{"id":390,"date":"2023-07-03T12:59:52","date_gmt":"2023-07-03T12:59:52","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivato-iperbolico-della-larcosina\/"},"modified":"2023-07-03T12:59:52","modified_gmt":"2023-07-03T12:59:52","slug":"derivato-iperbolico-della-larcosina","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivato-iperbolico-della-larcosina\/","title":{"rendered":"Derivato dell'arcoseno iperbolico"},"content":{"rendered":"

Qui troverai qual \u00e8 la derivata dell’arcoseno iperbolico (formula). Inoltre, potrai vedere diversi esercizi risolti sulle derivate dell’arcoseno iperbolico di una funzione. Infine, ti mostriamo la formula per la derivata di questo tipo di funzione trigonometrica. <\/p>\n

<\/span> Formula del derivato dell’arcoseno iperbolico<\/span><\/h2>\n

La derivata dell’arcoseno iperbolico di x \u00e8 uno fratto la radice quadrata di x al quadrato pi\u00f9 1.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Quindi la derivata dell’arcoseno iperbolico di una funzione<\/strong> \u00e8 uguale al quoziente della derivata di quella funzione diviso per la radice quadrata di quella funzione al quadrato pi\u00f9 uno.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

La seconda formula \u00e8 come la prima ma applica la regola della catena. Cio\u00e8, con la prima formula si pu\u00f2 ricavare solo l’arcoseno iperbolico di xy, mentre con la seconda formula si pu\u00f2 ricavare l’arcoseno iperbolico di qualsiasi funzione. <\/p>\n

\n
\"derivato<\/figure>\n<\/div>\n

Tieni presente che l’arcoseno iperbolico \u00e8 la funzione inversa del seno iperbolico, la cui derivata puoi vedere qui:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> formula per la derivata del seno iperbolico<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Esempi di derivata dell’arcoseno iperbolico <\/span><\/h2>\n

Esempio 1<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(3x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per risolvere la derivata della funzione arcoseno utilizziamo la formula vista sopra:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

La derivata di 3x \u00e8 3, quindi 3 va al numeratore. E al denominatore dobbiamo semplicemente mettere la radice quadrata di 3x al quadrato pi\u00f9 1: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(3x)<\/p>\n<\/p>\n

Esempio 2<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(x^3)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per ricavare l’arcoseno iperbolico della funzione x al cubo dobbiamo applicare la stessa formula:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

La derivata di x al cubo \u00e8 3x 2<\/sup> , quindi la derivata dell’arcoseno iperbolico di x elevato a 3 sar\u00e0: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arcsenh}(x^3)<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Dimostrazione della derivata dell’arcoseno iperbolico<\/span><\/h2>\n

Dimostreremo la formula per la derivata dell’arcoseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\text{arcsenh}(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa trasformiamo l’arcoseno iperbolico in un seno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\text{senh}(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Deduciamo da entrambi i lati dell\u2019uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n

\"1=\\text{cosh}(y)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Ti chiariamo:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\text{cosh}(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Quindi applichiamo l’identit\u00e0 trigonometrica che collega il seno iperbolico e il coseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{1+\\text{senh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

Ma sopra abbiamo dedotto che x corrisponde al seno iperbolico di y, quindi l’equazione rimane:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{1+x^2}}\"<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, applicando questi passaggi abbiamo ottenuto la formula per la derivata dell’arcoseno iperbolico, motivo per cui \u00e8 stata dimostrata.<\/p>\n

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