{"id":391,"date":"2023-07-03T10:10:06","date_gmt":"2023-07-03T10:10:06","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivato-dellarcocosina-iperbolica\/"},"modified":"2023-07-03T10:10:06","modified_gmt":"2023-07-03T10:10:06","slug":"derivato-dellarcocosina-iperbolica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivato-dellarcocosina-iperbolica\/","title":{"rendered":"Derivata dell'arco coseno iperbolico"},"content":{"rendered":"

In questa pagina vedrai qual \u00e8 la derivata dell’arco coseno iperbolico (formula). Troverai anche esercizi risolti passo passo per le derivate dell’arcocoseno iperbolico di una funzione. E, infine, troverai la dimostrazione della formula per la derivata di questo tipo di funzione trigonometrica. <\/p>\n

<\/span> Formula per la derivata dell’arco coseno iperbolico<\/span><\/h2>\n

La derivata dell’arcocoseno iperbolico di x \u00e8 uno fratto la radice quadrata di x al quadrato meno 1.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, la derivata dell’arco coseno iperbolico di una funzione<\/strong> \u00e8 uguale al quoziente della derivata di quella funzione diviso per la radice quadrata di quella funzione al quadrato meno uno.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

La seconda formula include la regola della catena e quindi pu\u00f2 essere utilizzata per derivare qualsiasi arcocoseno iperbolico. Infatti, se sostituiamo la u con la x, otterremo la prima formula. La prima formula, invece, funziona solo per la derivata arcocoseno iperbolica di x. <\/p>\n

\n
\"derivata<\/figure>\n<\/div>\n

L’arcocoseno iperbolico \u00e8 la funzione inversa del coseno iperbolico e quindi le due funzioni sono correlate. Puoi vedere la formula per la derivata di questa funzione trigonometrica cliccando qui:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> formula per la derivata del coseno iperbolico<\/a><\/span> <\/span><\/p>\n

<\/span> Esempi di derivata dell’arcoseno iperbolico <\/span><\/h2>\n

Esempio 1<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(5x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per trovare la derivata dell’arcocoseno iperbolico dobbiamo utilizzare la formula corrispondente, che \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, al numeratore della frazione dobbiamo mettere la derivata di 5x, che \u00e8 5. E al denominatore dobbiamo solo mettere la radice quadrata della funzione argomento al quadrato meno 1: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(5x)<\/p>\n<\/p>\n

Esempio 2<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(x^4-5x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

La funzione che si ricava da questo esercizio \u00e8 un arcocoseno iperbolico, quindi per ricavarla utilizziamo la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, al numeratore scriviamo la derivata dell’argomento della funzione e al denominatore la radice quadrata della funzione dell’argomento elevata a 2 meno 1: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arccosh}(x^4-5x^2)<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Dimostrazione della derivata dell’arco coseno iperbolico<\/span><\/h2>\n

Infine, dimostreremo la formula per la derivata dell’arco coseno iperbolico.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\text{arccosh}(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa trasformiamo l’arco coseno iperbolico in un coseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\text{cosh}(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Deduciamo da entrambi i lati dell\u2019uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n

\"1=\\text{senh}(y)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Ti chiariamo:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\text{senh}(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Usiamo ora l’identit\u00e0 trigonometrica che mette in relazione il seno iperbolico e il coseno iperbolico per modificare il denominatore:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{\\text{cosh}^2(y)-1}}\"<\/p>\n<\/p>\n

Tuttavia, prima abbiamo dedotto che x \u00e8 equivalente al coseno iperbolico di y, quindi l’equazione rimane: <\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{x^2-1}}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Articoli simili<\/span><\/h2>\n