{"id":389,"date":"2023-07-03T13:35:39","date_gmt":"2023-07-03T13:35:39","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-della-tangente-iperbolica\/"},"modified":"2023-07-03T13:35:39","modified_gmt":"2023-07-03T13:35:39","slug":"derivata-della-tangente-iperbolica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-della-tangente-iperbolica\/","title":{"rendered":"Derivata della tangente iperbolica"},"content":{"rendered":"

Qui troverai qual \u00e8 la derivata della tangente iperbolica di una funzione. Inoltre, potrai vedere diversi esempi risolti di derivate di tangenti iperboliche. E infine, ti mostriamo la formula per la derivata della tangente iperbolica. <\/p>\n

<\/span> Formula per la derivata della tangente iperbolica<\/span><\/h2>\n

La derivata della tangente iperbolica di x \u00e8 uguale a 1 diviso per il quadrato del coseno iperbolico di x.<\/strong> Anche la derivata della tangente di x \u00e8 equivalente al quadrato della secante iperbolica di x e 1 meno il quadrato della tangente iperbolica di x.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tanh}(x)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

Se invece nell’argomento funzione abbiamo una funzione diversa da x, dobbiamo applicare la regola della catena. E poi le tre formule per la derivata della tangente iperbolica sono:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tanh}(u)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

Ci\u00f2 non significa che ogni volta che ricaviamo la tangente iperbolica dobbiamo usare tutte e tre le formule, ma piuttosto che possiamo usarne una qualsiasi per ricavarla. Quindi, a seconda della funzione dell’argomento tangente iperbolica, sar\u00e0 meglio utilizzare una formula o un’altra. Di seguito sono riportati alcuni esempi in cui \u00e8 possibile vedere come viene derivata la tangente iperbolica di una funzione. <\/p>\n

\n
\"derivata<\/figure>\n<\/div>\n

La derivata della tangente iperbolica \u00e8 quasi identica alla derivata della tangente, ma ha un piccolo dettaglio che le rende totalmente diverse. Puoi vedere qual \u00e8 la differenza nel seguente link:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> formula della derivata tangente<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Esempi di derivata della tangente iperbolica<\/span><\/h2>\n

Dopo aver visto qual \u00e8 la formula per la derivata della tangente iperbolica, ecco alcuni esempi risolti di derivate di questo tipo di funzioni trigonometriche in modo da comprendere appieno come derivare la tangente iperbolica. <\/p>\n

<\/span> Esempio 1: Derivata della tangente iperbolica di 2x<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(2x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Per ricavare la tangente iperbolica in questo esempio, utilizzeremo la formula del coseno iperbolico, anche se ovviamente puoi usare quella che preferisci.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Sappiamo che la derivata di 2x \u00e8 2, quindi la derivata dell’intera funzione \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(2x)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Esempio 2: Derivata della tangente iperbolica di x al quadrato<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

La regola per la derivata della tangente iperbolica di una funzione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Da un lato differenziamo la funzione dall’argomento x 2<\/sup> , che d\u00e0 2x, e poi risolviamo la derivata dell’intera funzione utilizzando la formula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(x^2)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Esempio 3: Derivata della tangente iperbolica al cubo<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}^3(7x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso dobbiamo ricavare la tangente iperbolica di una funzione che, peraltro, \u00e8 elevata a potenza. Dobbiamo quindi utilizzare la formula per la derivata di una funzione potenziale, la regola per la derivata della tangente iperbolica e la regola della catena: <\/p>\n<\/p>\n

\"f'(x)=3\\text{tanh}^2(7x^2)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Dimostrazione della derivata della tangente<\/span><\/h2>\n

In questa sezione dimostreremo la formula per la derivata della tangente iperbolica. E, per questo, partiremo dall\u2019identit\u00e0 trigonometrica che collega i tre rapporti trigonometrici iperbolici:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Nota:<\/strong> per comprendere la dimostrazione, \u00e8 necessario sapere qual \u00e8 la derivata del seno iperbolico<\/a><\/span> e qual \u00e8 la derivata del coseno iperbolico<\/a><\/span> . Ti consigliamo pertanto di visitare le pagine collegate prima di proseguire.<\/p>\n

Ora applichiamo la formula per la derivata di un quoziente: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\text{tanh}(x)\\right)'=\\left(\\frac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\\right)'\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}(x)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Riduciamo l’espressione del numeratore della frazione utilizzando la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, l’uguaglianza precedente corrisponde alla prima formula per la derivata della tangente iperbolica. Allo stesso modo, la secante iperbolica \u00e8 l’inverso moltiplicativo del coseno iperbolico, quindi si deriva anche la seconda formula:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\text{sech}^2(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Infine, possiamo arrivare alla terza regola della derivata della tangente iperbolica convertendo la frazione del passaggio precedente in una sottrazione di frazioni: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}-\\cfrac{\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=1-\\text{tanh}^2(x)\"<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Qui troverai qual \u00e8 la derivata della tangente iperbolica di una funzione. Inoltre, potrai vedere diversi esempi risolti di derivate di tangenti iperboliche. E infine, ti mostriamo la formula per la derivata della tangente iperbolica. Formula per la derivata della tangente iperbolica La derivata della tangente iperbolica di x \u00e8 uguale a 1 diviso per …<\/p>\n

Derivata della tangente iperbolica<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-389","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivati"],"yoast_head":"\nDerivato della tangente iperbolica - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-della-tangente-iperbolica\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Derivato della tangente iperbolica - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Qui troverai qual \u00e8 la derivata della tangente iperbolica di una funzione. 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