{"id":392,"date":"2023-07-03T09:49:11","date_gmt":"2023-07-03T09:49:11","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-dellarcotangente-iperbolico\/"},"modified":"2023-07-03T09:49:11","modified_gmt":"2023-07-03T09:49:11","slug":"derivata-dellarcotangente-iperbolico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-dellarcotangente-iperbolico\/","title":{"rendered":"Derivata dell'arcotangente iperbolico"},"content":{"rendered":"

Qui troverai come ricavare l’arcotangente iperbolico di una funzione. Potrai anche vedere esempi risolti di questo tipo di derivate trigonometriche e, infine, ti mostreremo la formula per la derivata dell’arcotangente iperbolico. <\/p>\n

<\/span> Formula per la derivata dell’arcotangente iperbolico<\/span><\/h2>\n

La derivata dell’arcotangente iperbolico di x \u00e8 uno su uno meno x al quadrato.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, la derivata dell’arcotangente iperbolico di una funzione<\/strong> \u00e8 uguale al quoziente della derivata di quella funzione diviso per uno meno detta funzione al quadrato.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

In realt\u00e0 entrambe le formule sono uguali, ma nella seconda si applica la regola della catena. Ad esempio, sostituendo x con u otteniamo esattamente la prima formula poich\u00e9 la derivata di x \u00e8 1. <\/p>\n

\n
\"derivata<\/figure>\n<\/div>\n

Proprio come l’arcotangente \u00e8 la funzione inversa della tangente, l’arcotangente iperbolico \u00e8 l’inverso della tangente iperbolica. Anche cos\u00ec, le loro derivate sono molto diverse, puoi controllare la derivata di questa funzione trigonometrica qui:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> formula per la derivata della tangente iperbolica<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Esempi di derivata dell’arcotangente iperbolico<\/span><\/h2>\n

Esempio 1<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Logicamente dobbiamo applicare la regola della derivata dell\u2019arcotangente iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

La derivata di 2x \u00e8 2, quindi metti due al numeratore della frazione e uno meno 2x al quadrato al denominatore:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)<\/p>\n<\/p>\n

Esempio 2<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})\"<\/p>\n<\/p>\n

Per risolvere la derivata di questa funzione, dobbiamo utilizzare la formula per la derivata dell’arcotangente iperbolico.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Inoltre, la funzione argomento arcotangente iperbolico \u00e8 una funzione composta, quindi dovremo applicare anche la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})<\/p>\n<\/p>\n

<\/span>Dimostrazione della derivata dell’arcotangente iperbolico<\/span><\/h2>\n

In questa sezione finale, dimostreremo la formula per la derivata dell’arcotangente iperbolico.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\text{arctanh}(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Poich\u00e9 l’arcotangente iperbolica \u00e8 l’inversa della tangente iperbolica, possiamo esprimere l’uguaglianza precedente in un altro modo:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\text{tanh}(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Ora differenziamo entrambi i lati dell’equazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"1=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(y)}\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Ti chiariamo:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\text{cosh}^2(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Sappiamo invece che la differenza dei quadrati del coseno iperbolico e del seno iperbolico d\u00e0 1. Possiamo quindi trasformare l’espressione precedente in una frazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{1}=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Dividiamo tutti i termini della frazione per il quadrato del coseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

Il quoziente del seno iperbolico tra il coseno iperbolico \u00e8 uguale alla tangente iperbolica, quindi:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\text{tanh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Ma, come abbiamo visto all’inizio della dimostrazione, la tangente iperbolica equivale alla variabile x, possiamo quindi sostituire l’espressione ottenendo cos\u00ec la formula per la derivata dell’arcotangente iperbolico: <\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-x^2}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Articoli simili<\/span><\/h2>\n