{"id":40,"date":"2023-09-17T11:00:07","date_gmt":"2023-09-17T11:00:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/catena-di-regole-derivata\/"},"modified":"2023-09-17T11:00:07","modified_gmt":"2023-09-17T11:00:07","slug":"catena-di-regole-derivata","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/catena-di-regole-derivata\/","title":{"rendered":"Regola della catena (derivati)"},"content":{"rendered":"

Qui imparerai cos’\u00e8 la regola della catena e come derivare funzioni utilizzando la regola della catena. Inoltre, potrai vedere diversi esempi di derivate risolte con la regola della catena e potrai anche esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo sulle derivate applicando la regola della catena. <\/p>\n

<\/span> Qual \u00e8 la regola della catena?<\/span><\/h2>\n

La regola della catena \u00e8 una formula utilizzata per derivare funzioni composte.<\/strong> La regola della catena afferma che la derivata di una funzione composta f(g(x))<\/em> \u00e8 uguale alla derivata f'(g(x))<\/em> moltiplicata per la derivata g'(x)<\/em> . <\/p>\n

\n
\"regola<\/figure>\n<\/div>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> funzione composita<\/a><\/span><\/p>\n

Informalmente, si dice spesso che la regola della catena consista nel differenziare la funzione e quindi moltiplicarla per ci\u00f2 che contiene<\/em> .<\/p>\n

La formula della regola della catena ci permette di differenziare le funzioni composte molto pi\u00f9 facilmente, perch\u00e9 se dovessimo differenziare una composizione di funzioni utilizzando il limite della definizione di derivata, dovremmo fare molti calcoli.<\/p>\n

D’altra parte bisogna tenere presente che questa regola viene utilizzata solo per trovare la derivata di funzioni composte e non di qualsiasi tipo di funzione o operazioni con funzioni. Ad esempio, un errore molto comune \u00e8 sbagliare e applicare la regola della catena a prodotti funzionali come i seguenti:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x)\\cdot<\/p>\n

\u274c<\/p>\n

La regola della catena pu\u00f2 essere utilizzata solo quando abbiamo una funzione all’interno di un’altra<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x^2)\"<\/p>\n

\u2705 <\/p>\n

<\/span> Esempi di derivate con la regola della catena<\/span><\/h2>\n

Data la definizione della regola della catena, deriveremo diverse funzioni prendendo come esempio la regola della catena. Ricorda che se in un esempio non capisci come si deriva la funzione con la regola della catena, puoi chiedercelo nei commenti!<\/p>\n

Esempio 1<\/h3>\n

In questo esempio, utilizzeremo la regola della catena per ricavare il logaritmo naturale di x al quadrato:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

La derivata del logaritmo naturale \u00e8 pari a 1 volta il suo argomento, quindi la derivata<\/p>\n<\/p>\n

\"f'\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n

Essere:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(u)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

D’altra parte, la derivata di x elevata alla potenza di due \u00e8 2x:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Infine, calcoliamo la derivata dell’intera funzione applicando la regola della catena. La derivata della funzione composta sar\u00e0 il prodotto delle due derivate che abbiamo appena trovato:<\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

Esempio 2<\/h3>\n

In questo secondo esempio, deriveremo una funzione potenziale basata su un polinomio:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

Per derivare una potenza, dobbiamo anteporre l’esponente originale e sottrarre un’unit\u00e0 dall’esponente, quindi la derivata della funzione potenziale senza applicare la regola della catena sarebbe:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Ora deduciamo ci\u00f2 che \u00e8 tra parentesi:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=3x^2+4x-5\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Infine, utilizziamo la regola della catena per risolvere la derivata dell’intera funzione, che sar\u00e0 la moltiplicazione delle due derivate calcolate in precedenza: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Esempio 3<\/h3>\n

In questo caso, risolveremo la derivata seno di x al cubo pi\u00f9 7x:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Infatti \u00e8 una composizione di funzioni perch\u00e9 abbiamo la funzione x 3<\/sup> +7x all’interno della funzione seno, possiamo quindi usare la regola della catena per trovare la derivata della funzione composta.<\/p>\n

Da un lato, la derivata del seno \u00e8 il coseno, quindi la derivata della funzione esterna sar\u00e0 il coseno con lo stesso argomento del seno:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

E d’altra parte, la derivata di x 3<\/sup> +7x \u00e8 3x 2<\/sup> +7.<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^3+7x\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, la derivata della funzione composta \u00e8 il prodotto delle due derivate: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Risolti esercizi sulle derivate con la regola della catena<\/span><\/h2>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Derivare la seguente funzione composta utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

La funzione esterna \u00e8 una funzione potenziale, quindi per calcolarne la derivata \u00e8 necessario applicare la seguente formula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=a\\bigl(g(x)\\bigr)^n<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\\<\/p>\n<\/p>\n

E poi calcoliamo la derivata della funzione interna. \u00c8 una sottrazione di potenze, quindi per calcolarne la derivata \u00e8 necessario applicare a ciascuno dei suoi termini la seguente formula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=ax^n<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^2-6x\\<\/p>\n

\"g'(x)=2\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

In breve, la derivata della funzione composta \u00e8 il prodotto delle due derivate trovate: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Risolvi la derivata della seguente funzione composta utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Per prima cosa troviamo la derivata della funzione esterna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

E ora risolviamo la derivata della funzione interna:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^5+9x^3\\<\/p>\n<\/p>\n

La derivata dell’intera funzione \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Calcola la derivata della seguente composizione di funzioni con la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

\u00c8 una funzione esponenziale, quindi per calcolarne la derivata \u00e8 necessario applicare la seguente formula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

Differenziamo anche la funzione dall’esponente della funzione:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=2x^3<\/p>\n<\/p>\n

E usiamo la regola della catena per trovare la derivata della funzione composta intera: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 4<\/h3>\n

Trova la derivata della seguente funzione composta utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Questa \u00e8 una composizione di funzioni, perch\u00e9 abbiamo una funzione sinusoidale e una funzione lineare nell’argomento di una funzione irrazionale. Quindi calcoliamo prima la derivata della radice: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[n]{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

E ora deriviamo l’argomento dal radicale. \u00c8 una somma di funzioni, quindi la derivata sar\u00e0 la somma delle derivate di ciascun termine:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto la derivata dell’intera funzione \u00e8 uguale alla moltiplicazione delle due derivate calcolate: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)+x}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 5<\/h3>\n

Derivare la seguente composizione di funzioni utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Per applicare la regola della catena, devi trovare la derivata della potenza e del polinomio e poi moltiplicarli. Pertanto, ricaviamo la potenza utilizzando la formula corrispondente: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=a^x<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

In secondo luogo, deriviamo la funzione polinomiale dall’esponente:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2+5<\/p>\n<\/p>\n

E la regola della catena ci dice che la derivata dell’intera funzione \u00e8 il prodotto delle derivate che abbiamo appena trovato: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 6 <\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Ovviamente la funzione in questo problema \u00e8 composita, poich\u00e9 nell’argomento del logaritmo naturale abbiamo il prodotto di due diversi tipi di funzioni. Quindi differenziamo prima il logaritmo: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

In secondo luogo, deriviamo la funzione dall’argomento logaritmo. Questa \u00e8 una moltiplicazione di due funzioni, quindi \u00e8 necessario utilizzare la seguente formula per eseguire la derivazione: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}g(x)=4x^2<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto la derivata dell’intera funzione, secondo la regola della catena, sar\u00e0 il prodotto delle due derivate: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 7<\/h3>\n

Risolvi la derivata della seguente funzione utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Questa \u00e8 una composizione di funzioni, quindi differenzieremo separatamente il logaritmo e il suo argomento e poi moltiplicheremo le derivate.<\/p>\n

Quindi, per prima cosa differenziamo il logaritmo in base 9: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_a<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

E ora calcoliamo la derivata dell’argomento del logaritmo. Nota che il numero e ha una funzione nel suo argomento, cio\u00e8 \u00e8 una funzione composta, quindi dobbiamo applicare anche la regola della catena per derivare questa funzione: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"h(x)=e^{x^2}<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, la derivata dell’argomento intero del logaritmo sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=<\/p>\n<\/p>\n

E infine, la derivata dell’intera funzione sar\u00e0 il prodotto di f'(g(x)) e g'(x): <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=\\cfrac{1}{\\bigl(e^{x^2}-6x^7\\bigr)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 8<\/h3>\n

Derivare la seguente funzione composta utilizzando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

In questo esercizio abbiamo una composizione di pi\u00f9 funzioni, quindi dovremo applicare pi\u00f9 volte la regola della catena. Per prima cosa deriviamo la funzione trigonometrica dal seno, la cui derivata \u00e8 coseno:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

E ora calcoliamo la derivata del seno usando la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Infine, otteniamo la derivata dell’intera composizione delle funzioni applicando nuovamente la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{f'(x)=\\cos<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

<\/span> Prova della regola della catena<\/span><\/h2>\n

Infine, dimostreremo la formula della regola della catena. Per fare ci\u00f2, partiremo dalla definizione matematica di derivata:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Sia z<\/em> una funzione composta da due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"z=f\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n<\/p>\n

Allora la derivata della funzione z<\/em> applicando la definizione sarebbe:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Come gi\u00e0 sai, puoi moltiplicare e dividere una frazione per lo stesso termine, perch\u00e9 ci\u00f2 non cambia il risultato. Possiamo quindi passare allo step successivo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Riorganizziamo i denominatori delle frazioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Applicando le propriet\u00e0 dei limiti, possiamo dividere il limite di cui sopra in due. Poich\u00e9 il limite di un prodotto \u00e8 uguale al prodotto dei limiti:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E questa espressione \u00e8 equivalente alla seguente:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

La formula della regola della catena \u00e8 quindi dimostrata, poich\u00e9 ad essa siamo arrivati dalla definizione della derivata.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Qui imparerai cos’\u00e8 la regola della catena e come derivare funzioni utilizzando la regola della catena. Inoltre, potrai vedere diversi esempi di derivate risolte con la regola della catena e potrai anche esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo sulle derivate applicando la regola della catena. Qual \u00e8 la regola della catena? La regola della …<\/p>\n

Regola della catena (derivati)<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-40","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivati"],"yoast_head":"\n\u25b7 Regola della catena (derivate): esercizi risolti<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Spieghiamo come derivare funzioni composte con la regola della catena. 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