\\displaystyle 1 - \\frac{1}{2}t=0 \\ \\longrightarrow \\ 1= \\frac{1}{2}t \\ \\longrightarrow \\ \\bm{2=t} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"486\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Un numero elevato a un altro numero non pu\u00f2 mai dare 0, quindi,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10b6a1e4b24bf63d08aeff4da0374d25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"e^{-t\/2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"71\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Non c&#8217;\u00e8 soluzione.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per studiare la monotonia della funzione rappresentiamo il punto critico che troviamo a destra: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-2.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2469\" width=\"204\" height=\"79\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904d140578309f45e9c53d2a9a35e32d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle c'(0)=e^{-0\/2} + \\frac{-1}{2}\\cdot 0 \\cdot e^{-0\/2} = e^0 +\\frac{-1}{2}\\cdot 0 \\cdot e^{0} = 1 + 0 = 1 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"508\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ada4b79153afee560564a81df8d0c46f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle c'(3)=e^{-3\/2} + \\frac{-1}{2}(3)e^{-3\/2} = 0,22-0,33 = -0,11 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"449\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-deux-positif-negatif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2472\" width=\"202\" height=\"143\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione aumenta, se invece la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione diminuisce. Pertanto gli intervalli di crescita e decremento della funzione da ottimizzare sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3868632c123ece40100b3a40c266cc25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c9901d11cc4672cab7e1e2a6de08ce4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(2,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione passa da crescente a decrescente in t=2, quindi <strong>t=2 \u00e8 il massimo<\/strong> della funzione. La concentrazione massima sar\u00e0 quindi raggiunta in <strong>t=2 ore.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, sostituiamo il valore in corrispondenza del quale si verifica il massimo nella funzione originale, per trovare il valore della concentrazione massima: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd8123e6fd3fe714d1784775375011f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c(2) = 2 \\cdot e^{-2\/2} = 2\\cdot e^{-1} = 2 \\cdot 0,37 = \\bm{0,74} \\ \\mathbf{mg\/ml}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"391\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Problema 2<\/h3>\n<p> Un negozio spera di vendere 40 scooter elettrici al prezzo di 1.000 euro ciascuno. Ma secondo una ricerca di mercato, per ogni riduzione di 50 euro sul prezzo dello scooter, ci sar\u00e0 un aumento delle vendite dei 10 scooter pi\u00f9 venduti.<\/p>\n<p> Per prima cosa scrivere la funzione di ricavo del negozio in base al numero di volte in cui il prezzo originale dello scooter, pari a 1.000 $, viene ridotto di 50 $. Successivamente, determina il prezzo dello scooter per ottenere il massimo profitto e le entrate guadagnate a quel prezzo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La formulazione del problema ci fornisce un indizio, poich\u00e9 ci dice che la funzione deve dipendere dal numero di volte in cui il prezzo iniziale viene ridotto di 50$. Chiameremo quindi x il numero di volte in cui il prezzo verr\u00e0 ridotto di 50\u20ac:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d0357e75c58ab161e387dae18d3a6f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\text{N\\'umero de veces que se rebaja el precio 50}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"368\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u20ac<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione del ricavo sar\u00e0 il numero di scooter venduti moltiplicato per il prezzo di ciascuno scooter:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f04d6d19de5d7a7ad8dceadfbbdbdbe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= \\text{N\\'umero patintetes vendidos} \\cdot \\text{Precio de cada patinete}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"470\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il numero di scooter venduti sar\u00e0 di 40 pi\u00f9 10 scooter per ogni riduzione di prezzo di 50 \u20ac. Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88b7464372c9683d065acbdbe2598cbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{N\\'umero patintetes vendidos} = 40 + 10x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il prezzo di ogni scooter sar\u00e0 di 1.000 \u20ac alla partenza e diminuir\u00e0 di 50 \u20ac ad ogni calo di prezzo. Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c22a7a64d350ea748ad2b4b3decd217_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"291\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione per ottimizzare il problema \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f04d6d19de5d7a7ad8dceadfbbdbdbe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= \\text{N\\'umero patintetes vendidos} \\cdot \\text{Precio de cada patinete}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"470\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cbffd131757d106f869b562d4e35c4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= (40 + 10x) \\cdot (1000-50x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ae987678d7542e5d127fc02f8bf4daf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= 40000-2000x+10000x-500x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-902cc0a5c209ed48e3d93432b5550b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= -500x^2+8000x+40000\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Essendo una funzione polinomiale, la derivata \u00e8 pi\u00f9 semplice da calcolare:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acb8d705be4d3a30be83d2800f4d2403_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= -500x^2+8000x+40000\\ \\longrightarrow \\ I'(x)= -1000x+8000\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"477\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b55b4fb6ca5af90f829cb082893a5519_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I'(x)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b48142b0c92fea1f9dd87af211ada6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I'(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a0d58fd339d02e3f71b7fe031726cad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1000x+8000=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a03bae4e019041d174c51fced30954ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1000x=-8000\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"132\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67f8bf53c9c10c3384f729890f57b4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{-8000}{-1000} = 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per studiare la monotonicit\u00e0 della funzione, rappresentiamo il punto critico calcolato sulla retta numerica: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-8.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2481\" width=\"234\" height=\"91\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf47c71ae832d734c6e5f525efa05b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I'(0)= -1000\\cdot 0+8000=8000 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9df9f5fdff3d4ba6dcd7f17c68b16c2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I'(10)= -1000\\cdot 10+8000=-2000 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"331\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-8-positif-negatif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2482\" width=\"239\" height=\"169\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione \u00e8 crescente, se la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione \u00e8 decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d85d36c78a812c7c5a8f127bb5145c42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba6980946255650ee8fe4dbc4c87c681_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(8,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione passa da crescente a decrescente in x=8, quindi <strong>x=8 \u00e8 il massimo<\/strong> della funzione. Pertanto il guadagno massimo si otterr\u00e0 effettuando <strong>8 volte la riduzione di 50\u20ac.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sostituiamo ora il valore in corrispondenza del quale appare il reddito massimo nella funzione originale, per trovare il valore del reddito massimo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-902cc0a5c209ed48e3d93432b5550b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(x)= -500x^2+8000x+40000\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fce0d14898ab44824c50e758de24099d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I(8)= -500\\cdot 8^2+8000\\cdot 8+40000 = \\bm{72000}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>\u20ac<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E il prezzo di ogni scooter dopo aver effettuato 8 volte lo sconto di 50\u20ac sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c22a7a64d350ea748ad2b4b3decd217_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"291\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4646c3d785d36e70ba549b9672b697c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50\\cdot 8=\\bm{600}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"353\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> <strong>\u20ac<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Problema 3<\/h3>\n<p> La funzione di costo (in migliaia di euro) di un\u2019azienda pu\u00f2 essere determinata utilizzando la seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c84c0900acd506ad979886e5b5f10ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=40-6x+x^2, \\quad x \\ge  0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> rappresenta le migliaia di unit\u00e0 prodotte di un dato articolo.<\/p>\n<p> Determinare quanto deve essere prodotto affinch\u00e9 il costo sia minimo, quale sarebbe tale costo e quale sarebbe il costo se nessuno di questi articoli fosse prodotto. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La formulazione del problema ci fornisce gi\u00e0 la funzione da ottimizzare, ovvero<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dc6eb92c2776f8026c348e7e5824d09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=40-6x+x^2 .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"160\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5056826599d14c0ff8aa3ec134a68b0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=40-6x+x^2 \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=-6+2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"332\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58dcd049349f740f082d583dfd9e364c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36700780d306ccf4975387990b1949fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecec21f50b0875af5ebb5c55ef5e2502_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-6+2x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d47687d0a8cb82ab26be7eadf0d7f3c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f1ffe509b34b0d560397fbc1859cb64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{6}{2} = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Rappresentiamo il punto critico che troviamo a destra: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-3.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2485\" width=\"231\" height=\"90\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2647164feab3d1bdc3e7cdb14c123294_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(0)=-6+2\\cdot 0=-6\\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fe3f1add3273a0ba4d0418a3b9788a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(4)=-6+2\\cdot 4=-6+8=2\\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"298\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-3-negatif-positif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2486\" width=\"231\" height=\"163\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 maggiore di zero, la funzione aumenta in questo intervallo. Se invece la derivata \u00e8 minore di zero la funzione diminuisce in questo intervallo. Pertanto gli intervalli di incremento e decremento della funzione sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbc0e31e2b07080a4f83c2a34053c0f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(3,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a890e45091b2c4c9115051361c0a1a2c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione passa da decrescente a crescente in x=3, quindi <strong>x=3 \u00e8 il minimo<\/strong> della funzione. Pertanto, il costo minimo sar\u00e0 raggiunto producendo <strong>3.000 unit\u00e0.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sostituiamo ora il valore al quale viene raggiunto il costo minimo nella funzione originale per trovare il valore del costo minimo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a1c84d3c81fd4c7ebbecc922cc2288e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3)=40-6\\cdot 3+3^2=\\bm{31}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> milioni di euro.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ci chiedono invece quale sarebbe il costo se non si producesse nulla, cio\u00e8 quando<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa5140cb12e100167e56a99c53750148_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= 0 .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00c8 quindi necessario calcolare<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f92d7beea0ed3a053927c2d429d3450_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7051466b3981f72509f3e5e2aa1d2f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=40-6\\cdot 0+0^2=   \\bm{40}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> milioni di euro.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Problema 4<\/h3>\n<p> Vogliamo costruire una cornice rettangolare in legno che delimiti un&#8217;area di 2 m <sup>2<\/sup> . Sappiamo che il prezzo del legno \u00e8 di 7,5 \u20ac\/m per i lati orizzontali e di 12,5 \u20ac\/m per i lati verticali. Determinare le dimensioni che deve avere il rettangolo affinch\u00e9 il costo totale della cornice sia il minimo possibile e che detto costo sia minimo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per risolvere il problema, chiameremo <em>x<\/em> il lato orizzontale e <em>y<\/em> il lato verticale : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/rectangle-fonction-optimisation-problemes.webp\" alt=\"problemi di ottimizzazione della funzione rettangolare\" class=\"wp-image-2490\" width=\"166\" height=\"188\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;acquisto del lato orizzontale costa 7,5\u20ac mentre l&#8217;acquisto del lato verticale costa 12,5\u20ac. Inoltre, per ogni cornice abbiamo bisogno di due lati orizzontali e due lati verticali. Pertanto il costo del serramento pu\u00f2 essere determinato con la seguente funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8485280ab046816dfbd587b192901fb9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(x,y)= 7,5\\cdot 2x+12,5 \\cdot 2y = 15x +25y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abbiamo gi\u00e0 la funzione da ottimizzare. Ma dipende da due variabili quando pu\u00f2 dipendere solo da una. Tuttavia il comunicato ci dice che la superficie del telaio deve essere di 2 m <sup>2<\/sup> . Ancora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13ea4da7e9b4674fdd1a733e0e3cd26e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x \\cdot y = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eliminiamo la variabile <em>y<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e00a5c6da8de49964d27f2941dac8a4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y =\\cfrac{2}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E sostituiamo l&#8217;espressione trovata nella funzione da ottimizzare: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cb9add65869ac746532ac4bf1537eb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(x,y)= 15x +25y\\ \\xrightarrow{y \\ = \\ \\frac{2}{x} } \\ C(x)= 15x+25\\left(\\cfrac{2}{x} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"396\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e232dbf6025d3b8d6593e4157cd09bff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(x)= 15x+\\cfrac{50}{x} =15x +50x^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ef3647de078c1f760dc37a5d3d6b68e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(x)=15x +50x^{-1} \\ \\longrightarrow \\ C'(x)=15 -50x^{-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"359\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97f234a562c87b78e257fc7953dee7ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C'(x)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8732228827d41a41af6935b1f0bdc0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C'(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdaf71028a32e2818a7ec3376338df75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"15 -50x^{-2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"117\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bf1bee39e8e6e8f54b838f7dc8810d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"15 =50x^{-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"86\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4f9337813bfb8c7bf0d09f9889514c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"15=\\cfrac{50}{x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0aea588515cc1c895b2ca5030cd55ffc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{15}{1}=\\cfrac{50}{x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Moltiplichiamo trasversalmente per risolvere l&#8217;equazione con le frazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99a602636bc09eb630e637ec6454c8ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"15 \\cdot x^2 = 50 \\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcdd7918a1af31e63925cb694da7d6be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2 = \\cfrac{50}{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9090b3956470b16769ec2ae441f2d30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2 = 3,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92abf359db44a399822919b1bb62e7cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt{x^2} = \\sqrt{3,33}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b87ffa5999c0bbea78cc07d6a412460a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = 1,83\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Rappresentiamo il punto critico trovato per analizzare la monotonia della funzione sulla retta: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-183.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2491\" width=\"206\" height=\"80\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64f2221e9103ecdcb21609567e990135_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1)=15 -50\\cdot 1^{-2} = 15-50 = -35 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"347\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad12501e06c6997d1555df684480d38b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2)=15 -50\\cdot 2^{-2} = 15-12,5 = 2,5 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"358\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-183-negatif-positif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2493\" width=\"206\" height=\"146\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione \u00e8 crescente, se la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione \u00e8 decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8e4f82a46ac576b10134beda86f0bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,83,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57f0911e594b424ad7908294a15f1b84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,1,83)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione cambia da decrescente ad crescente in x=1,83, quindi <strong>x=1,83 \u00e8 il minimo<\/strong> della funzione.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto x=1,83 \u00e8 il valore del lato orizzontale che rappresenta il costo minimo. Ora calcoliamo il valore del lato verticale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-325134d449963e4d814cdd19a87bdfd4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y =\\cfrac{2}{x} \\ \\longrightarrow \\ y =\\cfrac{2}{1,83} = \\bm{1,09}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, i valori che compongono il costo quadro minimo sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> lato orizzontale<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8b9148690c3a5b5e441df6c02e23e85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"= x = \\bm{1,83} \\ \\mathbf{m}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> lato verticale<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ad15cb0e6023282190abbb21c5f8a47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"= y = \\bm{1,09} \\ \\mathbf{m}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E il costo minimo raggiunto con questi valori \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef42a21eacaeb4cd25b5e43c15e268b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C= 15\\cdot 1,83+25\\cdot 1,09=\\bm{54,70}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> <strong>\u20ac<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Problema 5<\/h3>\n<p> La porta di una cattedrale \u00e8 formata da un arco semicirconferenziale sorretto da due colonne, come mostrato nella figura seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/problemes-d-optimisation-de-la-geometrie.webp\" alt=\"problemi di ottimizzazione della geometria\" class=\"wp-image-2500\" width=\"182\" height=\"268\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Se il perimetro della porta \u00e8 di 20 m determinare le misure<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> che massimizza la superficie dell\u2019intera porta. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;area di un cerchio viene calcolata con la formula<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ab0b6b8d454bae5631e7a82caed58d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi r^2.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Quindi l&#8217;area dell&#8217;intera porta sar\u00e0 l&#8217;area del rettangolo pi\u00f9 met\u00e0 dell&#8217;area della circonferenza: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95c1f9b6152c4cbc623aeb8a0a5757b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= x\\cdot y + \\cfrac{1}{2} \\left[ \\pi r ^2 \\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-baa2e14b061cf14a657782db8fe91b92_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= x y + \\cfrac{1}{2} \\left[ \\pi \\left(\\cfrac{x}{2}\\right)^2 \\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"212\" style=\"vertical-align: -27px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9196d8284edebe6450d49aa5a0b6a3e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= x y + \\cfrac{1}{2} \\left[ \\pi \\cdot \\cfrac{x^2}{4} \\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b25e1d2c661585be998d1596d6650c01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= x y +\\cfrac{1}{2} \\left[  \\cfrac{\\pi \\cdot x^2}{4} \\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64a0c7fa480320a1b564fec5f9ff8265_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= xy +\\cfrac{\\pi x^2}{8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abbiamo gi\u00e0 la funzione da ottimizzare. Ma dipende da due variabili quando pu\u00f2 dipendere solo da una.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tuttavia dal comunicato risulta che il perimetro dell&#8217;intero cancello \u00e8 di 20m. Il perimetro di un cerchio si calcola con la formula<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e815d233e188a7121eef89639e48fe75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\pi r.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Pertanto il perimetro dell&#8217;intera porta sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7709d0c72bf84a17ac83bc46f5cce002_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P= x +2y +\\cfrac{1}{2} \\left[ 2 \\pi \\left( \\cfrac{x}{2}\\right) \\right] = x+2y + \\cfrac{2 \\pi x }{2 \\cdot 2} = x+2y + \\cfrac{ \\pi x }{2 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"452\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il perimetro deve essere di 20 m. Impostiamo quindi l&#8217;espressione precedente uguale a 20 per trovare la relazione tra<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a70e6a4387a816f153e8597195143f54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-282aa8aebdd04ba4989ba7466fdd694d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x+2y + \\cfrac{ \\pi x }{2 } = 20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Moltiplichiamo tutti i termini per 2 per eliminare le frazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a185cfda7fb65f370636fa469b0de2c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot x+2\\cdot 2y + 2 \\cdot \\cfrac{ \\pi x }{2 } = 2 \\cdot 20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d67cd2fbdde0f884603e75bf270cb52c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+4y +  \\pi x = 40\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Chiariamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a70e6a4387a816f153e8597195143f54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-740ff13a6824a3ee18cb1de0cbf52660_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4y  = 40-2x- \\pi x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db16e16a94223af02d63ea70eae3db7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y   = \\cfrac{40-2x- \\pi x}{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E sostituiamo l&#8217;espressione trovata nella funzione da ottimizzare: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16c3b1d1a3ac443d4640ae2b72c164e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x,y)= x y +\\cfrac{\\pi x^2}{8}\\ \\xrightarrow{y \\ = \\ \\frac{40-2x- \\pi x}{4} }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f463f9095e8028624678c06a08696a96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x)= x \\cdot \\cfrac{40-2x- \\pi x}{4}+\\cfrac{\\pi x^2}{8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-095586f92b592c3c9c50750f8a6eb7d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(x)= \\cfrac{40x-2x^2-\\pi x^2}{4}+\\cfrac{\\pi x^2}{8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ce3330af662099ad431ee1187d26f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x)=\\cfrac{(40-4x-2\\pi x)\\cdot 4 +(40x-2x^2- \\pi x^2)\\cdot 0 }{4^2} +\\cfrac{2\\pi x \\cdot 8 + \\pi x^2 \\cdot 0}{8^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"544\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a75cddf1efd4f17b6a3211093f2e0b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x)=\\cfrac{160-16x-8\\pi x }{16} +\\cfrac{16\\pi x}{64}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8f5a921f7e1978b553d11a76e0962c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-424f3d5d91120e872bebd055792d71a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89a04d2a2a532f36f15042d2d2c79d41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{160-16x-8\\pi x }{16} +\\cfrac{16\\pi x}{64} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Questa \u00e8 un&#8217;equazione con frazioni, quindi moltiplichiamo ogni termine per i lcm dei denominatori per eliminare le frazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87d60f06d42276c79b3a4f33b00fdb7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"64 \\cdot \\cfrac{160-16x-8\\pi x }{16} +64 \\cdot \\cfrac{16\\pi x}{64} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2a7b3bbdad1ea1bf9f12861b1dbdf0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot ( 160-16x-8\\pi x) +1\\cdot 16\\pi x= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61a4622d4b65310580e066941ae13fac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"640-64x -32 \\pi x +16\\pi x= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"229\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94c6efd66ea5f2f1c68ab09d59fb5432_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-64x -32 \\pi x +16\\pi x= -640\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"226\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdaf73c6d74c3d4f605b5aea3cdeb1ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-64x -16 \\pi x = -640\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bfe710d37882f664daed4de23f2eb7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(-64 -16 \\pi) x = -640\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b551560fd86665e639dbc88aeb88a2bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{-640}{-64 -16 \\pi}  = 5,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per studiare la monotonia della funzione rappresentiamo il punto critico che troviamo a destra: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-56.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2501\" width=\"214\" height=\"83\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8b0c6b03e591be56505c8853595dd0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(0)=\\cfrac{160-16\\cdot 0-8\\pi \\cdot 0 }{16} +\\cfrac{16\\pi \\cdot 0}{64} = 10 +0 = 10 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"456\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91c7e9012e4937dad79ec792910df916_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A'(6)=\\cfrac{160-16\\cdot 6-8\\pi \\cdot 6 }{16} +\\cfrac{16\\pi \\cdot 6}{64} = -5,42 +4,71 = -0,71 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"543\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-56-positif-negatif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2503\" width=\"218\" height=\"155\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione \u00e8 crescente, se la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione \u00e8 decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-375f15fd5182721ee68f606765b66e89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty , 5,6)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce3629c3ea3fa84fd3413a15913976f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(5,6,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione passa da crescente a decrescente in x=5,6, quindi <strong>x=5,6 \u00e8 il massimo<\/strong> della funzione.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ancora,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0d40793b19725cb50b88536bdaf3239_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=5,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore che costituisce la superficie massima. Ora calcoliamo il valore di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a70e6a4387a816f153e8597195143f54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af3ff0bf06cb82b6661c9ead44cabaa6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = \\cfrac{40-2\\cdot 5,6- \\pi \\cdot 5,6}{4} = 2,80\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto i valori che compongono la superficie massima sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25cd4efdc51c2a6fb453056df61536fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x = 5,60} \\ \\mathbf{m}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b69c85499698e995f01f60b2b78ef20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{y = 2,80} \\ \\mathbf{m}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Problema 6<\/h3>\n<p> Vogliamo costruire un serbatoio a forma di cilindro con una superficie di 54 cm <sup>2<\/sup> . Determina il raggio della base e l&#8217;altezza del cilindro in modo che il volume sia massimo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il volume di un cilindro si calcola con la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbe33001d54c8245539894746beb9eac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V= A_{base}\\cdot h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;area della base \u00e8 un cerchio, quindi lo \u00e8 la sua formula<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc935e01b9c94505406438dea94cf121_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A_{\\text{base}}=\\pi r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> . La formula per il volume del cilindro \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df6ffff5ee54af4f7b10424871d1af92_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V= \\pi r^2 \\cdot h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"88\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abbiamo gi\u00e0 la funzione da ottimizzare. Ma dipende da due variabili (<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14b463d0ecd5b350ced6cf1d6a12eef3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ) mentre pu\u00f2 dipendere solo da uno. Tuttavia, l&#8217;affermazione ci dice che l&#8217;area del cilindro deve essere 54 cm <sup>2<\/sup> , quindi sfrutteremo questa condizione per trovare la relazione tra<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f0bf134a8aafe0dfaa4d711f78b8b1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare l&#8217;area di un cilindro bisogna sommare la sua area laterale con le aree delle due basi: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/problemes-optimisation-des-fonctions-verins.webp\" alt=\"problemi di ottimizzazione del cilindrofunctions.png\" class=\"wp-image-2507\" width=\"557\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edd9578a95d32143e6eaf0830db3854b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A_{cilindro} = A_{lateral}+2A_{base} = 2\\pi r h + 2\\pi r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"330\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;area del cilindro deve essere 54 cm <sup>2<\/sup> , quindi poniamo l&#8217;espressione precedente pari a 54 per ottenere il rapporto tra<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6868abdfd034048aa59644d2ac62353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ef4f7f8554876495f8907d4f71e1152_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A_{cilindro} =2\\pi r h + 2\\pi r^2 = 54\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Chiariamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6868abdfd034048aa59644d2ac62353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd73c08d458b0ab2061031782d125ab9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\pi r h = 54 - 2\\pi r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abf53b37d2a3ae4784079bfd67d3007f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h = \\cfrac{54 - 2\\pi r^2}{2\\pi r}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E sostituiamo l&#8217;espressione trovata nella funzione da ottimizzare: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2c47f99ce14b444ed73661b2b568e8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V=  \\pi r^2 \\cdot h \\xrightarrow{h \\ = \\ \\frac{54 - 2\\pi r^2}{2\\pi r} } V = \\pi r^2 \\cdot \\cfrac{54 - 2\\pi r^2}{2\\pi r}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"346\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81d564fcd7cdf880066ed3eb6eb9a18a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V = \\cancel{\\pi}  r^{\\cancel{2}} \\cdot \\cfrac{54 - 2\\pi r^2}{2 \\cancel{\\pi} \\cancel{r}} =r \\cdot \\cfrac{54 - 2\\pi r^2}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f95e7e1fc6088ba84a7b3885fe929d58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V(r) = r \\cdot (27 - \\pi r^2)= 27r - \\pi r^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58e3403f2812564067058ece1bcd83ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V(r)=27r - \\pi r^3\\ \\longrightarrow \\ V'(r)= 27-3 \\pi r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"324\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 3: trovare i punti critici.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare i punti critici della funzione, risolviamo <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e868c9ed52907fbe13197b00c29b7d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V'(r)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3de17aa96e46530402559cf14e8db4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V'(r)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10638a98b4a67b085c0854f95c86a65b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"27-3 \\pi r^2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"108\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e31d335383816f692cd02cb2ca8f55b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3 \\pi r^2=-27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff57ef2a3aa07b3c9f9f76a9cb00f484_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r^2=\\cfrac{-27}{-3\\pi }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d9e55eb22dc67a402b53bbb9ca17298_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r^2=2,86\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c7c4c4acf5b028e2dbba11dfc83d20b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt{r^2}=\\sqrt{2,86}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01af3fa2bc910bd2da923aa2c83e1d7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r=1,69\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per studiare la monotonicit\u00e0 della funzione, rappresentiamo il punto critico che si trova sulla retta numerica: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-169.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2508\" width=\"232\" height=\"90\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione \u00e8 crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d2aa45b6cfc986ec1e33cdd5e9266e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V'(0)= 27-3 \\pi\\cdot 0^2 = 27-0 = +27 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"333\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c599118454ccdcc0e318f01ac61b84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"V'(2)= 27-3 \\pi \\cdot 2^2 = 27-37,70 = -10,70 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"393\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-169-positif-negatif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2509\" width=\"249\" height=\"176\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Se la derivata \u00e8 positiva significa che la funzione \u00e8 crescente, se la derivata \u00e8 negativa significa che la funzione \u00e8 decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Crescita:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5e2776182fc7c0a5138adfee1aafaaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,1,69)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Diminuire:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4ac44f6269498e03069a77e1989c8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,69,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione passa da crescente a decrescente in r=1,69, quindi <strong>r=1,69 cm \u00e8 il massimo<\/strong> della funzione.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto r=1,69 \u00e8 il valore del raggio che costituisce il volume massimo. Ora calcoliamo l&#8217;altezza:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-381f3c5eb279572f486e28e68f0c5af2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h = \\cfrac{54 - 2\\pi \\cdot 1,69^2}{2\\pi \\cdot1,69} = \\cfrac{54 - 17,94}{10,62} = 3,39\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi i valori che fanno raggiungere il volume massimo sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Radio<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c99f9d93c8a300be7afef76dfb71379_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{= r = 1,69} \\ \\mathbf{cm}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Altezza<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ee2564c5e4b2a4e4409c392e5d01627_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{= h = 3,39} \\ \\mathbf{cm}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui spieghiamo come i problemi di ottimizzazione delle funzioni vengono risolti in pi\u00f9 fasi. 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