{"id":41,"date":"2023-09-17T10:59:38","date_gmt":"2023-09-17T10:59:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/differenziabilita-di-una-funzione\/"},"modified":"2023-09-17T10:59:38","modified_gmt":"2023-09-17T10:59:38","slug":"differenziabilita-di-una-funzione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/differenziabilita-di-una-funzione\/","title":{"rendered":"Differenziabilit\u00e0 di una funzione"},"content":{"rendered":"<p>In questo articolo imparerai come studiare la differenziabilit\u00e0 di una funzione, cio\u00e8 se una funzione \u00e8 differenziabile o meno. Inoltre, vedremo la relazione tra differenziabilit\u00e0 e continuit\u00e0 di una funzione. Infine studieremo la differenziabilit\u00e0 di una funzione a tratti. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivabilidad-y-continuidad-de-una-funcion\"><\/span> Differenziabilit\u00e0 e continuit\u00e0 di una funzione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>La continuit\u00e0 e la differenziabilit\u00e0<\/strong> di una funzione in un punto sono correlate come segue:<\/p>\n<ul>\n<li> Se una funzione \u00e8 differenziabile in un punto, in quel punto la funzione \u00e8 continua.<\/li>\n<li> Se una funzione non \u00e8 continua in un punto, in quel punto non \u00e8 nemmeno differenziabile.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Tuttavia, il contrario di questo teorema \u00e8 falso: solo perch\u00e9 una funzione \u00e8 continua in un punto non significa che sia sempre differenziabile in quel punto.<\/p>\n<p> Puoi anche vedere se una funzione \u00e8 differenziabile o meno in un punto dalla sua rappresentazione grafica:<\/p>\n<ul>\n<li> Se \u00e8 un <strong>punto liscio,<\/strong> la funzione a questo punto \u00e8 differenziabile.<\/li>\n<li> Se \u00e8 un <strong>punto angolare,<\/strong> la funzione \u00e8 continua ma non differenziabile in questo punto. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-15\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-une-fonction-quadratique-incomplete.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-140\" width=\"250\" height=\"279\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Punto di livellamento<\/strong><\/span> a x=0:<br \/> funzione continua e differenziabile in questa fase. <\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-representer-graphiquement-une-fonction-avec-valeur-absolue.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-230\" width=\"286\" height=\"305\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Punto angolare<\/strong><\/span> in x=2:<br \/> funzione continua ma non differenziabile in questa fase. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivabilidad-de-una-funcion-a-trozos\"><\/span> Differenziabilit\u00e0 di una funzione a tratti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una volta conosciuta la relazione tra continuit\u00e0 e differenziabilit\u00e0 di una funzione, vedremo come studiare la differenziabilit\u00e0 di una funzione definita a tratti.<\/p>\n<p> Puoi capire se una funzione a tratti \u00e8 differenziabile in un punto calcolando le <strong>derivate laterali<\/strong> in quel punto: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFF3E0; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 20px; border-radius:20px;\">\n<ul style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se le derivate laterali in un punto non sono uguali, la funzione in quel punto non \u00e8 differenziabile:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97c60c64dc01a7e0a9084313d15b0886_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x_o^-) \\neq f'(x_o^+) \\ \\longrightarrow\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Non \u00e8 deducibile<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67ab403a6241009b92035b251f86c88e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_o\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se le derivate laterali in un punto coincidono, la funzione in quel punto \u00e8 differenziabile:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f9477828318b9e6392465762f831642_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \\ \\longrightarrow\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> S\u00ec, \u00e8 differenziabile in <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67ab403a6241009b92035b251f86c88e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_o\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> <strong>Nota:<\/strong> affinch\u00e9 una funzione sia differenziabile in un punto, la funzione deve essere continua in quel punto. Pertanto, prima di calcolare le derivate laterali, dobbiamo assicurarci che la funzione sia continua in quel punto. Se non sai come si studia la continuit\u00e0 in un punto, puoi vedere come si fa nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-continua-continuita-di-una-funzione\/\">continuit\u00e0 di una funzione in un punto<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p> Vediamo ora un esempio di come calcolare la derivata di una funzione definita a tratti in un punto:<\/p>\n<ul>\n<li> Studia la continuit\u00e0 e la differenziabilit\u00e0 della seguente funzione definita a tratti nel punto x=2:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a98eee72521c68fd394eb6209a7d0a59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=  \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 3x^2-6x &amp; \\text{si} &amp;  x<2 \\\\[2ex] 6\\ln (x-1) &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 2 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"249\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le funzioni delle due parti sono continue nei rispettivi intervalli, occorre per\u00f2 vedere se la funzione \u00e8 continua nel punto critico x=2. Per fare ci\u00f2 risolviamo i limiti laterali della funzione nel punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad5bcb0055431aa87a67068c04d2ce2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 2^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^-} \\bigl(3x^2-6x\\bigr) = 3\\cdot2^2-6\\cdot2=12-12=\\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"449\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31e1ba2ea2c5fd9fa86e5cefed0e5535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 2^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^+} 6\\ln (x-1) = 6\\ln (2-1)=6 \\ln 1=6 \\cdot 0= \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"474\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> I limiti laterali nel punto critico ci hanno dato lo stesso risultato, quindi <strong>la funzione \u00e8 continua nel punto x=2.<\/strong><\/p>\n<p> Una volta che sappiamo che la funzione \u00e8 continua in x=2, studieremo la differenziabilit\u00e0 della funzione in quel punto. Per fare ci\u00f2, <strong>calcoliamo le derivate laterali<\/strong> della funzione definita in pezzi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3709995609d0f69f382ff651e397c00a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 6x-6 &amp; \\text{si} &amp;  x<2 \\\\[2ex] \\cfrac{6}{x-1} &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 2 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"222\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Valutiamo ora ciascuna derivata laterale nel punto critico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca27189960575c1151402d040bfa76f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^-)=6\\cdot2-6=12-6 = \\bm{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-058310a16d7d545ea56e99517845842b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^+)=\\cfrac{6}{2-1} = \\cfrac{6}{1} = \\bm{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le due derivate laterali ci hanno dato lo stesso risultato, quindi la funzione \u00e8 differenziabile in x=2 e il valore della derivata \u00e8 6:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aadf046f27916c46f0a302d6e0c34113_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{f'(2) = 6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, se le derivate laterali ci avessero dato un risultato diverso, ci\u00f2 significherebbe che la funzione non \u00e8 differenziabile in x=2. In altre parole, a questo punto la derivata non esisterebbe.<\/p>\n<p> Ricordiamo infine che questa procedura \u00e8 valida anche per studiare la differenziabilit\u00e0 di una funzione a valore assoluto, poich\u00e9 le funzioni a valore assoluto possono essere definite anche a tratti. Puoi vedere come convertire una funzione di valore assoluto in blocchi qui:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzioni-con-valore-assoluto\/\">come definire a tratti una funzione con valore assoluto<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivabilidad-de-una-funcion\"><\/span> Esercizi risolti sulla differenziabilit\u00e0 di una funzione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Studiare la continuit\u00e0 e la differenziabilit\u00e0 della seguente funzione a tratti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3656065bb8de98bd07da153f26fd326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[2ex] -x^2+3x &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"265\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le funzioni delle due parti sono continue, ma dobbiamo vedere se la funzione \u00e8 continua nel punto critico x=1. Per fare questo risolviamo i limiti laterali della funzione nel punto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf8ad0b4baa312a5ae1bb073e5c8ff8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^-} \\bigl(x^3-4x^2 + 5\\bigr)=1^3-4\\cdot 1^2 + 5=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"413\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f25bd83439fbb5cbd148b8be88f8770b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^+} \\bigl( -x^2+3x \\bigr)=-1^2+3\\cdot 1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due limiti laterali nel punto critico danno lo stesso risultato, quindi la funzione \u00e8 continua in x=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta che sappiamo che la funzione \u00e8 continua nel punto critico, studieremo se \u00e8 differenziabile nello stesso punto. Calcoliamo quindi le derivate laterali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42451fa799527167fe9a2e2259248870_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 3x^2-8x  &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[2ex] -2x+3 &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E valutiamo le due derivate laterali in x=1; <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9afcac5ff2f762d2b471725d4e755fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-)=3\\cdot1^2-8\\cdot 1=3-8=-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd2d9e21e09ecc434cafbf5fb0b5afaa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^+)=-2\\cdot 1+3=-2+3 =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le derivate laterali non coincidono nel punto x=1 quindi la funzione non \u00e8 differenziabile in questo punto. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73b9cb3dada6f8aea03ffc1342d0f22f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-) \\neq f'(1^+) \\ \\longrightarrow \\ \\cancel{\\exists} \\ f'(1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Analizzare la differenziabilit\u00e0 e la continuit\u00e0 della seguente funzione definita nelle sezioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d118e3904c810abd15e427e9c7d0504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\sqrt{4x} &amp; \\text{si} &amp;  x\\leq 1 \\\\[2ex] 2+\\ln x &amp; \\text{si} &amp; x> 1 \\end{array} \\right.&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;65&#8243; width=&#8221;226&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le funzioni delle due sezioni sono continue nei loro intervalli, ma occorre sapere anche se la funzione \u00e8 continua nel punto critico di cambio di definizione x=1. Definiamo quindi a questo punto i limiti laterali della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c4fb7ef0ee9b3feeb5e15654528fc71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^-} \\sqrt{4x} = \\sqrt{4\\cdot 1} = \\sqrt{4}=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e509a70bd0e356f44ccac7ba6f075f8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^+} \\bigl( 2+\\ln x \\bigr) = 2 + \\ln (1) = 2+0 =2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"399\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due limiti laterali nel punto critico danno lo stesso risultato, quindi la funzione \u00e8 continua in x=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora studiamo se la funzione a questo punto \u00e8 differenziabile calcolando le derivate laterali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8261f3d268b47d9171710997c8cc70bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\cfrac{4}{2\\sqrt{4x}}  &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[4ex] \\cfrac{1}{x} &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"217\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Valutiamo le due derivate laterali in x=1: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de4ee71a175b34be07061d47470afe0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-)=\\cfrac{4}{2\\sqrt{4\\cdot1}}=\\cfrac{4}{2\\sqrt{4}}=\\cfrac{4}{2\\cdot 2}=\\cfrac{4}{4}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"309\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-594a8d05da432ab8962ff799d62d25a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^+)=\\cfrac{1}{1}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le derivate laterali sono uguali, quindi la funzione \u00e8 differenziabile in x=1 e il valore della derivata \u00e8 1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a58ba22b03193839f5070da4e2c1faf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{f'(1) = 1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"274\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Determina se la seguente funzione a tratti \u00e8 continua e differenziabile nel suo intero dominio:<\/p>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} x^2+2x+1 &amp; \\text{si} &amp; x\\leq -1 \\\\[2ex] 2x+2 &amp; \\text{ si} &amp; -1&lt;div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria- expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\"&gt;&lt;div class=\"otfm-sp__title\"&gt; &lt;strong&gt;View solution&lt;\/strong&gt;&lt;\/div&gt;&lt; \/div&gt; The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\displaystyle\nMissing { inserted.\nleading text: ...=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__\nMissing { inserted.\nleading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__\nMissing { inserted.\nleading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__\nMissing { inserted.\nleading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__\nYou can't use `macro parameter character #' in math mode.\nleading text: ...=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#\nMissing { inserted.\nleading text: ...e=\"text-align:center\"&gt;&lt;div class=\"otfm-sp__\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...g&gt;&lt;\/div&gt;&lt;\/div&gt; The functions of the three parts\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...are continuous, but we still need to see\n\n<\/pre>\n<p> \\lim\\limits_{x\\to -1^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to -1^-} \\bigl(x^2+2x+1\\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \\lim\\limits_{x\\to -1^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to -1^+} \\bigl(2x+2\\bigr ) = 2(-1)+2=0<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fadd0ce26a497a6a6c73bfaa7ed28f4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" Les deux limites lat\u00e9rales au point x=-1 donnent le m\u00eame r\u00e9sultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant v\u00e9rifier si la fonction est continue ou non au point x=2 : \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"56\" width=\"765\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \\lim\\limits_{x\\to 2^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^-} \\bigl(2x+2\\bigr) = 2\\cdot 2+2=4+2= 6 \\lim\\limits_{x\\to 2^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^+} \\bigl( -x^2+8x\\bigr) = -2^2+8\\ cpunto 2 = -4+16=12<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c93f9d5e367031de798abaf833523710_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" En revanche, les limites lat\u00e9rales au point x=2 ne donnent pas le m\u00eame r\u00e9sultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu \u00e0 ce stade, il ne sera pas non plus d\u00e9rivable \u00e0 x=2. Une fois que l'on a \u00e9tudi\u00e9 la continuit\u00e9 de la fonction, on passe \u00e0 la diff\u00e9rentiabilit\u00e9. On calcule donc les d\u00e9riv\u00e9es lat\u00e9rales :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"82\" width=\"908\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2x+2 &amp; \\text{si} &amp; x\\leq -1 \\\\[2ex] 2 &amp; \\text{si} &amp; -1<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sappiamo gi\u00e0 che la funzione non \u00e8 differenziabile in x=2, quindi dobbiamo solo studiare se la funzione \u00e8 differenziabile in x=-1. Per fare ci\u00f2 valutiamo le due derivate laterali nel punto: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cafb8bbe438865e050973664b6915fa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5781d213b36777be5b2611a84ca95e96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^+)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le derivate laterali non coincidono nel punto x=-1, quindi la funzione in quel punto non \u00e8 differenziabile. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3674d70c292d967d7074a0b4bee230e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^-) \\neq f'(-1^+) \\ \\longrightarrow \\ \\cancel{\\exists} \\ f'(-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Calcola il valore dei parametri a e b in modo che la seguente funzione a tratti sia continua e differenziabile in tutto il suo dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce34d5d8a949fb3a0b904e9bf7d32f5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a &amp; \\text{si} &amp;  x< 3 \\\\[2ex](x-b)^2 &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 3 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"243\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Qualunque siano i valori delle incognite, la funzione \u00e8 continua e differenziabile in tutti i punti tranne che in x=3, dove occorre verificarne la continuit\u00e0 e la differenziabilit\u00e0.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Perch\u00e9 la funzione sia continua in un punto \u00e8 necessario che i due limiti laterali in quel punto coincidano. Pertanto, valutiamo i limiti laterali nel punto critico: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21920afd0fe6c6a35983a39034b3f9f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 3^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 3^-} \\bigl(2e^{x-3}+a\\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \\cdot e^0+a =2\\cdot 1 +a = 2+a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"566\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f527d4602a1bdc26d763df1064b956d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 3^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"282\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due valori ottenuti dai limiti laterali devono quindi essere uguali affinch\u00e9 la funzione sia continua:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bec8303f39289b7f2cd7e6e439703c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Analizzeremo ora la differenziabilit\u00e0 nel punto x=3. Troviamo le derivate laterali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d542fc9488644f0c144059ae1403d961_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2e^{x-3}  &amp; \\text{si} &amp;  x< 3 \\\\[2ex]2(x-b) &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 3 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E valutiamo le due derivate laterali nel punto critico: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fb3afef2352f0f5f96302b987a5de9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3^-)= 2e^{3-3} =  2e^0 = 2\\cdot 1 = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-360474b477f347569ad1e3b64b63cc79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"205\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, affinch\u00e9 la funzione sia differenziabile in x=3, i valori ottenuti dalle derivate laterali devono essere uguali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a98a45230845ad86846cd7db486af0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2=6-2b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"80\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E risolvendo questa equazione possiamo trovare il valore di b: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f53d30cae8270029d25ea28322b6986_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2b=6-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c263311ac7433ce2b417bb7ad0ef449b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2b=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dd2f0fd5e5207a815bf5789ada67541_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=\\cfrac{4}{2} =\\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, una volta noto il valore del parametro b, possiamo calcolare il valore del parametro a risolvendo l&#8217;equazione che abbiamo ottenuto in precedenza nei limiti laterali: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bec8303f39289b7f2cd7e6e439703c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6468721c373f078ad3e97a290c2d86f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-2)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1cc01602cd205cae7b9c9b8ba391760_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce22cc1bba3ee9612a7f8cb2624d2483_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a =1-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"72\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5f9e4b074e8b3ba5d0e96f8ae4e2cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{a =-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo articolo imparerai come studiare la differenziabilit\u00e0 di una funzione, cio\u00e8 se una funzione \u00e8 differenziabile o meno. 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